Determinar la intersección de dos, Ejercicios de Matemática Discreta

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GEOMETRÍA

DESCRIPTIVA

Rolando Párraga Chamorro

Manual – Unidad 1

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Introducción

La Geometría descriptiva es la asignatura más importante en la formación de un ingeniero, y es que dondequiera que exista un proyecto de ingeniería, ahí se encuentra explícita la representación geométrica. Es un proceso de diseño y le da orden al proyecto; un puente, una zanja, un túnel, una máquina, una tolva, una tubería, tienen su origen en la geometría descriptiva, que no puede desligarse de la ingeniería, porque le da sentido. No puede decirse que sin ella un ingeniero no es un ingeniero, pero entre más la domine, más elementos o herramientas útiles tendrá para desarrollar sus cualidades. La geometría descriptiva es una parte del ingeniero de la cual no puede prescindir. El contenido se orienta a destacar la importancia de la geometría descriptiva en el estudio de los cuerpos en el espacio (el punto, la recta, el plano y el volumen), así como sus movimientos auxiliares; la intersección entre ellos y el trazo, elaboración y giro de los mismos. Como recomendaciones para quienes tengan el gusto por desarrollar el conocimiento de la asignatura, es necesario precisar que se requiere realizar dibujos de máxima precisión, lo que se logra si se prefieren los dibujos a mayor escala, y realizarlos primero en trazos de líneas con un lápiz o portaminas duro (de preferencia con graduación 2H a 6H), para que una vez terminado el ejercicio pueda remarcarse con un lápiz o portaminas más suave (HB a 2B), sólo lo que es parte del dibujo, dejando lo demás en líneas de trazo. Cuando deba marcarse un punto en el cruce de dos líneas, se sugiere hacerlo por medio de una pequeña circunferencia, que permita ver con exactitud dónde está el punto correspondiente, y evitar dibujar un punto grueso, que hará perder la exactitud del mismo. La asignatura de Geometría Descriptiva, se imparte en el segundo ciclo, que tiene una secuencia para la asignatura de Dibujo para Ingeniería y Topografía, que tiene como propósito el aplicar la representación gráfica a través del sistema diédrico, la geometría del espacio aplicado, interpretar y elaborar soluciones en un espacio tridimensional orientado a la ingeniería. Los contenidos propuestos en este material de estudio, sintetizan diversos temas que la ingeniería requiere para representar los gráficos, alineados a los estándares internacionales y está organizada en cuatro unidades establecidas en el sílabo: Unidad I: Fundamentos de la geometría plana. Sistema Diédrico, Unidad II: Sistema de planos acotados, Unidad III: Sistema axonométrico y Unidad IV: Sistema de perspectiva caballera y cónico. En este manual se busca destacar que el estudiante aborde los conceptos básicos de la Geometría Descriptiva, utilizando la metodología colaborativa y experienciales, con el objetivo de que el estudiante pueda resolver los ejercicios o tareas en grupo, apoyándose con la guía de aprendizaje y consultando la bibliografía básica que indica en el moodle.

El autor

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Organización de la Asignatura

Resultado de aprendizaje de la asignatura

Al finalizar la asignatura, el estudiante será capaz de aplicar la representación gráfica a través del: sistema diédrico, la geometría del espacio aplicado, interpretar y elaborar soluciones en un espacio tridimensional orientado a la ingeniería.

Unidades didácticas

UNIDAD 1

Construcciones geométricas en el plano

UNIDAD 2

Sistema de planos acotados

UNIDAD 3

Sistema axonométrico

UNIDAD 4

Sistema de perspectiva caballera y cónico de perspectiva lineal Resultado de aprendizaje Al finalizar la unidad, el estudiante representa formas geométricas en la perspectiva del sistema diédrico.

Resultado de aprendizaje Al finalizar la unidad, el estudiante representa formas geométricas en la perspectiva del sistema de planos acotados y lo aplica en casos prácticos de la ingeniería.

Resultado de aprendizaje Al finalizar la unidad, el estudiante representa formas geométricas en la perspectiva del sistema axonométrico y lo aplica en casos prácticos de la ingeniería.

Resultado de aprendizaje Al finalizar la unidad, el estudiante representa formas geométricas en el sistema de perspectiva caballera y cónico.

Tiempo mínimo de estudio

UNIDAD 1 UNIDAD 2 UNIDAD 3 UNIDAD 4

24 horas 24 horas 24 horas 24 horas

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Tema n° 1: Teoría de escalas

El dibujo de un objeto puede ser del mismo tamaño que el objeto (tamaño completo), más grande o más pequeño. La escala elegida depende del tamaño del objeto y del tamaño de la hoja que se utilizará. Por ejemplo una parte de la máquina puede dibujarse a la mitad de su tamaño, una construcción puede dibujarse a 1/75 de su tamaño, un mapa puede dibujarse a 1/5000 de su tamaño, una tarjeta de impresos puede dibujarse a cuatro veces su tamaño. En ocasiones se prefiere mostrar partes o ensambles a escala completa cuando esto resulta práctico. Cuando los elementos de un dibujo son muy grandes o muy pequeños para mostrarlos a escala completa, se elige alguna otra que los presente con claridad.

1.1 Definición de escalas

Es una relación aritmética adimensional entre las unidades representadas en el dibujo y las unidades dadas en la realidad del objeto.

𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 = (^) 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝐷𝑖𝑏𝑢𝑗𝑜

La escala en un dibujo nos indica que tan grande o pequeño es el objeto en la realidad. Por tanto, la escala es la relación entre el tamaño del objeto en el dibujo y el tamaño del objeto en la realidad.

Figura 1. Escala de reducción.

1.2 Notación

La escala se denota de la siguiente manera:

𝐸 = 1001 ó Escala 1:100 ó Escala 1/

Se lee escala uno en cien, que significa que 1 cm dado en el dibujo representa 100 cm (1 metro) en la realidad.

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Escala 1:125 se lee uno en ciento veinticinco y significa que 1 cm en el dibujo representa 125 cm en la realidad. Ejemplo:

Figura 2. Ejemplo de escalas.

1.3 Tipos de escala

Escala lineal.- Es la escala en que la cantidad a representar corresponde a una magnitud lineal. Escala Natural.- Es la escala lineal en la que el segmento a representar y el que lo representa son iguales. Escala natural 1/1; n: número entero Escala de Reducción.- Es la escala lineal en la que el segmento a representar es mayor que el que lo representa. Escala de reducción: 1/n; n > 1 Ejemplo: Escala 1/2, Escala 1/4, Escala 1/ Estas expresiones nos indican que el dibujo es la mitad, la cuarta y la sexta parte del tamaño de la pieza original, respectivamente. En este caso, el número 1 representa al dibujo y los números 2, 4 y 6 representan la pieza. Escala de Ampliación.- Es la escala lineal en la que el segmento a representar es menor que el que lo representa. Escala de ampliación: n/1; n > 1 Ejemplo: Escala 2/1, Escala 5/1, Escala 10/ Estas expresiones nos indican que el dibujo es: dos, cinco y diez veces más grande que la pieza dibujada. En este caso el 2, 5 y 10 representan el tamaño del dibujo y el 1 el tamaño de la pieza.

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cada borde. El escalímetro es un instrumento de medición, no es una regla para trazar. Escalas: 1:20, 1:25, 1: 1:75, 1:100 y 1:

Podemos observar en el gráfico siguiente:

Analógicamente si usamos la escala 1:75 (escala base)

Podemos ver que en la escala 1:75, la unidad representa 1 m en esa escala; 1: representa 10 m en esa escala y así sucesivamente. Usaremos ahora la escala 1:

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De acuerdo al gráfico, la unidad en todas las escalas indicadas es la misma; es decir que mientras en la escala 1:125, una unidad medida en el dibujo representa 1 m en esa escala; en la escala 1:1250 una unidad en el dibujo representa 10 m en esa escala y así sucesivamente sucede con los demás.

1.5 Uso de la escala métrica

Las escalas métricas se usan en el dibujo de partes de maquinaria, mapas, gráficas y diagramas, y siempre que se requieran dimensiones decimales. Las escalas métricas se reportan como razones 1:1, 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50, 1:100 y 1:125 por ejemplo.

Ejercicio 1: Una medida real de 25 m se representa en un dibujo por un segmento de 5 cm. ¿A qué escala se ha realizado el dibujo? SOLUCIÓN:

𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 = (^) 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝐷𝑖𝑏𝑢𝑗𝑜

Reemplazando datos: Escala = 5 cm / 25 m Escala = 5 cm / 2500 cm Escala = 1 / 500

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SOLUCIÓN:

Reemplazando datos: Escala = (10 cm) / (10 m) Escala = (10 cm) / (1000 cm) Escala = 1 / 100

Ejercicio 5: Si un plano de una ciudad, dos localidades están separadas por 25 cm. ¿Cuál sería la distancia entre las dos, si la escala del plano es 1:50000?

SOLUCIÓN:

Reemplazando datos: 1/50000 = (25 cm) / (Realidad) Realidad = 25 cm * 50000 Realidad = 1250000 cm Realidad = 12,5 Km

1.6 Problemas

Problema 1: En una fotografía, Lucero y Paolo miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la realidad, Lucero tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene Paolo en la realidad?

SOLUCIÓN:

Calculamos la escala:

𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐴𝑙𝑡𝑢^ 𝑒𝑛𝑟𝑎^ 𝑙𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙^ 𝑓𝑜𝑡𝑜 𝑑𝑒^ 𝑑𝑒𝐿𝑢𝑐𝑒𝑟𝑜^ 𝐿𝑢𝑐𝑒𝑟𝑜

𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 = 1672 ,^5 ,^5 𝑐𝑚 𝑐𝑚

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La escala es 1: Calculamos la altura real de Paolo: Altura real = 67 * 2,7 cm Altura real = 180,9 cm

Problema 2: Una empresa de construcción ha realizado la maqueta a escala 1:90 de un nuevo edificio de telefonía móvil, con forma de pirámide cuadrangular. En la maqueta, la altura de la pirámide es de 5,3 dm y el lado de la planta es de 2,4 dm. Calcula el volumen real del edificio expresando en metros cúbicos el resultado.

SOLUCIÓN: Calculamos la escala: El volumen de una pirámide es: 1/3 * Área de la base * altura Calculamos la altura en la realidad:

𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 = (^) 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑎𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑎

Calculamos el área de la base en la realidad, aplicando que la razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza: Área de la base de la Maqueta = (2,4 dm)^2 = 5,76 dm^2 Área de la base en la realidad = A Razón de semejanza = 1 / 90  Luego:

( 901 )^2 = 5,76 𝑑𝑚𝐴

𝐴 = 90^2 ∗ 5,76 𝑑𝑚 𝐴 = 46656 𝑑𝑚^2 Finalmente, sustituyendo en la fórmula del volumen, se obtiene: Vreal = (1/3) * Área de la base * altura Vreal = (1/3) * 46656 dm^2 * 477 dm Vreal = 7418304 dm^3 Vreal = 7418,304 m^3

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SOLUCIÓN:

 Calculo de la distancia real entre A y B:

𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑝𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐴 𝑦 𝐵𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐴 𝑦 𝐵

 Calculo de la distancia en el mapa entre C y D:

𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑝𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶 𝑦 𝐷𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶 𝑦 𝐷

𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑝𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶 𝑦 𝐷 = 𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 ∗ 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶 𝑦 𝐷

𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑝𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶 𝑦 𝐷 = ( 500001 ) ∗ 3,75 𝐾𝑚

𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑝𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶 𝑦 𝐷 = (3,75 𝐾𝑚 50000 ) ∗ (1000 𝑚1 𝐾𝑚 ) ∗ (100 𝑐𝑚1 𝑚 )

𝑫𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒎𝒂𝒑𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑪 𝒚 𝑫 = 𝟕, 𝟓 𝒄𝒎

1.7 ACTIVIDADES N° 1

1.- ¿Cuál es la diferencia entre una escala de reducción y otra de ampliación? 2.- ¿Cuál de estas escalas no están normalizadas?: 1:5, 5:1, 1:3, 1:10, 10:1, 1:100. 3.- Joaquín es un estudiante de ingeniería civil ha construido el plano de una habitación cuyas dimensiones en la realidad son 9 m de largo y 6 m de ancho. En el plano, el largo de la habitación es 12 cm. Calcula: a) ¿A qué escala está dibujado el plano? b) ¿Cuál es el ancho de la habitación en el plano? 4.- La distancia entre Jauja y Lima es 243 Km. En el mapa, la distancia entre ambas ciudades es 8,1 cm, ¿A qué escala está dibujado el mapa? 5.- Sobre una carta marina a escala 1:50000, se mide una distancia de 8,5 cm entre dos islotes. ¿Qué distancia real hay entre ambos en Km? 6.- Si en un mapa vemos la escala 1:50000 y medimos en él una distancia del Punto

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A al punto B de 32 mm, ¿Qué medida representa ésta en la realidad? 7.- Una compañía de juguetes tiene planificado fabricar una representación a escala de un avión F-16 de 15 m de largo x 9,96 m de ancho alar. ¿Cuáles serían las medidas en cm en escala E = 1/48? 8.- En un plano de taller, una pieza está dibujada a escala 1:5. ¿A qué medida hay que tornear la cota indicada en el plano con 35 mm? 9.- Sobre un plano hecho a escala 2:1, hemos medido una longitud de 44 mm. ¿Cuál es esta longitud en la realidad? 10.- Se tiene el dibujo de una pieza mecánica sin sus dimensiones, pero sabemos que se ha realizado a escala 10/1 ¿Cuáles son sus dimensiones reales si con el escalímetro mide 500x600x250 mm?

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2.2 Sistemas de proyección

Dependiendo de cómo sean esos rayos proyectantes y de donde partan, el objeto se proyectará en los planos de una manera u otra. 2.2.1 Proyecciones Cundo se trata de representar un objeto en un plano se recurre a la proyección sobre él, es decir, a hacer pasar por todos los puntos notables del objetos líneas de proyección, (cumpliendo determinadas características) que al incidir sobre el plano dan los puntos proyectados correspondientes (intersecciones).

Los elementos que intervienen en toda proyección: (Según la norma técnica peruana sobre dibujo NTP-833)  Centro de proyección: Punto desde el que parten todas las líneas de proyección (V).  Plano de proyección: Plano sobre el que se proyecta un objeto con el fín de obtener una representación del mismo (P).  Línea de proyección: Línea recta que tiene por origen el centro de proyección y pasa por un punto (A) del objeto que se representa. Su intersección con el plano de proyección constituye la imagen de ese punto del objeto (A’).

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Los sistemas de proyección de los que se vale la geometría descriptiva son dos:

2.2.2 Proyección paralela o cilíndrica

En este sistema, las rectas o rayos proyectantes son paralelas. Según si son perpendiculares u oblicuas al plano de proyección tenemos a su vez dos tipos:  Proyección paralela ortogonal  Proyección paralela oblicua

2.2.3 Proyección central o cónica

En este sistema, las rectas o rayos proyectantes son parten de un punto propio V, que es el punto de vista u ojo del observador.

Figura 1. Sistemas de proyección.

2.3 Sistemas de representación

 Los sistemas de representación son un conjunto de operaciones que permiten obtener las proyecciones de un objeto en el espacio sobre un plano que suele ser el papel del dibujo y, viceversa, poder restituirlo al espacio a partir de su representación en el plano.  La condición fundamental que debe reunir todo sistema de representación es, pues, su reversibilidad.