Prof. Enrique Mateus Nieves
Doctorando en Educación Matemática.
Derivadas de las funciones trigonométricas inversas
Se usa la derivación implícita para hallar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.
Ya que si
)x(f
es derivable, su inversa notada
)x(f 1
también es derivable, excepto donde su
tangentes son verticales. Esto es posible porque la gráfica de una función derivable no tiene vértices ni
bucles, de ese modo, si al refleja con respecto a y=x, la gráfica de su función inversa tampoco tiene
vértices ni bucles.
La derivada de una función trigonométrica inversa se nota como:
x senarc
dx
d
xsen
dx
d
1
, cualquiera
de las dos notación es aceptada. Se definen:
2
x-1
1
x senarc
dx
d
xsen
dx
d
1
2
x-1
1-
xcosarc
dx
d
xcos
dx
d
1
2
x1
1
xtanarc
dx
d
xtan
dx
d
1
2
x1
1-
xcotanarc
dx
d
xancot
dx
d
1
1
1
2
xx
1
x secarc
dx
d
xsec
dx
d
1
1
2
xx
1-
xcscarc
dx
d
xcsc
dx
d
Ejemplo 1: Derive
xsen
y1
1
Solución:
1
1
1
1
xsen
xsen
y
de ahí que:
xsen
dx
d
xsenxsen
dx
d
dx
dy 1
2
1
1
1
2
2
11
1
xxsen
Ejemplo 2: Derive
xarctanxxf
la forma de f(x) es de un producto, por tanto aplicamos la fórmula
correspondiente, veamos:
Solución:
xarctan
x
x
x
x
xxarctan.xf
12
1
1
12
1
2
1
2
Ejercicios:
Encuentre
dx
dy
por derivación implícita, simplifique al máximo donde sea posible:
1.
xarctany
2.
xtany -1
3.
12 x senxf -1
