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TEMA 1: Estad´ıstica Descriptiva
1 Introducci´on
Conceptos Generales
- Poblaci´on
- Muestra
- Variables
Discretas
Continuas
2 Distribuciones unidimensionales de frecuencias
Sea X la variable de inter´es, y sean x 1 , x 2 ,... , x k los distintos valores que toma dicha variable.
Dada una muestra de n datos, definimos:
- Frecuencia absoluta: n i , n
◦ de veces que se repite cada valor x i
n i
n
. N´otese que 100f i es el porcentaje de veces que aparece x i
en la muestra.
- Frecuencia absoluta acumulada de x i (una vez ordenados de menor a mayor): es el
n´umero de datos menores o iguales que x i
. N
i = n 1 +... + n i
i ∑
k=
n k la frecuencia absoluta
acumulada de x i
- Frecuencia relativa acumulada: Fi = f 1 +... + fi =
i ∑
k=
fk =
N
i
n
2.1 Tablas de distribuci´on de frecuencias:
- Variables cuantitativas con los datos sin agrupar.
Valores variable Fr. abs. Fr. rel. Fr. abs. acum. Fr. rel. acum.
x i n i f i
N
i
F
i
x 1 n 1 f 1
N
1
F
1
x k n k f k
N
k = n F k
n 1
- Variables cualitativas: la tabla es equivalente a la anterior aunque si no hay relaci´on de
orden entre los valores de la variable se eliminan las columnas de frecuencias acumuladas.
- Variables cuantitativas continuas con datos agrupados en intervalos de clase: [L i− 1
, L
i
Tomamos como representante del intervalo a su punto medio, la marca de clase, x i
L
i− 1
+ L
i
. La densidad de datos d i de cada clase es el n´umero de datos por unidad de
amplitud.
Int. clase Marca clase Fr. abs. Fr. rel. Fr. abs. ac. Fr. rel. ac. amplitud densidad datos
[L
i− 1
, L
i ) x i n i f i
N
i
F
i a i d i = n i /a i
[L
0
, L
1 ) x 1 n 1 f 1
N
1
F
1 a 1 d 1
[L
k− 1
, L
k ) x k n k f k
N
k
F
k a k d k
n 1
3 Representaciones Gr´aficas
Variables cualitativas:
Diagrama de rect´angulos: cada rect´angulo representa cada uno de los valores que toma la
variable y su altura es la frecuencia correspondiente.
Diagramas de sectores: cada sector representa cada uno de los valores que toma la variable y
su ´angulo es proporcional a la frecuencia correspondiente.
¿Acabar´a el R.C.Celta en puestos de Europa?
SÍ
85%
NO
10%
NS/NC
5%
85%
10%
5%
SÍ NO NS/NC
Variables cuantitativas discretas:
Diagrama de barras: En el eje de abscisas se sit´uan los diferentes valores de la variable,
construyendo sobre estos unas barras de altura igual a la frecuencia de cada valor.
Tambi´en se puede usar el diagrama de sectores cuando la variable no tome muchos valores
diferentes.
- Si la distribuci´on de frecuencias es sim´etrica respecto a un valor c, entonces X = c.
- Media ponderada: X
w
=
x 1 w 1
w 1 + w 2 +... + wk
- Media en subpoblaciones: X =
X
1
N
1
+ X
2
N
2
+... + X
L
N
L
N
1
+ N
2
+... + N
L
4.1.2 Moda (Mo)
Es el valor de la variable que m´as veces se repite, el m´as frecuente. C´alculo de la moda:
- Datos no agrupados: valor de la variable de mayor frecuencia absoluta o relativa.
- Datos agrupados: se busca en el intervalo modal, el de mayor densidad de datos.
Mo = Li− 1 +
d i+
d i+
ai.
4.1.3 Mediana (Me)
Dada una distribuci´on de frecuencias (x i , n i ) con valores ordenados de menor a mayor, llamamos
mediana, Me, al valor de la variable que divide la distribuci´on de frecuencias en dos partes iguales.
C´alculo de la mediana:
- Datos no agrupados: se busca la primera frecuencia acumulada tal que N i
n
- Si Ni > n/2, entonces Me = xi.
- Si N i = n/2, entonces Me =
x i
- Datos agrupados: el intervalo mediano es el primero verificando N i
n
. La mediana se
calcula con la siguiente f´ormula: Me = L i− 1
n
2
− N
i− 1
n i
a i
= L
i− 1
1
2
− F
i− 1
f i
a i
4.1.4 Cuantil de orden p con 0 < p < 1 (x p
Es aquel valor que deja a lo sumo pn observaciones a su izquierda y (1 − p)n observaciones a su
derecha. Destacamos en particular los cuantiles siguientes:
- Cuartiles (Q 1
, Q
2
, Q
3 ): dividen a la distribuci´on el cuatro partes iguales.
- Deciles (D 1
, D
2
,... , D
9 ): dividen a la distribuci´on en diez partes iguales.
- Percentiles (P 1
, P
2
,... , P
99 ): dividen a la distribuci´on en cien partes iguales.
C´alculo del cuantil de orden p:
- Datos no agrupados: se busca la primera frecuencia acumulada tal que N i ≥ pn:
- Si N i
pn, entonces x p = x i
- Si N i = pn, entonces x p
x i
- Datos agrupados: el intervalo del cuantil ser´a el primero verificando N i ≥ pn. El cuantil se
calcula con la siguiente f´ormula: x p
= L
i− 1
pn − N i− 1
n i
a i
= L
i− 1
p − F i− 1
f i
a i
4.2 Medidas de Dispersi´on
4.2.1 Medidas de Dispersi´on Absolutas
Estas medidas llevan unidades asociadas.
Rango o recorrido: es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la muestra: Re =
max
i=1...k
x i − min
i=1...k
x i
Recorrido Intercuart´ılico: es la diferencia existente el tercer cuartil y el primero: R I
Q 3 − Q 1.
Varianza: mide la dispersi´on respecto a la media: S
2
n,X
n
k ∑
i=
x i
− X
2
n i
k ∑
i=
x i
− X
2
f i
Desviaci´on t´ıpica: raiz cuadrada de la varianza S n,X
S
2
n,X
Propiedades de la varianza y la desviaci´on t´ıpica:
2
n,X
≥ 0, S
n,X
• S
2
n,X
n
k ∑
i=
x
2
i
ni − X
2
.
• S
2
n,aX+b
= a
2 S
2
n,X
y por tanto S n,aX+b = aS n,X
4.2.2 Medidas de Dispersi´on relativas
Estas medidas no llevan unidades asociadas, son adimensionales.
Coeficiente de variaci´on de Pearson: es el cociente entre la desviaci´on t´ıpica y la media:
CV =
S
n,X
X
4.2.3 Gr´afico de caja o Box-plot
o *
Mediana Q 1
Q 3
Límite
interior
Límite
Exterior
Rango Intercuantílico
Valor mínimo dentro
de los límites
Posible dato
Dato atípico atípico
Q 1
-3RI Q 1
-1.5RI Q 3
+1.5RI (^) Q 3
+3RI
Límite
Exterior
Límite
interior
Valor máximo dentro de
los límites
4.2.4 Tipificaci´on
Dada una variable X con media μ, y varianza σ
2 , la nueva variable Z =
X − μ
σ
es su tipificada.
Z es adimensional, tiene media 0 y varianza 1.
-6,00 -4,00 -2,00 0,00 2,00 4,00 6,
0,
0,
0,
0,
0,
g 2 >
g 2 =
g 2 <
5 Distribuciones bidimensionales de frecuencias
5.1 Introducci´on
Una variable bidimensional la denotamos por (X,Y). Se trata de un par ordenado, donde X, Y
son las dos variables.
Los valores vienen expresados por (x i , y j ) con x i ∈ X, y j ∈ Y para todo i = 1,... , k y
j = 1,... , h.
5.2 Tablas de frecuencias
- Frecuencia absoluta del par (x i , y j ): n ij es el n´umero de veces que se presenta conjun-
tamente el par de valores (xi, yj ).
- Frecuencia relativa del par (x i , y j ): f ij
n ij
N
. 100 f ij es el porcentaje de veces que se
presenta conjuntamente el par (x i , y j
X/Y y 1
... y j ... y h T otal
x 1 n 11
... n 1 j ... n 1 h n 1.
xi ni 1... nij... nih ni.
x k n k 1
... n kj ... n kh n k.
T otal n
. 1 ... n .j ... n .h n
En la ´ultima columna y en la ´ultima fila se escriben los totales por columna y fila res-
pectivamente. Se denominan frecuencias marginales: n i. es el n´umero total de veces que se ha
presentado el valor x i con independencia de los valores que tome la variable Y , y n .j es el n´umero
total de veces que se present´o el valor y j con independencia de los valores que toma X.
Los distintos valores xi pueden aparecer agrupados en intervalos del tipo (Li− 1 , Li] y los valores
y j en intervalos (L j− 1
, L
j
].
5.3 Representaciones gr´aficas
Diagrama de barras. Para variables cualitativas o cuantitativas sin agrupar.
ojosclaros
ojososcuros
0
10
20
30
40
peloclaro pelooscuro
Diagrama de dispersion. Para variables cuantitativas sin agrupar. Este gr´afico nos puede
se˜nalar alg´un tipo de relaci´on funcional entre las variables.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70
Gr´aficos de resumen de una de las variables en funci´on de la otra. Se resume una
variable cuantitativa (calculando su media, suma, mediana, etc.) en funci´on de otra variable
cualitativa o cuantitativa discreta que tome pocos valores.
5,
9
7,
2,
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Aprobado MatrículadeHonra Notable Suspenso
3. S
aX+b,cY +d = acS XY
- Depende de las unidades de medida y no est´a acotada.
Coeficiente de correlaci´on de Pearson: r XY = r =
S
XY
Sn,X · Sn,Y
Es una medida adimensional que mide el grado de dependencia lineal entre las dos variables.
Toma valores en el intervalo [− 1 , 1]. Un valor de r cercano o igual a 0 implica poca o ninguna
relaci´on lineal entre X e Y (si r = 0 se dice que ambas variables est´an incorreladas), mientras que
cuanto m´as se acerque a 1 o a -1, m´as fuerte ser´a la relaci´on lineal entre X e Y , directa o inversa
respectivamente.
r XY
0: Y aumenta cuando aumenta X r XY < 0: Y disminuye cuando aumenta X
rXY = 1: relaci´on positiva perfecta rXY = −1: relaci´on negativa perfecta
r XY cercano a 0: poca o ninguna relaci´on r XY cercano a 0: poca o ninguna relaci´on lineal
lineal entre X e Y entre X e Y , pero clara relaci´on cuadr´atica
