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TEMA 1: Estad´ıstica Descriptiva
1 Introducci´on
Conceptos Generales
- Poblaci´on
- Muestra
- Variables
Discretas
Continuas
2 Distribuciones unidimensionales de frecuencias
Sea X la variable de inter´es, y sean x 1 , x 2 ,... , x k los distintos valores que toma dicha variable.
Dada una muestra de n datos, definimos:
- Frecuencia absoluta: n i , n
◦ de veces que se repite cada valor x i
n i
n
- Frecuencia absoluta acumulada de x i (una vez ordenados de menor a mayor): es el
n´umero de datos menores o iguales que x i
. N
i = n 1 +... + n i
i ∑
k=
n k la frecuencia
absoluta acumulada de x i
- Frecuencia relativa acumulada: F i = f 1 +... + f i
i ∑
k=
f k
Ni
n
2.1 Tablas de distribuci´on de frecuencias:
- Variables cuantitativas con los datos sin agrupar.
Valores variable Fr. abs. Fr. rel. Fr. abs. acum. Fr. rel. acum.
xi ni fi Ni Fi
x 1 n 1 f 1
N
1
F
1
x k n k f k
N
k = n F k
n 1
- Variables cualitativas: la tabla es equivalente a la anterior aunque si no hay relaci´on de
orden entre los valores de la variable se eliminan las columnas de frecuencias acumuladas.
- Variables cuantitativas continuas con datos agrupados en intervalos de clase: [L i− 1
, L
i
Tomamos como representante del intervalo a su punto medio, la marca de clase, x i
L
i− 1
+ L
i
Int. clase Marca clase Fr. abs. Fr. rel. Fr. abs. ac. Fr. rel. ac. amplitud densidad datos
[L
i− 1
, L
i ) x i n i f i
N
i
F
i a i d i = n i /a i
[L
0
, L
1 ) x 1 n 1 f 1
N
1
F
1 a 1 d 1
[Lk− 1 , Lk) xk nk fk Nk Fk ak dk
n 1
3 Representaciones Gr´aficas
Variables cualitativas:
Diagrama de rect´angulos: cada rect´angulo representa cada uno de los valores que toma la
variable y su altura es la frecuencia correspondiente.
Diagramas de sectores: cada sector representa cada uno de los valores que toma la variable
y su ´angulo es proporcional a la frecuencia correspondiente.
¿Subir´a el Celta a primera divisi´on?
(^50) Sí
60
70
80
90
Sí
No
NS/NC
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Sí No NS/NC
Variables cuantitativas discretas:
Diagrama de barras: En el eje de abscisas se sit´uan los diferentes valores de la variable,
construyendo sobre estos unas barras de altura igual a la frecuencia de cada valor.
Nivel educativo
Frecuencia
20
60
100
80
120
140
160
40
180
200
8 12 14 15 16 17 18 19 20 21
4.1.3 Mediana (Me)
Dada una distribuci´on de frecuencias (xi, ni) con valores ordenados de menor a mayor, llamamos
mediana, Me, al valor de la variable que divide la distribuci´on de frecuencias en dos partes
iguales.
C´alculo de la mediana:
- Datos no agrupados: se busca la primera frecuencia acumulada tal que N i
n
- Si N i > n/2, entonces Me = x i
- Si N i = n/2, entonces Me =
x i
- Datos agrupados: el intervalo mediano es el primero verificando N i
N
. La mediana se
calcula con la siguiente f´ormula: Me = L i− 1
N
2
− N
i− 1
n i
a i
= L
i− 1
1
2
− F
i− 1
f i
a i
4.1.4 Cuantil de orden p con 0 < p < 1 (x p
Es aquel valor que deja a lo sumo pN observaciones a su izquierda y (1 − p)N observaciones a
su derecha. Destacamos en particular los cuantiles siguientes:
- Cuartiles (Q 1
, Q
2
, Q
3 ): dividen a la distribuci´on el cuatro partes iguales.
- Deciles (D 1 , D 2 ,... , D 9 ): dividen a la distribuci´on en diez partes iguales.
- Percentiles (P 1
, P
2
,... , P
99 ): dividen a la distribuci´on en cien partes iguales.
C´alculo del cuantil de orden p:
- Datos no agrupados: se busca la primera frecuencia acumulada tal que N i ≥ p:
- Si N i
pN, entonces x p = x i
- Si Ni = pN, entonces xp =
x i
- Datos agrupados: el intervalo del cuantil ser´a el primero verificando N i ≥ pN. El cuantil
se calcula con la siguiente f´ormula: xp = Li− 1 +
pN − N i− 1
n i
ai = Li− 1 +
p − F i− 1
f i
ai.
4.2 Medidas de Dispersi´on
4.2.1 Medidas de Dispersi´on Absolutas
Estas medidas llevan unidades asociadas.
Rango o recorrido: es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la muestra: Re =
max
i=1...k
x i − min
i=1...k
x i
Recorrido Intercuart´ılico: es la diferencia existente el tercer cuartil y el primero: R I
Q
3
− Q
1
Varianza: mide la dispersi´on respecto a la media: S
2
n,X
n
k ∑
i=
xi −
X
2
ni =
k ∑
i=
xi −
X
2
fi.
Desviaci´on t´ıpica: raiz cuadrada de la varianza S n,X
S
2
n,X
Propiedades de la varianza y la desviaci´on t´ıpica:
2
n,X
≥ 0, Sn,X ≥ 0.
• S
2
n,X
n
k ∑
i=
x
2
i
n i
X
2 .
• S
2
n,aX+b
= a
2 S
2
n,X
y por tanto S n,aX+b = aS n,X
4.2.2 Medidas de Dispersi´on relativas
Estas medidas no llevan unidades asociadas, son adimensionales.
Coeficiente de variaci´on de Pearson: es el cociente entre la desviaci´on t´ıpica y la media:
CV =
S
n,X
X
4.2.3 Tipificaci´on
Dada una variable X con media μ, y varianza σ, la nueva variable Z =
X − μ
σ
es su tipificada.
Z es adimensional, tiene media 0 y varianza 1.
4.3 Medidas de Forma
Est´an relacionadas con la representaci´on gr´afica de la distribuci´on. Vamos a estudiar las medidas
de asimetr´ıa y de curtosis (o apuntamiento).
4.3.1 Medidas de asimetr´ıa
Coeficiente de asimetr´ıa de Fisher g 1
n
k ∑
i=
n i (x i
X)
3
S
3
n,X
- g 1 > 0: asimetr´ıa positiva o por la derecha.
- g 1 < 0: asimetr´ıa negativa o por la izquierda.
- g 1 = 0: la distribuci´on es sim´etrica.
5 Distribuciones bidimensionales de frecuencias
5.1 Introducci´on
Una variable bidimensional la denotamos por (X,Y). Se trata de un par ordenado, donde X, Y
son las dos variables.
Los valores vienen expresados por (x i , y j ) con x i ∈ X, y j ∈ Y para todo i = 1,... , k y
j = 1,... , h.
5.2 Tablas de frecuencias
- Frecuencia absoluta del par (xi, yj ): nij es el n´umero de veces que se presenta conjun-
tamente el par de valores (x i , y j
- Frecuencia relativa del par (xi, yj ): fij =
n ij
N
. 100fij es el porcentaje de veces que se
presenta conjuntamente el par (xi, yj ).
X/Y y 1
... y j ... y h T otal
x 1 n 11
... n 1 j ... n 1 h n 1.
x i n i 1
... n ij ... n ih n i.
xk nk 1... nkj... nkh nk.
T otal n
. 1 ... n .j ... n .h n
En la ´ultima columna y en la ´ultima fila se escriben los totales por columna y fila res-
pectivamente. n i. es el n´umero total de veces que se ha presentado el valor x i con independencia
de los valores que tome la variable Y. n .j es el n´umero total de veces que se present´o el valor
y j con independencia de los valores que toma X. Son las frecuencias marginales.
Los distintos valores x i pueden aparecer agrupados en intervalos del tipo (L i− 1
, L
i ] y los
valores yj en intervalos (Lj− 1 , Lj ].
5.3 Distribuciones marginales y condicionadas.
5.3.1 Distribuciones marginales
La distribuci´on marginal de una de las variables viene definida por los valores que toma dicha
variable, independientemente de los valores que tome la otra variable.
Las distribuciones marginales de X e Y respectivamente son:
X n i. f i.
x 1 n
f
xk nk. fk.
Y n .j f .j
y 1 n
. 1 f . 1
yh n.h f.h
5.3.2 Distribuciones condicionadas
Se trata de estudiar la distribuci´on de una de las variables cuando la otra toma uno o va-
rios valores. Por ejemplo, podemos calcular la distribuci´on de X condicionada a que Y = y j
(X/Y = y j ), o bien la distribuci´on de Y condicionada a que X = x i (Y /X = x i
X/Y = y j n i /Y = y j
x 1 n 1 j
xk nkj
Y /X = x i n j /X = x i
y 1 n i 1
yh nih
5.3.3 Independencia Estad´ıstica
Dos variables X, Y se dice que son independientes estad´ısticamente si f i/Y =yj = f i. para
cualquier par de valores (xi, yj ). Esta expresi´on es equivalente a: fij = fi. · f.j para todo
par (x i , y j ) ´o n ij
n i. · n .j
n
para todo par (x i , y j
Medidas para estudiar la posible relaci´on lineal entre las variables:
Covarianza: S XY
n
h ∑
i=
k ∑
j=
(x i
X)(y j
Y )n ij
Propiedades:
1. S
XY
0 indica una relaci´on directa, S XY < 0 indica una relaci´on inversa, S XY = 0 indica
una ausencia de relaci´on lineal.
2. S
XY
n
h ∑
i=
k
j=
x i y j n ij
X ·
Y.
3. S
aX+b,cY +d = acS XY
- Depende de las unidades de medida y no est´a acotada.
Coeficiente de correlaci´on de Pearson: r XY = r =
S
XY
S
n,X
· S
n,Y
Es una medida adimensional que mide el grado de dependencia lineal entre las dos variables.
Toma valores en el intervalo [− 1 , 1]. Un valor de r cercano o igual a 0 implica poca o ninguna
relaci´on lineal entre X e Y (si r = 0 se dice que ambas variables est´an incorreladas), mientras
que cuanto m´as se acerque a 1 o a -1, m´as fuerte ser´a la relaci´on lineal entre X e Y , directa o
inversa respectivamente.
