Funciones de varias variables y derivadas parciales: Ejercicios resueltos, Ejercicios de Física Cuántica

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Tarea 1- Funciones de varias variables y diferenciación

grupo: 203057_

tutor:

Jonathan Alberto Cervantes

Universidad Nacional Abierta Y Distancia.

UNAD 2022

INTRODUCCION

En las Ciencias Experimentales es muy frecuente que tengamos interés en poder

expresar una variable (variable respuesta o variable dependiente) en función de

dos o más variables (variables explicativas o variables independientes).

Por ejemplo, podemos estar interesados en expresar:

 El peso de una persona en función de su estatura y del número medio de

calorías diarias ingeridas.

 El peso de las aves en función de su envergadura y de su longitud.

 El nivel medio de contaminación en una región en función de las

precipitaciones medias anuales y de su índice de industrialización.

 La presión atmosférica en un determinado lugar en función de su longitud

y de su latitud.

 El número de presas devoradas por un depredador (en un tiempo fijado)

en función de la densidad de presas y del tiempo necesario para cazar

cada una de ellas. El modelo matemático adecuado para expresar una

variable en función de otras variables es la función de varias variables.

Igual que ocurría con las funciones de una variable, algunas de las

herramientas asociadas a este modelo nos permiten abordar y expresar

muchos aspectos interesantes de la relación existente. Nos centraremos

en las herramientas más sencillas: curvas de nivel y derivadas parciales.

SOLUCION DE EJERCICIOS E

Grupo de ejercicios 2- Superficies: En este grupo de ejercicios debe explicar

por qué cada una de las superficies que se solicitan satisfacen las condiciones

indicadas. En cada uno de estos puntos debe incluir las respectivas gráficas en

Geogebra. Ejemplos de superficies que “no sean de la misma clase”: Una esfera

y un cilindro, un hiperboloide y un cono, un elipsoide y paraboloide, etc.

EJERCICIO E

Dé un ejemplo de al menos 2 superficies que “no sean de la misma clase” tal que

la curva de nivel en cierto valor de 𝑧 sea precisamente un punto

Solución:

Paraboloide eliptico: x

2

• y

2

= z

Cono eliptico: x

2

• y

2

− z

2

= 0 , z =√ x

2

• y

2

Cuando z = c , f ( x , y ) = c = x

2

• y

2

y f ( x , y ) = √

x

2

• y

2

= c

Para c = 0 , x

2

• y

2

Grupo de ejercicios 3- Límites: En cada uno de los puntos a continuación,

debe determinar un punto del dominio donde el límite de la función hacia ese

punto sea cero, y otro punto del plano donde dicho límite no exista, o este sea

infinito.

EJERCICIO E

f ( x , y )=

xy − 1

x

2

− y

2

Solución

lim

( x , y ) → ( a , b )

xy − 1

x

2

− y

2

lim

( x , y ) → ( a , b )

ab − 1

a

2

− b

2

= 0 , ab = 1 ,b =

a

por ejemplo si a = 2 , b =

, luego ( x , y )=

(

)

cuando x

2

= y

2

, x

2

− y

2

x + y

x − y

el limite no existe

( x , y ) =( 1 , − 1 )

lim

( x , y ) → ( 1 , − 1 )

xy − 1

x

2

− y

2

Grupo de ejercicios 4 – Continuidad: Lea detenidamente lo solicitado en cada

Df =¿ R −{ 1 } , Dg =¿ R −{− 1 }

Dr ( t )=¿ R −{−1,1}

Luego r(t)es continua en (− ∞, − 1 ) ∪ (−1,1) ∪ ( 1 , ∞ )

Grupo de ejercicios 5 – Derivadas: Lea detenidamente lo solicitado en cada

ítem para este grupo de ejercicios, cada situación planteada debe estar

acompañada de una explicación gráfica modelada en GeoGebra.

EJERCICIO E

e. La ley de los gases ideales establece que 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 donde 𝑷 es la presión, 𝑽

es el volumen, 𝒏 es el número de moles del gas, 𝑹 la constante universal de los

gases ideales y 𝑻 es la temperatura absoluta. Muestre que

T

p

P

v

V

t

solución

PV = nRT

T =

PV

nR

,T

p

V

nR

P =

nRT

V

, P

v

− nrt

V

2

V =

nRT

P

, V

t

nR

P

T

p

P

v

V

t

V

nR

− nrt

V

2

∗ nR

P

− VnRTnR

nR V

2

P

− TnR

VP

PV

nRT

Luego

T

p

P

v

V

t

Edwards, B.; Larson, R. (2017). Matemáticas III: cálculo de varias variables.

Cengage Learning. (pp.121-169).

Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables trascendentes tempranas (7a.

ed.). Cengage Learning. (pp. 839-876).

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