Matrices: Introducción y Ejemplos, Diapositivas de Matemáticas

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Departamento de Ciencias

COMPLEMENTO MATEMÁTICO PARA INGENIEROS SESIÓN 1 : Matrices

INTRODUCCIÓN

Matriz del Perfil Competitivo (MPC)

Esta matriz identifica a los principales competidores de la empresa, así como sus fuerzas y debilidades particulares, en relación con una muestra de la posición estratégica de la empresa. ¿Por qué será importante ordenar los datos en filas y columnas? ¿Qué se necesita para diseñar esta matriz? Desde el punto de vista matemático, ¿Qué será una matriz?

LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve ejercicios y problemas de contexto real, haciendo uso de la teoría de matrices, mostrando orden, coherencia lógica y exactitud en sus cálculos.

CONTENIDOS

1. Matrices. Definición.

2. Matrices especiales.

3. Operaciones con matrices.

4. Aplicaciones.

2) La matriz

1. MATRIZ - EJEMPLOS

3 ) Un ingeniero industrial quiere presentar la información de la producción

de muebles durante el primer trimestre del año de la empresa que tiene a

su cargo. La información es la siguiente:

 Carpetas, 30 unidades en enero, 20 unidades en febrero y 50 unidades

en marzo;

 mesas, 250 en enero, 110 en febrero y 80 en marzo;

 armarios, 35 en enero, 20 en febrero y 15 en marzo;

 sillas, 60 en enero, 40 en febrero y 30 en marzo.

Representa esta información en una matriz de orden 3x4.

Solución

• La matriz 3 x 4 , tiene 3 filas y 4 columnas Enero Carpeta Mesas Armarios Febrero Marzo

Sillas

1. MATRIZ - EJEMPLOS

EJEMPLOS:

2.3. MATRIZ NULA

Es una matriz que tiene todos sus elementos igual a cero.

2.4. MATRIZ TRANSPUESTA

La matriz transpuesta de 𝐴, es la matriz 𝐴

𝑇

que se obtiene al

intercambiar las filas por las columnas o las columnas por filas.

EJEMPLO:

Sea la matriz 𝐴 =

La matriz transpuesta de 𝐴 es: 𝐴 𝑇 =

2. MATRICES ESPECIALES

EJEMPLOS:

2.5. MATRIZ CUADRADA

Es una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas.

NOTA:

Una matriz cuadrada se representa en forma general de la siguiente manera:

Diagonal principal

2. MATRICES ESPECIALES

EJEMPLOS:

2.8. MATRIZ IDENTIDAD

Es una matriz escalar en la que todos los elementos que se encuentran en la diagonal principal

son iguales a 1.

Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran

debajo de la diagonal principal son ceros.

2.9. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

EJEMPLOS:

2. MATRICES ESPECIALES

EJEMPLOS:

2.10. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran encima de la diagonal

principal son ceros.

Una matriz A es simétrica si se cumple que: 𝐴 = 𝐴

𝑇 EJEMPLOS:

2.11. MATRIZ SIMÉTRICA

2. MATRICES ESPECIALES

3. OPERACIONES CON MATRICES

3. 1. Adición o sustracción de matrices:

Para sumar o restar dos matrices, estas han de tener las mismas dimensiones y se

suman o restan elemento a elemento (posición a posición).

7 0 − 5 2 × 3

Es decir: Si Amxn y Bmxn , entonces: 𝐴^ ±^ 𝐵^ =^ 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛

𝑚×𝑛

𝑚×𝑛 Ejemplo: 5 − 3 2 7 0 − (^5 2) × 3

3 2 − 1 2 × 3

10 2 − 6 2 × 3

3 2 − 1 2 × 3

4 − 2 − 4 2 × 3

3. OPERACIONES CON MATRICES

3. 2. Producto de un número (escalar) por una matriz:

Para multiplicar un número por una matriz, se multiplica el número por cada elemento de

la matriz.

Ejemplo: Determine el valor de 2 A

Es decir: Si 𝛼 ∈ ℝ y Amxn , entonces: 𝛼𝐴 = 𝛼 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛

𝑚×𝑛

El número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz. Es decir: 𝑨𝒎×𝒏 y 𝑩𝒏×𝒑. 𝑨𝒎×𝒏. 𝑩𝒏×𝒒 = 𝑷𝒎×𝒒

3. 4. Producto de dos matrices

Para poder multiplicar dos matrices, se debe verificar:

1 ° 2 ° Luego^ se^ multiplican^ las^ filas^ de^ la^ primera^ matriz^ por^ las^ columnas^ de^ la segunda matriz. Ese producto consiste en multiplicar un elemento de la fila por el correspondiente de la columna y sumar el resultado al resto de productos de elementos de esa fila por esa columna. 3 °

3. OPERACIONES CON MATRICES La matriz producto será de la forma: Pmxq =^ 𝑝𝑖 𝑗 Cada elemento de la matriz producto nos indica que se está multiplicando la fila i de la matriz A con la columna j de la matriz B.

Ejemplo:

Si, 𝐴 =

y 𝐵 =

; halle 𝐴𝐵 Solución: 1 − 2 − 1 2 3 1

(𝟏)(𝟐) + (−𝟐)(−𝟏) + (−𝟏)(𝟑) (𝟏)(−𝟏) + (−𝟐)(𝟐) + (−𝟏)(𝟏) (𝟐)(𝟐) + (𝟑)(−𝟏) + (𝟏)(𝟑) (𝟐)(−𝟏) + (𝟑)(𝟐) + (𝟏)(𝟏) =

Notemos que: 𝑨𝟐×𝟑. 𝑩𝟑×𝟐 = 𝑪𝟐×𝟐

3. OPERACIONES CON MATRICES