1. Sean 𝑓 y 𝑔 funciones arbitrarias (no deben darles un valor particular) de una sola
variable derivables dos veces. Verifique que la función 𝑢 (𝑥, 𝑡) = 𝑓 (𝑥 + 𝑎𝑡) + 𝑔 (𝑥
− 𝑎𝑡) es una solución para la ecuación 𝑢tt = 𝑎2𝑢xx.
Respuesta:
2. Suponga que cierta región del espacio potencial eléctrico 𝑉 está dado por 𝑉 (𝑥,
𝑦, 𝑧) = 10𝑥2 − 𝑥𝑦 + 4𝑥𝑦𝑧 − 𝑦2. Determine la razón de cambio del potencial en
𝑃 (3,4,5) en la dirección del vector 𝒗 = 𝒊 −𝒋 + 𝒌. ¿En qué dirección cambia 𝑉 con
mayor rapidez en 𝑃? ¿Cuál es la razón mínima de cambio en 𝑃?
Respuesta:
V(x , y , z )=10 x2−xy +4xyz−y2
∇ν(x , y , z )=
⟨
∂
∂ x ;∂
∂ y ;∂
∂ z
⟩
Hallamos las derivadas parciales:
∂
∂ x =20 x−y+4yz
∂
∂ y=−x+4x z −2y
∂
∂ z =4xy
Obtenemos:
∇ν(x , y , z )=
⟨
20 x−y+4yz ;−x+4xz−2y ; 4xy
⟩
Evaluando en el punto P (3, 4, 5):
∇ν(3,4,5)=
⟨
(20∗3)−4+(4∗4∗5);−3+(4∗3∗5)−(2∗4);(4∗3∗4)
⟩
∇ν(3,4,5)=
⟨
(60)−4+(80 );−3+(60)−(8);(58)
⟩
∇ν(3,4,5)=
⟨
136 ;49;58
⟩
∇ν(3,4,5)=
⟨
136
^
i+49
^
j+58
^
k
⟩
Ahora, tenemos que:
v=i−j+k
v=(1;−1;1)
