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Aplicar el concepto de la integral y las técnicas de integración para la resolución de problemas en contextos multidisciplinares. La actividad
Tipo: Ejercicios
1 / 27
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Fase 4. Aplicaciones de la integral en longitud de arco, áreas y volúmenes
Deisy Vanessa Álvarez, Diana Cristina Insuasty, Rodrigo David Ibarra
y William Edward Delgado Hernández
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD
Programa de Licenciatura en Matemáticas
551110_14: Cálculo Integral
Tutor Arnol Ortiz
Noviembre 8 de 2022
Introducción
En la naturaleza y en la cotidianidad existen diversos tipos de funciones, pero sería
interesante descubrir la longitud de un puente curvo; el área que encierra dos puentes curvos; el
volumen de un cuerpo que proviene de un sólido de revolución, fue lo que motivó realizar el
siguiente trabajo. Antiguamente no era posible resolver estos interrogantes, pero gracias a los
estudios de Newton, Leivniz, entre otros; se desarrolló la base del cálculo integral, que permite
conocer estas medidas.
A continuación se efectúan algunos ejercicios de aplicación teniendo en cuenta los
extremos o intervalo del cual se estudia las funciones aplicando estrategias del cálculo de manera
analítica y luego comprobando con el aplicativo Geogebra. Se tiene en cuenta el autor James
Stewart y otras fuentes.
∫
f
x
dx− ∫
g
x
dx= ∫
5 x−x
2
dx−¿ ∫
x
dx ¿
5 x
2
x
3
x
2
4 x
2
x
3
¿ 2 x
2
x
3
Luego se evalúan los extremos:
[
2 x
2
x
3
]
0
4
2
3
2
3
Comprobación en GeoGebra
Ejercicio tipo 3. Longitud de arco de una curva
Para los siguientes ejercicios plantee y resuelve la integral para hallar la longitud
curva de las funciones dadas en un intervalo.
a. y=cos x 0 ≤ x ≤ π
Primero se debe de hallar la derivada
y ´=−sen (x)
y se coloca este valor en la formula de lalomgitud delarco
a
b
1 +[ y ´ ]
2
0
π
1 +[−sen( x )]
2
dx
3 π
2 π
π
3 π
7 π
4 π
9 π
π 1
Ahora se desarrolla las siguiente sumatoria, para luego reemplazar en la formula
k= 0
10 − 2
2
f
x
2 k + 1
k= 0
4
f
x
2 k + 1
f
x
2 ∗ 0 + 1
=f
x
1
f
x
2 ∗ 1 + 1
=f
x
3
f
x
2 ∗ 2 + 1
=f
x
5
f
x
2 ∗ 3 + 1
=f
x
7
f
x
2 ∗ 4 + 1
=f
x
9
k= 1
10 − 2
2
f
x
2 k
k= 1
4
f
x
2 k
f
x
2 ∗ 1
=f
x
2
f
x
2 ∗ 2
=f
x
4
f
x
2 ∗ 3
=f
x
6
f
x
2 ∗ 4
=f
x
8
Ahora se procede a reemplazar en la formula todos los valores obtenidos
∆ x
[
f
x
0
x
n
k= 0
n− 2
2
f
x
2 k + 1
k= 1
n− 2
2
f
x
2 k
]
π
π
Comprobación del resultado en geogebra
Ejercicio tipo 2-sólidos en revolución
Para los siguientes ejercicios hallar el volumen de los sólidos en revolución de manera analítica.
c. y = 2 −
x ; y= 0 para 0 ≤ x ≤ 2 alrededor del eje x ∥ por el metodo de discos
Solución
Analíticamente
Primero se busca el radio, que en este caso corresponde a
x
En seguida
dv =π. R
2
.h
dv =π ¿
Se usa ¿
dv = 2
2
x+¿
dv =π .( 4 − 2 x +
x
2
dv = 4 π− 2 πx+
π x
2
dx
dv = 4 π− 2 πx+
π x
2
dx
dv = ∫
0
2
4 π− 2 πx+
π x
2
4 π− 2 πx+
π x
2
f ( x ) ± g ( x ) dx=
f ( x ) dx ±
g ( x ) dx
4 πdx−
2 πx dx+
π x
2
dx
Se resuelve las integrales
a ax=a. x y con
x dx =
x
2
4 πx −π x
2
π x
2
dx
Ahora
a. f ( x ) dx=a.
f ( x ) dx
4 πx −π x
2
π
x
2
dx
x
n
dx=
x
n+ 1
n+ 1
Finalmente se resuelve
4 πx −π x
2
π
x
3
dx
Para los siguientes ejercicios plantee y resuelve la integral para hallar la longitud curva de las
funciones dadas en un intervalo.
c. y =e
x
Solución
Analíticamente
Tenemos que verificar si la función es continua, teniendo en cuenta la notación de intervalos
Con la anterior información se identifica que la función es continua
Se encuentra la derivada de
f
x
=e
x
Se aplica la regla de la suma respecto a x
d
dx
x
d
dx
Se usa la regla de la exponencial para diferenciar
d
dx
x
x
ln( a ) cuando a es igual a e
e
x
x
Se usa la formula
∫
a
b
∫
0
1
Comprobando el resultado en Geogebra
Aportes William Edwar Delgado Hernández – Literal d
Ejercicios tipo 1. Áreas entre dos curvas
d. Hallar el área de manera analítica y luego compruebe el resultado con Geogebra.
f
x
= 12 −x
2
; g
x
=x
2
Analíticamente:
12 −x
2
=x
2
0 =x
2
2
72 unidadescuadradas es el área entre las dos curvasen elintervalo :(− 3 , 3 ).
(Geogebra, 2022)
(Stewart, 2012)
1.2. Ejercicios tipo 2: Sólidos de revolución
Para los siguientes ejercicios hallar el volumen de los sólidos en revolución de manera analítica.
d. y=
x− 1 ; y = 0 para 0 ≤ x ≤ 5 al rededor de X Por el mé todo de discos.
Con y = 0 →
2
2
→ 0 =x− 1 → x = 1
1 ≤ x ≤ 5
Donde x es cualquier número real comprendido entre 1 y 5.
(Geogebra, 2022)
A continuación se refleja (línea negra) la función y se traza una sección (región morada).
(Geogebra, 2022)
El ancho de la secci ó n ser á :dx.
La forma que toma al girar en torno al eje equis dicha función es semejante a la siguiente:
(Geogebra, 2022)
v=π
∫
1
5
(x− 1 )dx giraen el eje x.
v=π
[
x
2
−x
]
1
5
v=π
[
(
2
)
(
2
)
]
v=π
[
(
)
(
) ]
=π
[
(
)
(
) ]
¿ π
[
(
)
(
)
]
=π
[
(
)
(
)
]
=π
[
(
)
]
= 8 π
v= 8 π ≈ 25,13 u
3
(Geogebra, 2022)
1.3 Ejercicios tipo 3. Longitud de arco de una curva
2
0 ≤ x ≤ 1
La longitud de arco corresponde a la distancia que recorre una partícula a lo largo de la gráfica
y=f ( x ) entre x=a y x=b.
Se utiliza la fórmula:
Longitud de arco
0
1
√
f ' ( x)
2
dx
(Chávez, 2004).
Se debe derivar la función: y=
2 −x
2
Se aplica regla de la cadena: u= 2 −x
2
y
'
=u
1
2
∙ u
1
2
− 1
u
− 1
2
2 u
1
2
u
dy
dx
u
∙ (− 2 x)
Se deshace la sustitución con: u= 2 −x
2
dy
dx
2
∙ (− 2 x ) luego se simplifica
dy
dx
−x
2 − x
2
Luego se reemplaza en la fórmula:
∫
0
1
−x
2
2
dx
∫
0
1
( x )
2
2 −x
2
dx
0
1
2 −x
2
2
2 −x
2
dx
0
1
2 −x
2
dx
