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TEMA 6 – DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
6.1 – DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
TASA DE VARIACIÓN MEDIA
Definición
Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una función, y = f(x) en un intervalo
[a,b] al cociente: T.V.M.[a,b] = b a
f(b) f(a ) Variaciónde x
Variaciónde f(x) −
Y es la pendiente del segmento que une los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b))
Con frecuencia, el intervalo se le designa mediante la expresión [a,a+h], nombrando, así, a un extremo del intervalo a, y a su longitud, h. En tal caso, la tasa de variación
media se obtiene : T.V.M. [a,a+h] = h
f (a+h)−f(a )
Si una función es creciente en [a,b], su tasa de variación media es positiva; y si es decreciente, negativa.
TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA O DERIVADA
Definición: Se llama tasa de variación instantánea (T.V.I) de una función, y = f(x) en un punto a o derivada de una función en un punto x = a , y se denota f ´(a)
T.V.I.(a) = f ´(a) = h
f(a h) f(a ) lim x a
f(x) f(a ) limx a (^) h 0
→ →
Significado: Es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en el punto x = a. Si es positiva ⇒ La función es creciente en el punto a Si es negativa ⇒ La función es decreciente en el punto a
DERIVADAS LATERALES
Se llama derivada por la izquierda de f en x = a, f ´(a-) a:
f ´(a-) = h
f(a h) f(a ) lim x a
f(x) f(a ) lim x a h 0
→−^ →^ −
Se llama derivada por la derecha de f en x = a, f ´(a+) a:
f ´(a+) = h
f(a h) f(a ) lim x a
f(x) f(a ) lim x a h 0
→+^ →^ +
A ambas se las llama derivadas laterales.
Nota: Si en un punto las derivadas laterales son distintas, el punto es anguloso. Si las derivadas laterales coinciden, la curva es “suave” o “lisa”, es decir, es derivable.
DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD
Si una función es continua en un punto puede ser derivable o no derivable en ese punto.
Ejemplos: a) f(x) = 2x^2 + 3 Continua en x = 0 y Derivable en x = 0 b) f(x) = |x| Continua en x = 0 y No derivable en x = 0
Pero si una función es derivable en un punto, necesariamente es continua en él.
Nota : Por el resultado anterior, cuando tengamos que estudiar la derivabilidad de una función estudiaremos primero su continuidad.
- Si es continua ⇒ Estudiaremos su derivabilidad (f ´(a-) = f ´(a+))
- Si no es continua ⇒ No es derivable.
6.2 – FUNCIÓN DERIVADA
Si una función, f, es derivable en todos los puntos de un intervalo, I, la función f ´:
x → f ´(x) = h 0
f (x h) f (x) lim → h
definida en I, se llama función derivada de f.
Si f ´es derivable, su derivada se llama f ´´ (se lee derivada segunda o f segunda). Así sucesivamente, se definen f ´´´, fiv, …, f n)^ (f tercera, f cuarta,… f n-ésima).
Otra forma de nombrar las derivadas es Df, D^2 f, D^3 f, …, Dnf. Habitualmente se obtienen las derivadas de las funciones a partir de las llamadas “reglas de derivación” que permiten obtener con comodidad y rapidez la derivada de cualquier función.
6.3 – REGLAS DE DERIVACIÓN
OPERACIONES CON DERIVADAS
- Multiplicación por un número :(k.f(x))’ = k.f ‘(x)
