Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
laboratorio de dinamica aplicada
Tipo: Monografías, Ensayos
1 / 18
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Universidad Tecnológica de Panamá
Facultad de Ingeniería Mecánica
Carrera de Ingeniería Mecánica
Materia:
Dinámica Aplicada (3940)
Profesor:
Cesar Pinzón
Instructor:
Daniel González
“Modelo Matemático De un Sistema Masa-Resorte”
Laboratorio # 3
Grupo (1IM-131) (A)
Integrantes:
Dos Santos, Saúl 20 - 70 - 3851
Guillén, Benjamín 8 - 939 - 1708
Valdés, Alex 8 - 931 - 624
Fecha de entrega:
30 de octubre del 2020.
“ Camino a la excelencia a través de su mejoramiento continuo”
Introducción
Los modelos matemáticos son una herramienta muy importante para el ingeniero pues este
permite analizar un sistema bajo ciertas condiciones y permite observar cómo se comportará
el mismo a medida que avance el tiempo. Los modelos matemáticos basados en ecuaciones
diferenciales son por defecto la mejor forma de representar un sistema ya se un circuito
eléctrico. Mecánico, fluídico etc.
Un buen modelado de un sistema requiere de utilizar razonamiento matemático además de
herramientas matemáticas como identidades, también se deben realizar algunas suposiciones
para lograr la respuesta del sistema, también se deben tener muy en cuenta las condiciones
iniciales del problema pues esta permite conocer algunos valores que se mantendrán
constantes en el sistema, como por ejemplo una posición inicial, ya obtenida la ecuación que
represente el sistema como por ejemplo una ecuación que corresponda a la posición del
sistema solo haría falta derivar la misma para obtener ya sea la ecuación de velocidad y otra
vez derivando esto, se obtendría la ecuación que representaría la aceleración del sistema.
Resultados
Con el valor de la masa de 150 g y los cálculos realizados en la experiencia pasada se deberá
realizar el modelo matemático para los tres resortes que se han estado estudiado, los modelos
matemáticos se deben obtener de dos formas la manual (a partir de ecuaciones) y por medio
del simulador Xcos de Scilab esto asumiendo condiciones iniciales nulas.
I Parte. Determinar la ecuación en función de “t” para cada resorte.
𝑚𝑠
2
2
𝑠 = (−
9505
15
)
1
2
= 𝑖 4. 4351
Condiciones Iniciales:
𝑡 = 0
𝑥
( 0
) = 0. 48
𝑥
( 0
) = 0
Para obtener A 1
1
cos(𝑤
𝑛
2
sin(𝑤
𝑛
1
cos(𝑖 4. 4351 ∗ 0 ) + 𝐴
2
sin(𝑖 4. 4351 ∗ 0 )
1
2
( 0 )
1
Para obtener A 2
1
cos(𝑤
𝑛
2
sin(𝑤
𝑛
1
𝑛
sin(𝑤
𝑛
2
𝑛
cos(𝑤
𝑛
𝑖 4. 4351
sin
2
𝑖 4. 4351
cos
𝑖 4. 4351
2
𝑖 4. 4351
2
Sustituyendo en la ecuación general:
𝑥(𝑡) = 0. 48 cos(𝑖 4. 4351 ∗ 𝑡)
Derivando obtenemos las ecuaciones velocidad y aceleración del sistema:
𝑥(𝑡) = −𝑖 2. 1288 sen(𝑖 4. 4351 ∗ 𝑡)
𝑥(𝑡) = 9. 4416 cos(𝑖 4. 4351 ∗ 𝑡)
Modelo matemático obtenido a partir de las ecuaciones
De este resorte conocemos de experiencias pasadas los siguientes valores.
Constante elástica del
resorte
Masa del resorte
Frecuencia natural
circular (teórica)
Posición inicial
k = 6.885 N/m m = 0.15 kg W n
= 6. 77 5 rad/s 0. 7 m
Primeramente, de la sumatoria de fuerzas del sistema se obtiene la siguiente expresión:
𝑒𝑠𝑡
En donde:
W es el peso del resorte.
k es la constante elástica del resorte.
x es la posición del resorte sin la masa.
δ est
es el desplazamiento que genera la masa al resorte.
m es la masa que se le coloca al resorte.
𝑥 es la aceleración que existirá en el sistema.
Para efectos de la obtención del modelo matemático del sistema se desarrollará todo el
procedimiento y al final se realizarán los respectivos remplazamientos de las constantes.
Como el producto de kδ est
equivale al peso se cancelan los respectivos términos obteniendo
lo siguiente:
Al dividir toda la ecuación entre la masa se obtiene la siguiente expresión:
1
cos(𝑊
𝑛
2
𝑛
Ahora obtenemos los valores de las constantes a partir de las condiciones iniciales del
problema. Cuando el tiempo t = 0 obtenemos C 1
con:
Evaluando la función para la condición inicial:
1
cos(𝑊
𝑛
2
𝑛
1
Resulta en:
1
0
Para obtener el valor de C 2
debemos derivar la función y evaluarla en t = 0.
Primera derivada de la función:
𝑛
0
𝑛
2
𝑛
𝑛
Evaluando la función para la condición inicial:
𝑛
0
𝑛
2
𝑛
𝑛
2
𝑛
Resulta en:
2
𝑛
Reemplazando todos los valores en la solución general resulta en la siguiente expresión:
0
cos(𝑊
𝑛
0
𝑛
𝑛
Ya obtenida nuestra ecuación utilizamos las condiciones iniciales para obtener ya la ecuación
con los valores.
( 0 )
0
0
Las condiciones iniciales se registran a partir del tiempo 𝑡 = 0 por lo que la posición en ese
momento es la “longitud” del resorte más la masa conectada a él traducido como 𝑥
( 0 )
0
debido a que aún no se ha producido movimiento alguno, además la velocidad es cero de
igual forma porque el movimiento aún no ha comenzado esto se expresa de la siguiente forma
0
Como 𝑥 0
= 0 entonces C 2
es igual a:
2
0
𝑛
𝑛
La ecuación final nos queda de la siguiente forma ya reemplazado los valores:
0
𝑛
Ya obtenida nuestra ecuación podemos conocer las ecuaciones de posición, velocidad y
aceleración simplemente derivando:
Ecuación de posición
Ecuación de velocidad
0
𝑛
𝑛
Ecuación de aceleración
0
𝑛
2
𝑛
Grafica 2. Grafica de la velocidad del Resorte #
Grafica 3. Grafica de la aceleración del Resorte #
Posición:
Respuesta obtenida para la posición.
Velocidad:
Respuesta obtenida para la velocidad.
Aceleración:
Respuesta obtenida para la aceleración.
Preguntas
y periodos naturales de oscilación, para los sistemas masa-resorte estudiado.
En estos sistemas de masa- resorte van a variar su movimiento y oscilación dependiendo del
periodo, frecuencia, vibración esto lo podemos observar al momento de que se genere la
gráfica. Además, a medida que el elemento tenga una mayor longitud, así mismo, aumentará
tanto las frecuencias angulares naturales, como frecuencias y periodos naturales de
oscilación, son directamente relacionadas.
sistemas estudiados.
Gráfica mente se puede observar que la oscilación de la velocidad será más amplia que la
oscilación de posición y su periodo será más extenso. Además, veremos variaciones al tener
diferentes tipos de K cada uno de estos.
Ciertamente para realizar el método de Xcos es necesario realizar el primeramente el método
“manual” es decir realizar las respectivas operación y asunciones. Por ende, podemos decir
que el método utilizando las ecuaciones es más conveniente para el desarrollo del sistema
(ecuaciones) sin embargo para visualizar la información por medio de grafica es muchísimo
más fácil realizarlo por medio de Xcos realizando el diagrama de bloques del sistema.
Concluyendo se debe realizar un uso de ambos métodos para conseguir un buen análisis del
sistema estudiado.
Conclusiones
En el desarrollo de esta experiencia se utilizaron conceptos ya dominados por el desarrollo
del lab- 2 , donde se realizó la ecuación de un sistema masa resorte en base a las leyes de
Newton. Para esta ocasión entramos más a fondo realizando el desarrollo de la ecuación
diferencial de segundo orden además que nos muestra las constantes de este, que soy muy
importantes ya que de ellas y las condiciones de inicio que se le aplique a dicho elemento,
dependerá las variables como posición, velocidad y la aceleración. Se puedo observar
gráficamente el movimiento para cada resorte variando su contaste elástica (k).
(Valdés, Alex 8- 931 - 624)
Aprendimos una forma de encontrar las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración que
rigen un sistema y fuimos capaces graficar estas ecuaciones y contrastarlas con diferentes
casos en donde la masa permanecía constante pero la constante del resorte variaba.
Observamos que a medida que la constante del resorte se hacia mas grande el en sistema se
presentaban desplazamientos más cortos pero las aceleraciones se hacían cada vez más
bruscos.
(Dos Santos, Saúl 20- 70 - 3851)
práctico en todas las consideraciones y una que otra herramienta matemática necesaria para
llevar bien el desarrollo del modelado pero luego de profundizar en los pasos que se debe
realizar para llegar una expresión que me permita analizar el sistema recordé como se debe
realizar además de aprender cosas nuevas específicamente para este sistema u otras que
pueden ser aplicadas a otros tipos de sistemas, a modo de repaso fue excelente complemento
a lo estudiado en teoría, en cuanto a los resultados obtenidos por medio del simulador Xcos
(resorte #2) se puede observar un comportamiento armónico del sistema ya que oscila de
manera continua hasta que por fin se detiene.
(Benjamín Guillén 8 - 939 - 1708 )
