Difusividad de gases, Diapositivas de Química Aplicada

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FUNDAMENTO TEORICO DE LAS LEYES DE FICK

PERACIONES UNITARIAS AGROINDUSTRIALES I

CZVC

Solución

salina

Agua pura

Si no se perturba la solución, la concentración final

será el 50% de la concentración inicial.

Después de 10 años en la superficie superior la

concentración será el 87.5%, y después de 28 años

será 99%.

Solución

salina

Agua pura

Un agitador sencillo que gire en el tanque a 22 rpm

alcanzará la uniformidad total en

aproximadamente 60 segundos.

La agitación mecánica ha producido remolinos

característicos del flujo turbulento, esta

transferencia de masa se conoce como difusión de

remolina o turbulento.

I II

P

El compartimiento I contiene agua, el comportamiento II contiene alcohol y P es la separación física que

posteriormente se va a retirar.

Inicialmente en el compartimiento I hay 100 kg de agua y en el compartimiento II hay 100 kg de alcohol.

La densidad de ambos líquidos son diferentes.

inicialmente kg kgmol v/dm

3 kg kgmol v/dm

3

H 2 O 100 5.56 100 CH 3 CH 2 OH 100 2.17 126.

finalmente

H 2 O 44.1 2.45 55.9 3.

CH 3 CH 2 OH 44.1 0.96 55.9 1.

TOTAL 88.2 3.41 TOTAL 111.8 4.

compartimiento I Compartimiento II

Si quitamos cuidadosamente la separación P, entonces sucede la difusión de los líquidos. Al final de la

difusión, la concentración será uniforme. En la caja final (compartimiento I mas el compartimiento II)

habrá el 50% de masa de cada componente.

El agua ha difundido hacia la derecha y el etanol hacia la izquierda.

Si hubiéramos equilibrado ambos compartimientos mediante el filo de una navaja, al inicio(antes de

quitar el quitar el separador), ambos estarían en equilibrio.

Luego de quitar el separador, es evidente que mas masa de agua habrá pasado al compartimiento II , y por

tanto el equilibrio inicial se pierde y la caja final se inclina hacia la derecha

I II

P

I II

P

ANTES DE LA DIFUSION

AL FINAL DE LA DIFUSION

La difusión es el movimiento, bajo la influencia de un estímulo físico, de un

componente individual a través de una mezcla.

La causa más frecuente de la difusión es un gradiente de concentración del

componente que difunde. Un gradiente de concentración tiene a mover el

componente en una dirección tal que iguale las concentraciones y anule el

gradiente.

Cuando el gradiente se mantiene mediante el suministro continuo de los

componentes de baja y alta concentración, existe un flujo en estado

estacionario del componente que se difunde. Esto es característico en las

operaciones de transferencia de masa., ejemplo en torres de absorción.

En otras operaciones de transferencia de masa, tales como la lixiviación y la

adsorción, tiene lugar la difusión en estado no estacionario, y los gradientes y

flujos disminuyen con el tiempo en cuanto se alcanza el equilibrio.

Δxx Δxy

Δxz

E

G

(x,y,z)

(x+Δx,y+ Δy,z+Δz)Δxx,y+Δx,y+ Δy,z+Δz) Δxy,z+Δx,y+ Δy,z+Δz)Δxz)

x

y

z

LA ECUACION DE CONTINUIDAD

Dividiendo entre ΔxΔyΔz es qxΔxΔyΔz es qyΔxΔyΔz es q z y encontrando el límite cuando las tres distancias tienden a cero :

t

q

z

N

y

N

x

N

M R M

A,x x A,y A,z A

A A A 

En la misma forma, para el componente B :

t

q

z

N

y

N

x

N

M R M

B,x x B,y B,z B

B B B 

El balance total de materia se obtiene sumando los de A y B:

  ^ ^  

t

q

z

M N M N

y

M N M N

x

M N M N

A A B B x A A B B y A A B B z 



En donde q = q A

• q B

= la densidad de la solución, puesto que la rapidez de masa para la

acumulación de A y B debe ser igual a Cero:

13

14

15

A x A A, x

A A,x A A x A A, x

M N M f N M J  u M J

En donde u x

, es la velocidad promedio de masa, tal que:

x A A,x B B,x A A,x B B, x

u  u  u M N M N

Diferenciando la ecuación anterior:

16

17

x

M N M N

x

u

x

u A A B B x

x

x

Aplicando esta equivalencia en la ecuación 15, se obtiene:

z t

u

y

u

x

u

z

u

y

u

x

u

x y z

x y z 

Es la ecuación de continuidad o un balance de masa, para la sustancia total. Si la densidad de la solución es

una constante, la ecuación anterior se transforma en:

z

u

y

u

x

u x y z 

19

20

Diferenciando la ecuación 13 con respecto a la dirección x, se obtiene:

2

A

2

A AB

A

x

x

A

A, x

A

A

x

x

A

A, x

A x

C

M D

x

u

x

u

x

J

M

x

u

x

u

x

N

M

21

Reemplazando y diferenciando los respectivos J* A

en la ecuación 13.

A A

A

2

A

2

2

A

2

2

A

2

A AB

x y z

A

A

z

A

y

A

x

M R

z t

C

y

C

x

C

M D

z

u

y

u

x

u

z

u

y

u

x

u

22

Esta es la ecuación de continuidad, para la sustancia A. Para una solución de densidad constante y

dividiendo entre M A

, la ecuación anterior quedará:

x

C

D

C

C

N N N

A

AB

A

A A B



^ 

FUSION MOLECULAR EN ESTADO ESTACIONARIO EN FLUIDOS SIN MOVIMIENTO Y EN FLUJO LAMINAR

C

CN N N C

x

C

D

C

C

N N N

A A A B A

AB

A

A A B

^ 

A A B A AB

A

CD

dx

CN N N C

dC



Si aplicamos esta ecuación sólo en el sentido de x, con N A

y N B

constantes (estado estacionario), las

variables se separan y si D AB

es constante se puede integrar.

 

A 2 

A 1

2

1

C

C

x

x A A B A AB

A

CD

dx

CN N N C

dC

En donde el 1 indica el principio de la trayectoria de difusión (C A

elevado) y el 2 el fin de la trayectoria de

difusión (C A

bajo). Sea x 2

–x 1

= x

A A 1 A B AB

A A 2 A B

A B

CD

x

N C C N N

N C C N N

ln

N N

N / N N C /C

N /N N C / C

ln

x

D C

N N

N

N

A A B A 1

AB A A B A 2

A B

A

A

26

27

28

29

30

31

DIFUSION MOLECULAR EN GASES

Cuando se puede aplicar la ley de los gases ideales podemos hacer uso de las siguientes expresiones:

P

p

f

C

C

A

A

A  

RT

P

v

n

C  

Adecuando la ecuación 31 para su aplicación a gases, tenemos:

   

    A A B A 1

AB A A B A 2

A B

A

A

N /N N P p

N /N N P p

ln

RTx

D P

N N

N

N

   

    A A B A 1

AB A A B A 2

A B

A

A N /N N f

N / N N f

ln

RTx

D P

N N

N

N

32

33

Para aplicar esta ecuación, debemos conocer la relación entre N A

y N B

Por ejemplo, si se va a fraccionar metano sobre catalizador:

4 2

CH C 2 H

En circunstancias tales que el CH 4

(A) se difunda hacia la superficie de fraccionamiento y el H 2

(B) se

difunda al seno del fluido, entonces la estequiometria de la reacción fija la relación N B

= -2N

A

y

N 2 N

N

N N

N

A A

A

A B

A 



En ausencia de reacción química, la relación puede fijarse por razones de entalpía. En el caso de las

operaciones puramente separaciones, se presentan con frecuencia dos casos.

Distancia X

Presión

A 2

p

A 1

p

B 2

p

B 1

p

B

p

A

p

total

p total

p

1

x 2

x

Difusión de A a través de B, estancionado

A

La sustancia A se difunde a través de B debido a

su gradiente – dp A

/dx. El componente B también

se difunde con relación a la velocidad molar

promedio con una fluidez que depende de

• dp B

/dx, pero igual que nada un pez que nada a

contracorriente a la misma velocidad que el agua

que fluye con la corriente, N B

= 0 relativo a un

lugar fijo en el espacio.

Contradifusión equimolal en estado estacionario

x

p

RT

D

P

p

N N N

A AB A

A A B 

^ 

Esta es una situación que se presenta en las operaciones de destilación, N A

= - N

B

= constante.

Para el presente caso, N A

= - N

B

= constante.

x

p

RT

D

N

AB A

A 

A

A

AB dp

RTN

D

dx 

 

A"

A 1

2

1

p

p

A

A

AB

x

x

dp

RTN

D

dx

A 1 A 2

AB

A

p p

RTx

D

N  

36

37

A 1

p

A 2

pB 1 p

B 2

p

1

x 2 Distancia x x

P presión

total

P total

P

A

B

Problema: Se está difundiendo oxígeno (A) a través de monóxido de carbono (B) en condiciones de estado

estacionario, con el monóxido de carbono sin difundirse. La presión total es 10

5 N/m

2 , y la temperatura es

de 0°C. La presión parcial del oxígeno en dos planos separados por 2.00 mm es, respectivamente 13000 y

6500 N/m

2

. La difusividad para la mezcla es 1.87x - m

2 /s. Calcular la rapidez de difusión del oxigeno en

k mol

/s a través de cada metro cuadrado de los dos planos.

Solución

Se aplicaran las ecuaciones:

Datos P(N/m

2 ) (^) t(°C) (p A)i(N/m

2 ) (pA)f(N/m

2 ) DAB(N/m

2 ) x(mm) R(Nm/kmol°K)

100000

0 13000 6500

0.0000187 2 8314

solución T(°K) (pA)i(N/m

2 ) (pB)i(N/m

2 ) (pA)f(N/m

2 ) (pB)f(N/m

2 ) x(m)

273.15 13000 87000 6500 93500 0.

pB,M(N(m

2 ) NA(kmol/m

2 s)

90210.9745 2.97E-

respuesta (^) NA(kmol/m

2 s)

2.97E-

A 1 A 2

B, M

AB

A

p p

RTxp

D P

N  

B 1

B

B 2 B 1

B, M

p

p

ln

p p

p

2

Problema: Volver a calcular la rapidez de difusión del oxígeno (A) en el problema anterior, suponiendo

que el gas no se esta difundiendo es una mezcla de metano(B) e hidrógeno (C) en la relación en volumen

de 2:1. Se ha calculado que las difusividades son:

s

m

D 6. 99 * 10

2

5

O 2 H 2





s

m

D 1. 86 * 10

2

5

O 2 CH 4





Solución

Se aplicaran las ecuaciones:  

A 1 A 2

B, M

AB

A

p p

RTxp

D P

N  

B 1

B 2

B 2 B 1

B, M

p

p

ln

p p

p

Para el caso de difusión en estado estacionario en mezcla de multicomponentes se aplicará la siguiente

ecuación:

 

 

n

i B A,i

'

i

n

i B A,i

i

A

A, m

D

f

D

f

1 f

D

En donde es la fracción mol de i libre de A:

'

i

f