Distribución normal, Apuntes de Ciencias de la Educación

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Tema 4: Distribución

Normal

http://faceresearch.org/demos/average

En qué se basa…

 La idea de lo normal remite a la idea de lo frecuente.  Con la curva normal permite realizar juicios relativos a lo que es normal (mucho, poco, muy…)  Hay que tener en cuenta que la normalidad es relativa a cada población (una estatura “normal” no es lo mismo en España, en Finlandia o en África).  Contrastar lo anómalo de una observación concreta.  Sé que una persona de altura 210cm es “anómala” porque la función de distribución en 210 es muy alta.  Sé que una persona adulta que mida menos de 140cm es “anómala” porque la función de distribución es muy baja para 140cm.  Sé que una persona que mida 170cm no posee una altura nada extraña pues su función de distribución es aproximadamente 0,5.  Relaciónalo con la idea de cuantil.

Distribución normal o de Gauss

 Aparece de manera natural:

 Errores de medida.

 Distancia de frenado.

 Altura, peso, propensión al crimen…

 Distribuciones binomiales con n grande (n>30) y ‘p ni

pequeño’ (np>5) ‘ni grande’ (nq>5).

 Está caracterizada por dos parámetros: La media, μ,

y la desviación típica, σ.

 Su función de densidad es:

2 2 1

       

    x

f x e

N(μ, σ): Interpretación

geométrica

 Podéis interpretar la

media como un factor

de traslación.

 Y la desviación típica

como un factor de

escala, grado de

dispersión,…

Algunas características

 La función de densidad es simétrica, mesocúrtica y unimodal.  Media, mediana y moda coinciden.  Los puntos de inflexión de la función (de densidad) están a distancia σ de μ.  Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos están…  a distancia σ ,  tenemos probabilidad 68%  a distancia 2 σ ,  tenemos probabilidad 95%  a distancia 2’5 σ  tenemos probabilidad 99%  Todas las distribuciones normales N(μ, σ), pueden ponerse mediante una traslación μ, y un cambio de escala σ, como N(0,1). Esta distribución especial se llama normal tipificada.  Justifica la técnica de tipificación, cuando intentamos comparar individuos diferentes obtenidos de sendas poblaciones normales.

13 Bioestadística. U. Málaga.

Tabla N(0,1) Z es normal tipificada.

Calcular P[Z<-0,5 4 ] Solución: 1-0,705 = 0,

Tabla N(0,1)

Z es normal tipificada. Calcular P[-0,54<Z<1,85] Solución: 0,968-0,295= 0,

16 Bioestadística. U. Málaga.  Todas las distribuciones normales son similares salvo traslación y cambio de escala: Tipifiquemos.

x 

z

P [ Z  1 , 00 ](ver tabla) 0 , 841

Tema 5: Modelos probabilísticos 17 Bioestadística. U. Málaga.

x

x

 El valor del colesterol que sólo supera el 10% de los individuos es el percentil 90. Calculemos el percentil 90 de la N(0,1) y deshacemos la tipificación.

x

z

19 Bioestadística. U. Málaga.

B B B B A A A A

x

z

x

z

    Como ZA>ZB, podemos decir que el porcentaje de compañeros del mismo sistema de estudios que ha superado en calificación el estudiante A es mayor que el que ha superado B. Podríamos pensar en principio que A es mejor candidato para la beca.

¿Por qué es importante la distribución normal?

 Las propiedades que tiene la distribución normal son

interesantes, pero todavía no hemos hablado de por qué

es una distribución especialmente importante.

 La razón es que aunque una variable no posea

distribución normal, ciertos estadísticos/estimadores

calculados sobre muestras elegidas al azar sí que

poseen una distribución normal.

 Es decir, tengan las distribución que tengan nuestros

datos, los ‘objetos’ que resumen la información de una

muestra, posiblemente tengan distribución normal (o

asociada).