TEMA 2 :
DERIVADES
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El tema de las derivadas, incluyendo conceptos clave como la tasa de variación media, la derivada de una función en un punto, la interpretación geométrica de la derivada y la recta tangente, las derivadas laterales, la relación entre derivabilidad y continuidad, las reglas de derivación, y el diferencial de una función. Se incluyen numerosos ejemplos y ejercicios resueltos que permiten al estudiante comprender y practicar los contenidos. El documento podría ser útil para estudiantes universitarios que cursen asignaturas relacionadas con el cálculo diferencial, como matemáticas i, cálculo i o análisis matemático i, en los primeros años de carreras técnicas o científicas.
Tipo: Apuntes
2022/2023
1 / 26
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TEMA 2 :
DERIVADES
TEMA 2 : DERIVADES
- Càlcul
- Taxa de variació mitjana. Interpretació geomètrica
- Derivada d’una funció en un punt
- Interpretació geomètrica de la derivada. Recta tangent a una funció en
un punt
- Derivades laterals
- Derivabilitat i continuïtat
- Funció derivada
- Regles de derivació
- Diferencial d’una funció
OPERACIONS
REGLA DE LA CADENA
b. Exercicis
- y=5 2. y=-2x 3. y=-2x+
- y=-2x
2
- 5 5. y=2x
4
+x
3
- x
2
𝑥
3
2
3
2
𝟐
𝑥
2
- y=(5x
2 -
3)(x
2
+x+4) 8. 𝑦 =
5
𝑥
5
5
𝒙
𝟐
3
𝑥
5
1
√𝑥
3
1
𝑥− 1
1
7 𝑥+ 1
2
(𝑥+ 3
) 2
𝑒
𝑥
+𝑒
−𝑥
2
- y= ln(2x-1) 18. y=ln(x
2
2
𝒙
𝟐
- 1
𝒙
𝟐
− 1
3
2 𝒙
𝟐
𝑥( 1 − 𝑥) 74. 𝑦 = ln (
𝑒
𝑥
- 1
𝑒
𝑥
− 1
2 𝑥
2 𝑥
𝑒
𝑥
𝑎
𝑥
1
2
𝑥
3
𝑥
5
𝐿(𝑥
2
- 2 𝑥)
𝑥
2
𝑥
2
𝑥
2
1
𝑥
1
√
𝑥
𝑥
2
− 3 𝑥+ 1
𝑥
2
− 4 𝑥+ 2
1 +𝑐𝑜𝑠𝑥
2
181.y= snxcosxtgx 182. 𝑦 = √
1 +𝑥
1 −𝑥
𝐿𝑛(𝑥
2
+𝑥)
𝑥
2
- f(x)=ln(
3 𝑥
2
− 1
4 𝑥+ 3
) 185.f(x)=
𝑥
2
− 1
𝑒
𝑥
𝑥
𝑥
2
− 1
- 𝑛(𝑥) = ln(𝑥
2
− 4 ) 188. Y=ln(arcsine
x
- y=(sinx+3)
x+
- y=x
x+
- Y=sinx
tgx
- y=tg
x
x 193. Y=sin
x
x 194. Y=2sinxcosx
- y=e
x
cosx 196. Y=e
x
tgx 197.y=arctg(arctg(sinx))
- y=sin(cosx) 199. Y=tge
x
- Y=sin(cos(e
x
c. Solucions (arxiu PDF)
d.
1. TAXA DE VARIACIÓ MITJANA. INTERPRETACIÓ GEOMÈTRICA
a b
DEFINICIÓ: Anomenem taxa de variació mitjana de la funció f(x) entre a i b, amb a
2. DERIVADA D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT
DEFINICIÓ: Anomenem derivada de la funció f(x) en el punt d’abscisses x=a , el
límit, si existeix:
x a
f(x) f(a)
lim
x a −
→
El representem per f’(a) i diem que la funció f(x) és derivable en x=a
NOTA: Observem si h=x-a, l’expressió anterior ens queda
h
f(a h) f(a)
lim
h 0
→
EXEMPLES:
Hallar la derivada de la funció f(x) = 3x
2
en el punt x = 2.
Calcular la derivada de la funció f(x) = x
2
- 4x − 5 en x = 1.
3. INTERPRETACIÓ GEOMÈTRICA DE LA DERIVADA. RECTA
TANGENT A UNA FUNCIÓ EN UN PUNT
3.1. INTERPRETACIÓ GEOMÈTRICA DE LA DERIVADA
a b
DEFINICIÓ: La derivada de la funció f(x) en el punt x=a és el pendent de la recta
tangent a la gràfica de la funció en el punt (a, f(a))
VIDEO I WILL DERIVE
https://www.youtube.com/watch?v=aXAqGH7VXtU
4. DERIVADES LATERALS
Com la derivada és un límit, podem parlar de derivada per la dreta i per l’esquerra
lim
0
−
→
−
f a
h
f a h f a
h
lim
0
→
f a
h
f a h f a
h
DEFINICIÓ: Una funció és derivable en un punt si i només si existeixen la derivada
per l’esquerra i per la dreta en aquest punt i coincideixen
(És pot escriure com el teorema d’existència)
f ' ( a )
(1) Existeixen ' ( )
−
f a i ' ( )
f a
(2)
−
f a
=
f a
=
f ' ( a )
EXEMPLE
Estudiar la derivabilitat de la función f(x) = |x|.
f ' ( a )
(1) Existeixen ' ( )
−
f a i ' ( )
f a
(2)
−
f a
=
f a
=
f ' ( a )
f ' ( a )
(1) Existeixen ' ( )
−
f a i
f a
5. DERIVABILITAT I CONTINUÏTAT
TEOREMA: Perquè una funció f(x) sigui derivable en el punt d’abscissa x=a cal
que f(x) sigui continua en aquest punt
Demostració:
Hem de veure : f’(a)limf(x) f(a)
x a
→
Observemlimf(x) f(a)
x a
→
limf(x) f(a) 0
x a
→
Llavors podem dir que hem de demostrar
f’(a)
limf(x) f(a) 0
x a
→
→
limf(x) f(a )
x a
→
(x a)
x a
(f(x) f(a))
lim
x a
→ →
lim(x a)
x a
(f(x) f(a))
lim
x a x a
f’(a)·0=
EXEMPLES:
(1)
Veiem que és condició necessària, però no suficient
Exemple: f(x)=|x|
a. És una funció contínua en a=
f(x) és contínua en un punt x=a si es verifiquen:
(1) f(a)
(2) limf ( x )
x → a
(3)
limf ( x ) f ( a )
x a
→
f(x) és contínua en un punt x=0 si es verifiquen:
(1) f(a)
f(0)=
(2) limf ( x )
x → a
lim ( ) 0
0
→
f x
x
(3) limf ( x ) f ( a )
x a
→
b. Derivabilitat.
f ' ( a )
(1) Existeixen ' ( )
−
f a i ' ( )
f a
(2)
−
f a
=
f a
=
f ' ( a )
f '( 0 )
(1) Existeixen ' ( )
−
f a
x
|x| | 0 |
lim
x 0
−
→
i ' ( )
f a
x
|x| | 0 |
lim
x 0
→
(2)
−
f
=- 1
f
=
No és derivable en x=
Les derivades laterals no coincideixen, per tant la derivada no existeix
x = 0.
A)f(x) és contínua en un punt x=a si es verifiquen:
f(a)
limf ( x )
x → a
limf ( x ) f ( a )
x a
→
f(x) és contínua en un punt x=0 si es verifiquen:
(1) f(a)
f(0)=
(2) limf ( x )
x → a
lim f ( x )
x → a
a. Existeixen lim f ( x )
x a
−
→
ilim f ( x )
x a
→
b.
lim f ( x )
x a
−
→
=
lim f ( x )
x a
→
=
lim f ( x )
x → a
lim ( )
0
f x
x →
a. Existeixen
lim ( )
0
f x
x
−
→
=
i
lim ( )
0
f x
x
→
=
b.
lim ( )
0
f x
x
−
→
=
lim ( )
0
f x
x
→
=
lim ( )
0
f x
x →
La funció és continua,
B)Derivabilitat.
f ' ( a )
- Existeixen ' ( )
−
f a
i ' ( )
f a
−
f a
=
f a
=
f ' ( a )
f '( 0 )
- Existeixen ' ( )
−
f a
i ' ( )
f a
−
f
=
f
=
Com no coincideixen les derivades laterals, llavors no és derivable.