divisibilidad, Apuntes de Economía

¡Descarga divisibilidad y más Apuntes en PDF de Economía solo en Docsity!

rr rn rr rr rra rencor a rrras romanos lecciones populares de matemáticas CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD N.N.Vorobiov iaa . . ¿| Editorial MIR IE Moscú rar NOLYDAPHALE JIERNMAM TIO MATEMAPUKE H. 1. BOPOBDEB MPA3ZHARKH MEJIUMOCTH MBMANEJBCTBO «HAVK A» MOCKBA LECCIONES POPULARES DE MA'PEMÁTICAS N. N. VOROBIOV CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD SEGUNDA EDICIÓN AMPLIADA Y MODIVIGADA EDITORIAL MIR MOSCÚ INDICE Prefacio $ 4. Divisibilidad de los números 10 $ 2. Divisibilidad de sumas y productos 26 $ 3. Criterios de residuos equivalentes y divisibilidad 32 $ 4. Criterios generales de residuos equivalentes y de divisibilidad 49 $ 5. Divisibilidad de potencias 53 Demostraciones de los teoremas 61 Resoluciones de los problemas TT PREFACIO QUE EL AUTOR ACONSEJA LEER CON SUMA ATENCIÓN La actual enseñanza escolar de las matemáticas se orienta fundamentalmente a desarrollar en el alumno el pensamien- bo funcional, y capacitarlo para operar con objetos matemá- ticos continuos. Los cambios que se planean en los programas escolares de esta materia están encauzados en la misma dirección. Al mismo tiempo, últimamonte, se investigan nuevos campos de aplicación de las matemáticas: la compo- sición de programas para computadoras, algunos aspectos de la cibernética y el estudio de operaciones, economía matemática, lingiística matemática, etc. El dominio de estas ramas de la ciencia, junto con el perfeccionamiento del aparato clásico, exige el desarrollo de la técnica combi- natoria, el análisis de lo discreto y la creación de nuevas abstracciones fructíferas. Los aspectos enumerados de las matemáticas también deberán ilustrarso en la literatura de divulgación científica. Desde la linde a la espesura de un bosque conducen mu chos sonderos. Son sinuosos, se juntan, se separan de nuevo y se cruzan. Pascando podemos notar su gran canlidad, recorrer algunos de ellos y ver cómo se internan en las frondas. Si se quiere estudiar seriamente un bosque es nece- sario seguir sus senderos mientras se puedan distinguir entre la pinocha seca y las pequeñas matas de arándano. Para poder aprovechar los dones del bosque hay que abandonar por completo los caminos trillados y abrirse paso a través del entrolazamiento do ramas espinosas. El presente folleto puede considerarse como descripción de uno de los posibles paseos por la linde de las malemáticas contemporáneas. La exposición de los datos básicos, refe- rentes a los criterios de divisibilidad, nos obliga a incluir en este folleto algimas cuestiones bastante abstractas de las matemáticas discretas. A éslas pertenecen, anto todo, das afirmaciones de la teoría elemental de los números, agru- padas en Lorno al Leorema fundamental de la arilmótica y al análisis de la descomposición canónica de un número natural en factores simples. Luego, la propia divisibilidad de los números se examina como una relación definida en el conjun- En la segunda lectura conviene estudiar el $ 5 y resolver también los problemas del texto básico. Por último, en la tercera lectura se estudia lo que está on gallarda y los problemas que contiene. 151 que desce profundizar sus conocimientos en el campo de Ja teoría de los números deberá recurrir al curso clásico del académico 1. M. Vinográdov «Fundamentos de la teoría de los números» (Editorial Mir, 1977). Se recomienda estudiar la teoría abstracta de las rela- ciones en un conjunto y las sucesivas cuestiones vineuladas a él por el libro «Lecciones de álgebra general» de A. G. Ku- rosh (Ed. Naúka, 1973) o la «Teoría de las estructuras» de G. Birkhoh (IL, 1951). Por fin, el folleto «Algoritmos y resoluciones de pro- blemas con computadoras» de B. A, Trajtenbrot (Fismatguiz, 1960) contiene una explicación más detallada y sistemática do la noción algorítmica, y en la monografía básica «Teoría de los algoritmos» (Trabajos matemáticos del Instituto Steklov de la Academia de Ciencias de la URSS, t. 42, 1954) de A. A. Márkov hallamos una exposición rigurosa del tema. La segunda edición se diferencia de la primera sola- mente por algunos mejoramientos de redacción. El autor agradece al profesor Grolla (RDA) por la ayuda prestada en este asunto, N. N, Vorobiov PREFACIO A LA PRESENTE EDICIÓN En esta edición se explica con más detalle que en la anterior la esencia algorítmica de los criterios de oquí- rresidualidad y divisibilidad y seincluye, además, un examen de ellos en sistemas numéricos arbitrarios. Vyritea N.N.Vorobiov año 1979 11 de más la siguiente consideracion: pór ahora nos interesa únicamente el hecho en sí de la divisibilidad del número « por el b; al efectuar la división, sabremos lambién su co- ciente y residuo (si la división no resulla exacta) aunque carentes de todo valor para nosotros, ya que en el momento dado sólo nos interesa saber si el residuo de la división va a ser igual o no a cero. Por consiguiente. hay motivos para suponer que efectuando la división nosotros hemos malgastado una parle de nuestro trabajo (y, por lo vislo, no pequeña) en obtoner «desperdicios de producción». Es de esperar procedimientos de aclaración de la divisibilidad más directos y económicos que la «burda» división, capaces de establecer el hecho de la divisibilidad por una vía más corla, sin dejar desechos tan abundantes, Estas esperanzas efectivamente se justifican, ya que tales procedimientos existen. Ellos se llaman criterios de divisibilidad. Indudablemente, el lector conoce algunos de ellos. La finalidad de este líbro es examinar los diferentes criterios de divisibilidad fundamentalmente on el aspecto básico. La esencia de cualquier criterio de divisibilidad por un número dado bh es que, por medio de él, la cuestión de la divisibilidad de cualquier número a por b se reduce a la divisibilidad por b de cierto número menor de a. (No os difícil ver que la comprobación de la divisibilidad, apli- cando la división común, también so basa en esta compren- sión.) De tal modo, e) criterio de divisibilidad es un objeto matemático de carácter muy dífindido, aunque no salte a la vista. Esto no os ni fórmula, ni teorema, ni definición, sino cierto proceso absolnlamento del mismo lipo como el de la multiplicación sen columna» o, digamos, el de caleu lar uno lras otro los términos de alguna progresión aritmé- tica. La noción de criterio de divi en el párrafo siguiente. 2. En la definición de la divisihilidad de los números no se (lice nada sobre los diferentes valores que puede tener el cociente al dividir a por h. Aclaremos esta euosl hasta el fin aquí, para que en adolante no tengamos que regresar a olla. Sea bilidad será precisada a = be (1.4) y, al mismo tiempo, a == be. De estas igualdades obtenemos que be == bey, o que db (e —c1) =0. Si para esto caso b + 0, entonces c — ec, =0, o sea, e = =c,. Pero si b=0, entonces, evidentemente, también a=0 y la igualdad (1.1) se cumple para cualquier e. De tal modo, por cero es divisible solamente cero, siendo el cociente de tal división indeterminado, Precisamente se tiene presente esto al hablar sobre la imposibilidad de dividir por cero, Pero si el divisor difiere de cero y la divi- sión liene lugar, entonces el cociente tiene un sólo valor completamente determinado. Hablando de la división, siempre supondremos que el divisor es distinto de cero. Fijemos algunas propiedades elemontales de la divisibi- lidad. TEOREMA 1. 43 4. Esta propiedad se llama reflexiva, TEOREMA 2. Si a: b y bi c, entonces ai c. Esta propiedad se llama transitiva. TEOREMA 3. Sia: byb: a, entonces, o bien a = b, o bien a = —b (propiedad asimétrica de la divisibilidad). TRORPMA 4. Si a: by |b|>]Ja], entonces a =0. Corolario, Si a: b y a=z20, entonces |a| >]|b1. TEOREMA 5. Para que a | b es necesario y suficiente que Jajilol Basándose en este teorema, basta limitarse en adelante a examinar el caso cuando el divisor es un número positivo. De igual modo, la divisibilidad de números enteros cuales- quiera se reduce a la divisibilidad de números no negativos. TEOREMA 6. Sí ayib, asi b, ..., an: y, entonces, la, + a+ ...+0.) b. Corolario. Si la suma de dos números y uno de los suman- dos son divisibles por un número b, entonces, el otro suman- do también lo será, 14 sible por 1, 2, 3, 4, 6 y 12: 60 tione 12 divisores, A bales cifras, ricas en divisores, se Jos pueden oponer números muy grandes con una cantidad mínima de divisores, 2 (do acuerdo al beorema 1 y al probloma 2, cada número distinto de la unidad es divisible siquiera por dos números diferentes). Aunque eu realidad se conocen algunas leyes que vinculan las propiedades de Ja divisibilidad de los números con sus valores, de todos modos, ellas tienon un carácter tan intrin- cado y confuso que aquí no las vamos a tratar. 4. Tanto más interesante resulta el hecho de que la misma divisibilidad permite establecer entre los números un cierto orden, distinto del usual según la magnitud, pero que tiene con el último mucho de común. En efecto, reflexionamos, qué sentido exacto se expone en las palabras sobre la posibilidad de ordenar los números naturales por sus magnitudes, Como no es difícil ver, bajo esta posibilidad se entiende que para algunas parejas do vúmeros a y b tiene lugar la relación «mayor o igual»: a>b, lo que significa que la diferencía a — b no es negativa (es decir, deberá oxistir un número natural e tal, que a = = bh 4 c). ¡Pero si también el fenómeno de la divisibilidad rongiste en que ciertas parejas de números a y b responden a alguna condición completamente determinada (precisa- mente, a la existencia de un entero c, tal que a = be)! Así, las rolaciones do divisibilidad y «mayor o igual» son nociones de una misma naturaleza y es por eso que podemos hablar de sus propiedades comunes o, al revés, contraponer- las una a otra. En particular, la relación de «mayor o igual» entre dos números naturales, Jo mismo que la de divisibilidad, es cierta enunciación sobre estos números y puede ser justa (por ejemplo, 5733) ó no (por ejemplo, 3 > 5). Señalamos en seguida que con la relación de divisibili- dad tiene más propiedades comunes la relación de «mayor o igual» que la de «mayor». Esto está ligado a que la relación de «mayor o igual», semejante a la de divisibilidad, es re- Mexiva (en efecto, la correlación a > a es cierta para cual- quier a) y la relación de «mayor», no (la desigualdad a > a nunca biene lugar). Justamente por eso, como relación de orden entre los números naturales, aquí se examina la 45 de «mayor o igual» y no la «mayor» que parecería más simple y natural. 5. La relación > tiene las siguientes propiedades, fáciles de com- probar 4% a > (es rellexiva). PsSia>byd>24, enlonces a = bh (es asimétrica). 3"Sia >byb>0, entonces a >< (es transitiva), 42 En toda sucesión de números naturales LAIA TA A TS ¡eran uno de otro, existirá el número último. Esti propiedad de la relación se Jlama algunas veces de urdenación u ordena- miento completo del conjunto de números naturales. La propiedad de ordenución completa tiene vna formulación bastante complicada y un tunto artificial, No obstante, revela rasgos de extraordinaria importancia en la construcción del conjunto de números naturales urdenados por la relación >. De aquélla se deducen muchas oíras propiedades de esta relación. Además, según veremos, precisamente en aquélla están basados los razonamientos «induetivos» tan empleados en distintos problemas matemáticos. Para el empleo provechoso de esta propicdad señalamos lo sigui- ente: existe tal número «, que de a > h se deduce que a= b (aquí a y 5 son números naturales). En efecto, si tal número no exislíera, entonces, nosotros podríamos encontrar para cada a, tal 2aq1 QUE 0, > % 441 Y Lg? 2p41- Comen. zando con el arbitrario a, nbtendríamos una sucesión AMARA AMA de nunca acabar. Pero su existencia contraría la propiedad de orde- namiento completo del conjunto de números naturales. Por consiguiente, el número a señalado realmente existe y se llamu primero o mínimo (evidentemente es el cero). Señalemos aquí mismo que no hemos establecido la unicidad del número mínimo. Lo haremos luego en forma indirecta. 5% Cualquiera que sea el número a existe un número 5 distinto de a para el cual hb > a. Esta propiedad del conjunto de los números naturales se llama de ilimitación, en el sentido de la relación >. €” Cualquiera que sea el número a, a excepción de minimo, existe uno y, que a >b, ab y para cualquier número e, de a>c>b se desprende que o hien c= a, o bien c = b, Esta afirmación formal llevada a un lenguaje substancial significa que cada número natural, a excepción del cero, tiene otro natural inmediato anterior. (Esto tam- bién puede ser formulado así: entre lodos los números menores que el dado existo uno que es el más grande.) 7% 0 bien a>b, 0 bien >>. Esta propiedad de la relación se lama su dicotomía. En malemática, con este término comúnmente se expresa la realización obligada de una de las dos posibilidades. Esta palabra es de origen griego significa división en dos partes. Destaquemos que 1 2 son propiedados de la propía relación en el conjunto de todos los números naturales y no las propiedades de unos cuoys términos di 17 Así, por ejemplo, designando la relación de la divisibilidad par por mediu de p, podemos escribir : > p. Luego, es evidente que >= 2,2. Al miso Uempo, en los conjuntos de números natura les existen relaciones también palurales, con respecto a las cuales no se puede afir- mar que una es más Íuerte o más débil que «tra. Entonces, si pura dos números a y b naturales, por ejemplo, suponemos quea >> h y que la última cifra, en la notación decimal de a. es mayor que la ñitima de b, entonces 11 > =>, i> 0 7> Claro que para úperar libremente con nociones tan «owplejas como las relaciones entre reluciones es indisprusablo una práctica especial. En segundo logar, tales razonamientos e incluso aún más abstrac- Los se comienzan a encontrar cada vez con más y más Frecuencia en las aplicaciones de Jus matemáticas a la economía bioluyía, lngúística y al arte militor Desgraciadamente, explicaciones mús detalladas sobre esto nos alejorían demasiado de muestro Lema principal. 7. La posibilidad do emplear el método de inducción completa (llamado también de inducción perfecta o mate- mática) está estrechamente ligada «a la ordenación del con- junto do números naturales por jnedio de la relación Habitualmente este método se emplea de la signiente manera. Sea A (2) una afirmación concerniente al número natural arbitrario n. Esto siguifica que, de hecho, operamos con la serie infinita de afirmaciones A(0), 4 (0, .... 4(M... sobre cada uno de los números naluralos Supongamos que a) la afirmación 4 ,0) es correcta («base de la induce ciónm»)"); b) de la corrección de la afirmación +1 (n) se desprende la de la afirmación A (2 +4) («transición inductiva»). El principio de inducción matemática afirma que cn las hipótesis a) y hb), 1 (u) es correcta para cualquier número natural ». Este principio nu es una afirmación indepondiento, sino que puede ser deducido de las propiedades 1979 ¿eel conjunta de numeros nalu- rales ordenados por la relación >. En electo, supengamos que Ías condiciones a) y b) del principio de inducción para la «firmución A (a) se emmplen. pero la conclusión de este principio no tiene lugar. Le último significa que dehen existir tales números m para los enales la afirmación A (90) no es justa, Sea 1 uno de ellos. Si para todos los y << my la aliemacion A (0) es justa. en- tonces, 7 es el menor de los números paru los emales A (1) 00 tiene , 1) Frecuentemente, como baso de una inducción: se loma la alirmación A (1). Evidentemente. esta diferencia no es esene cial. Lo importante es que dicha buse concierne al primera de: log nú- meros examinados por nosotros. 2-01319 18 lugar, Pero si no lo es, entonces deberá existir un my < my tal, que A (ma) sea incierta. ln conclusión, nosotros llegamos a la sucesión de números dife- rentes AMARA (1.2) para cada uno de los cuales A (m) no tiene lugar. Por la 4% condición de ordenamiento completo el úllimo término de la sucesión (1.2) de- berá ser my. Evidentemente, m, es el menor de todos los números para los cuales A (a) nu es cierta, Por cuanto A (0) es cierta por condición, m, +0, y existe el nú- mero m*, inmediato anterior a m, (cn realidad es el m, — 1). Como má < mE, la afirmación A (m£) deberá ser cierta. Pero entonces, por la condición h) del principio de inducción matemática también lo deberá ser la afirmación 4 (mé + 1), es decir A (m;), llegando a una contra- dicción. lilla indica que no hay números m para los cunlos A (1) uo tuviera lugar (es decir, no fuera cierta) Hacemos la siguiente observación. Los razonamientos que aca- bamos de efectuar no se deben considerar ni demostración, ni funda- mento del principio de inducción. Ellos solamente indican que una afirmación inatemática (del método de inducción) puede ser deducida de otras (de las propiedades de la relación >). Estas mismas propieda- des ban sido empleadas por nosotros como axiomas, por lo cual no fue- ron demostradas sino solamente verificadas. Cualquier intento para de- mostrarlas en forma matemática tropezaría inevitablemente com la necesidad de introducir condiciones nuevas en calidad de axiomas. En particular, las demostraciones de la propiedad de ordenación completa deberán emplear los mismos razonamientos inductivos (el lector puede cerciorarse de ello por sí mismo). Al método de inducción matemática en sus diferentes variantes le fueron dedicados los folletos de 1. S. Sominski «Método de inducción matemática» (Editorial «Naúka», 1974) y de L. 1. Goloviná e 1. M. Yaglom «Inducción en la geometría» (Editorial «Naúka», 1956) que contienen gran cantidad de ejemplos de su aplicación. A lo largo de nuestro libro también vamos a emplear este método frecuentemente. Problema 10. Supongamos que pares de objetos de cualquier natu- raleza (números, puntos, funciones, teoremas, etc.) se hallan vincus lados por una determinada relación £-, con propiedades análogas a la 27, Demostrar que en este caso estos objetos (elementos) pueden ser numerados (es decir. escritos en un cierto orden); A,, Ap, Ag, --. de modo que 4, £- Az, única y exclusivamente cuando 1 >. De hecho, lo dicho significa que la relación, posecdora de las propiedades 1?—7”, ordena al conjunto en una cadena lineal de cle- mentos: AA 8, No obstante, volvamos a la relación de divisibilidud, Para el caso de números positivos los teoremas 1, 2 y 3 y Jos problemas 3, 4