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Aplicar el concepto de la integral y las técnicas de integración para la resolución de problemas en contextos multidisciplinares. La actividad
Tipo: Ejercicios
1 / 31
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Fase 3 técnicas de integración
Deisy Vanessa Álvarez, Diana Cristina Insuasty, Rodrigo David Ibarra
y William Edward Delgado Hernández
Programa de Licenciatura en Matemáticas, Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD
551110_14: Calculo Integral
Arnol Ortiz
Octubre 18 de 2022
Introducción
En el presente trabajo se desarrollan una serie de ejercicios relacionados con las
integrales empleando diferentes metodologías para su solución, puesto que cada tipo de ejercicios
posee un método diferente, empezando desde el más sencillo y terminando en el más complejo.
Lo que se busca a través del desarrollo de este, no solo es identificar las diversas técnicas
de integración para la resolución de operaciones y aplicaciones básicas de la integral, si no
también potencializar las habilidades prácticas y conceptuales de los estudiantes.
(
)
x
− 1
x
Regresando a la variable inicial:
1 − e
u
d.
Se debe tener en cuenta que la integración por sustitución se usa para convertir una función en
otra más fácil de integrar. Y se debe identificar que en la expresión este la función compuesta y
su derivada dentro de la función.
Se reemplaza
u = lnx
du =
x
.dx
Una vez se tienen los datos, se rescribe la integral de la siguiente manera:
Ahí ya se evidencia una integral más sencilla y por tanto más fácil de resolver
u
2 + 1
Se procede a desarrollar
u
3
Finalmente se obtiene:
e.
sec
2
θ t an
3
θ dθ
u =tan θ
du = se c
2
θ dθ
Se sustituye
u
3
. du
Se tiene la siguiente fórmula
u
n
du =
u
n + 1
n + 1
u
3 + 1
u
4
Ahora se pasa la función a términos
θ :
4
4
2. Ejercicios tipo 2: Integración por partes
Hallar la integra indefinida, se aplica el método de integración por partes:
u dv = uv −
v du
I: Inversa
L: Logarítmica
A: Algebraica
T: Trigonométrica
E: Exponencial
a.
También se expresa:
ln
2
( x ) dx
Ley de los signos.
∫
x
2
cos
x
dx =
x
2
sen
x
−[−cos
x
2 x + 2
x
] + c , integral de seno.
x
2
cos
x
dx =
x
2
sen
x
x
2 x + 2
− 2 sen
x
, ley de signos.
∫
x
2
cos
x
dx = sen
x
x
2
+cos
x
2 x + 2
, factor común.
d.
t e
− 3 t
dt
Con el anterior acrónimo se determina si, estos se encuentran dentro de la función; de la siguiente
manera:
I: No hay
L: No hay
A: Si hay, en este caso es u = t
T: No lo hay
E: Si hay, en este caso es igual a dv = e
− 3 t
dt
Ya determinando los datos se tiene:
u = t y dv = e
− 3 t
dt
. Se procede a determinar
v y du y se
obtienen derivando ambos lados de la ecuación, de la siguiente manera:
u = t
du
dt
d ( t )
dt
du
dt
du = 1 dt
Se procede a desarrollar el otro lado de la ecuación
dv = e
− 3 t
dt
dv =
e
− 3 t
dt
v =
e
− 3 t
dt
v =
e
− 3 t
Se procede a aplicar la siguiente formula
u dv = u v −
v du
t e
− 3 t
dt = t
(
e
− 3 t
)
e
− 3 t
dt
t e
− 3 t
dt =
t e
− 3 t
e
− 3 t
dt
t e
− 3 t
dt =
t e
− 3 t
e
− 3 t
t e
− 3 t
dt =
− t e
− 3 t
e
− 3 t
e.
x
2
ln ( x ) dx
u =ln x dv = x
2
dx
du =
x
dx v =
x
3
u dv = uv −¿
v du ¿
x
2
ln
x
dx =ln
( x )∗ x
3
x
3
x
dx
x
3
∙ ln
x
x
2
dx
x
3
∙ ln ( x )−
x
2
dx
x
3
∙ ln ( x )−
∗ x
3
sen
3
( x ) −
sen
5
( x ) + c
c.
tan ( x ) sec
3
( x ) dx
Se puede reescribir de la siguiente manera:
Sea u = sec ( x ), du =tan( x ) sec ( x ) dx
Se hace la sustitución:
tan ( x ) sec
3
( x ) dx =
u
2
du
u
3
, integral de potencias.
Se regresa a la variable inicial:
sec
3
( x )
d.
sen ( 3 x ) sen ( 6 x ) dx
Primero que todo se utiliza la siguiente formula trigonométrica.
senAx senBx =
[ cos ( A − B ) x −cos ( A + B ) x ]
En este caso A vale 3 y B vale 6, el paso a seguir es sustituir
[
cos ( 3 − 6 ) x −cos ( 3 + 6 ) x ]
dx
Se saca el
y se realiza las operaciones
cos− 3 x dx −
cos 9 x dx
cos− 3 x − 3 dx −
cos 9 x 9 dx
sen − 3 x −
sen 9 x + c
e.
0
π
2
se n
2
( θ ) cos
2
( θ ) dθ
se n
2
( θ ) cos
2
( θ ) dθ
cos
2
θ − co s
4
θ dθ
cos
2
θ −
(cos ¿¿ 2 θ )
2
θ +
sen 2 θ −
1 + 2 cos 2 θ + cos
2
2 θ dθ
θ +
sen 2 θ −
θ −
sen 2 θ −
cos
2
2 θ dθ
θ +
sen 2 θ −
θ −
sen 2 θ −
( 1 +cos 4 θ ) dθ
θ −
( 1 + cos 4 θ ) dθ
sec
3
u
tan ( u )
sec
2
( u ) − 1
du
Como sec
2
u
− 1 =tan
2
( u )
sec
3
( u ) du
Aplica fórmula:
sec
n
( u ) du =
sec
n − 2
u
tan ( u )
n − 1
n − 2
n − 1
sec
n − 2
( u ) du
Con n = 3
sec ( u ) tan ( u )
sec
u
du
sec ( u ) tan ( u )
sec ( u ) tan ( u )
+ln ¿ ¿
Finalmente se sustituye con : u = sec
− 1
t
Donde tan ( sec
− 1
( t ) )=¿
t
2
sec ( sec
− 1
t
)= t
t
t
2
ln (
t
2
− 1 + t )
t
t
2
− 1 + ln (
t
2
− 1 + t )
Se aplica la función de valor absoluto a los argumentos de funciones logarítmica con el
objeto de extender el dominio de la antiderivada:
t
t
2
− 1 + ln (
|
t
2
− 1 + t
| )
(Stewart, 2012)
c.
dx
x
2
Sea
x = 4 tan ( u ) , dx = 4 sec
2
( u ) du , luego:
dx
2
4 sec
2
( u ) du
√
( 4 tan( u ))
2
4 sec
2
( u ) du
16 tan
2
( u )+ 16
, propiedad de la potenciación.
4 sec
2
( u ) du
√
16 (tan¿¿ 2 ( u )+ 1 )
¿, factor común.
4 sec
2
( u ) du
√ 16
tan
2
( u )+ 1
, propiedad de la radicación.
4 sec
2
( u ) du
2
( u )
, radicación e identidad trigonométrica.
4 sec
2
( u ) du
4 sec ( u )
, radicación como inversa de la potenciación.
sec ( u ) du , simplificación
¿ ln |
sec ( u ) +tan ( u ) |
Para regresar a la variable inicial se debe hacer un triángulo rectángulo a partir de
x = 4 tan ( u ) .
∅ =tan ( u )
Se realiza la sustitución trigonométrica:
∅ =tan ( u ) → u =tan
− 1
( ∅ ) , d ∅ = sec
2
( u ) du
Se escribe la integral indefinida:
sec
2
( u )
tan
2
( u ) + 1 du
Se aplica la identidad:
tan
2
( u )+ 1 = sec
2
( u )
sec
2
( u )
sec
2
( u ) du
sec
2
( u ) ∙ sec ( u ) du
sec
3
( u ) du
Aplica la fórmula:
sec
n
( u ) du =
sec
n − 2
u
tan ( u )
n − 1
n − 2
n − 1
sec
n − 2
( u ) du
Con n = 3
sec
3
( u ) du =
sec
3 − 2
u
tan ( u )
sec
3 − 2
( u ) du
sec ( u ) tan ( u )
sec
u
du
sec ( u ) tan ( u )
sec ( u ) tan ( u )
+ln ¿ ¿
Se deshace la sustitución con u =tan
− 1
θ
θ =tan(tan
− 1
θ
sec ( tan
− 1
( θ ) )=
θ
2
θ
θ
2
ln (
θ
2
Aplica la función valor absoluto:
θ
θ
2
θ
2
Luego se evalúa los extremos:
2
|
2
|
0
1
2
2
2
2
√ 2 +ln (
| √ 2 + 1
| )
ln ( 0 +
| √ 1
| )
√ 2 +ln (
| √ 2 + 1
| )
e.
x
2
Triángulo rectángulo
(Geogebra, 2022)
tanθ =
x
√ 7
x =tan √
d x ¿ √ 7 sec
2
θ dθ
sec θ =
2
√ 7
X
√
2
θ
sec
tan
− 1
x
√ 7
x
2
Se aplican las sustituciones:
√
7 x
x
2
7 ln
x
2
x
√ 7
Aplica valor absoluto:
√ 7 x
x
2
7 ln
x
2
x
√
2
2
1.5 Ejercicios tipo 5: Integración por fracciones parciales
a.
∫
0
2
2 x
2
∫
0
2
2 x
2
Como 2 x
2
2 x + 1
x + 1
A ( x + 1 )+ B ( 2 x + 1 )= 1
Si x =− 1 → A (− 1 + 1 ) + B ( 2 ∙ − 1 + 1 )= 1 → B (− 1 )= 1 → B =− 1
Si x =
∫
0
2
2 x
2
∫
0
2
2 x + 1
x + 1
[
(
ln ( 2 x + 1 )
)
− 2 ∙ ln ( x + 1 )
]
0
2
=[ 2 ∙ ln ( 2 x + 1 )− 2 ln ( x + 1 )]
0
2
0
2
(
2 ∙ ln
− 2 ln
) )
(
2 ∙ ln
− 2 ln
) )
(
2 ∙ ln
− 2 ln
) )
(
2 ∙ ln
− 2 ln
) )
(Stewart, 2012).
x
2
( x − 3 )( x − 2 )
2
dx
Se halla las fracciones parciales:
x
2
( x − 3 )( x − 2 )
2
x − 3
x − 2
( x − 2 )
2
x
2
( x − 3 )( x − 2 )
2
A ( x − 2 )
2
x − 3
x − 2
( x − 3 )( x − 2 )
2
, suma de expresiones racionales.
Simplificando en ambos lados tendremos:
x
2
2
x − 3
x − 2
x
2
2
− 4 x + 4 )+ B ( x
2
− 5 x + 6 )+ Cx − 3 c
, productos notables.
x
2
2
− 4 xA + 4 A + B x
2
− 5 xB + 6 B + Cx − 3 C
, propiedad distributiva.
