Derivadas Parciales y Regla de la Cadena, Diapositivas de Cálculo

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DERIVADAS PARCIALES

(Cuarta Parte)

DERIVADAS PARCIALES

REGLA DE LA CADENA

RECORDANDO FUNCIONES EN UNA VARIABLE, LA REGLA DE LA

CADENA SE HA UTILIZADO PARA DERIVAR FUNCIONES COMPUESTAS

Si 𝒇(𝒈 𝒙 )

`

= 𝒇𝒈 𝒙 𝒈(𝒙)

Empleando otra notación

EJEMPLO 1 :

Sea 𝒛 = 𝒙 𝟐 𝒚 𝒚 𝒙 = 𝒕 𝟐 𝒚 = 𝒕 𝟑 𝒅𝒛 𝒅𝒕

𝟐 𝟑𝒕 𝟐 𝒅𝒛 𝒅𝒕

𝟐 𝒕 𝟑 𝟐𝒕 + 𝒕 𝟒 𝟑𝒕 𝟐 𝒅𝒛 𝒅𝒕

𝟔

• 𝟑𝒕 𝟔 → z x (^) y t t 𝒅𝒛 𝒅𝒕

𝟔

EJEMPLO 2 :

Sea 𝒛 = 𝒙𝒚 + 𝒚 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝜽

Utilizar la regla de la cadena cuando 𝜽 =

π 𝟐 𝒅𝒛 𝒅𝜽

− ൗ 𝟏 𝟐𝒚 −𝒔𝒆𝒏𝜽 +

− ൗ 𝟏 𝟐 (^) 𝒙 + 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝒛 𝒅𝒕

z x y 𝜽 𝜽

EJEMPLO 3 :

Sea 𝒛 = 𝒆 𝒙𝒚 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒙 = 𝟐𝒖 + 𝒗 𝒚 = Τ 𝒖 𝒗 𝝏𝒛 𝝏𝒖

𝒙𝒚

• 𝒙𝒆 𝒙𝒚

𝟐𝒖 𝟐 𝒗 +𝒖

𝟐𝒖 𝟐 𝒗 +𝒖 𝝏𝒛 𝝏𝒗

𝒙𝒚 − 𝒙𝒆 𝒙𝒚

𝟐 𝝏𝒛 𝝏𝒗

𝟐𝒖 𝟐 𝒗 +𝒖 −

𝟐 𝒗 𝟐

𝟐𝒖 𝟐 𝒗 +𝒖 z x y u v u v

EJEMPLO 4 :

Sea 𝒘 = 𝒆 𝒙𝒚𝒛 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒙 = 𝟑𝒓 + 𝒔 𝒚 = 𝟑𝒓 − 𝒔 𝒛 = 𝒓𝒔 x z y w r s r s^ r^ s 𝝏𝒘 𝝏𝒓

EJEMPLO 4 :

Sea 𝒘 = 𝒆 𝒙𝒚𝒛 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒙 = 𝟑𝒓 + 𝒔 𝒚 = 𝟑𝒓 − 𝒔 𝒛 = 𝒓𝒔 𝝏𝒘 𝝏𝒔

𝒙𝒚𝒛 − 𝒙𝒛𝒆 𝒙𝒚𝒛

• 𝒓𝒙𝒚𝒆 𝒙𝒚𝒛 𝝏𝒘 𝝏𝒔

𝟐 𝒔 − 𝒓𝒔 𝟐 𝒆 𝟗𝒓 𝟑 𝒔−𝒓𝒔 𝟑 − 𝟑𝒓 𝟐 𝒔 + 𝒓𝒔 𝟐 𝒆 𝟗𝒓 𝟑 𝒔−𝒓𝒔 𝟑

• (𝟗𝒓 𝟑 − 𝒓𝒔 𝟐 )𝒆 𝟗𝒓 𝟑 𝒔−𝒓𝒔 𝟑 𝝏𝒘 𝝏𝒔

𝟗𝒓 𝟑 𝒔−𝒓𝒔 𝟑 (𝟗𝒓 𝟑 − 𝟑𝒓𝒔 𝟐 )

APLICACIÓN: PARA DERIVAR IMPLÍCITAMENTE FUNCIONES DE UNA

VARIABLE

El diagrama de árbol F x y x

Hallar y` en 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝒙 𝟑 𝒚 = 𝟐𝒙 𝝏𝑭 𝝏𝒙

𝟑 𝒚 𝒄𝒐𝒔(𝒙 𝟑 𝒚)(𝟑𝒙 𝟐 𝒚) − 𝟐 𝝏𝑭 𝝏𝒚

𝟑 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝟑 𝒚 𝒄𝒐𝒔(𝒙 𝟑 𝒚) 𝒅𝒚 𝒅𝒙

𝟐 𝒚𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝟑 𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟑 𝒚 − 𝟐 𝟐𝒙 𝟑 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝟑 𝒚 𝒄𝒐𝒔(𝒙 𝟑 𝒚)

Ejercicio 1. Dada la ecuación 𝒙 𝟑

• 𝒚 𝟐 𝒙 − 𝟑 = 𝟎 𝑬𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝝏𝟊 𝝏𝒙

𝟐

• 𝒚 𝟐

𝟐

• 𝒚 𝟐 𝟐𝒚𝒙 Comprobemos derivando implícitamente 𝟑𝒙 𝟐
• 𝟐𝒚𝒚`𝒙 + 𝒚 𝟐 = 𝟎 𝒅𝒚 𝒅𝒙

𝟐

• 𝒚 𝟐 𝟐𝒚𝒙