Euler, Apuntes de Economía

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Lecciones populares de matemáticas CARACTERÍSTICA EULERIANA Yu. Shashkin HIOHY JTP DO JUSTA MO MATEMATURE 10. A. IMATMIEKAN OM.AIEPOBA XAPARTEPHUCTHKA MOCKBA «IAV EA» LICCIONES POPULARES DE MATIMTICAS YU. SHASHKIN CARACTERÍSTICA EULERIANA Editorial Mir Moseñ 5 ÍNDICE Prefacio 6 $ L. Fórmulis de Euler para la recta y el plano 8 $ 2. ¿Qué es la característica de Kuler? 45 3 3. Caraclerística euleriana de los polígonos 2 $ 4. Característica de Euler y suma de los ángulos exteriores de un polígono 34 $ 5. Aplicación do la caracteristica de Euler al cálculo de áreas 38 $ 6. Fórmula de Enler para el espacio 46 5 7. Fórmula de Euler para poliedros convexos y sus corolarios 54 $ 8. Axiomas de la característica de Euler 6t $ 4. Demostración de la existencia de la a 69 $ 10. Equivalencia entre dos doler de la característica de Euler 75 $ 14. Figuras elementales sobre la esfera y sus características de Euler 89 $ 12. Aplicaciones sucesivas de la racteríslica de Euler 94 Soluciones, indicaciones, respuestas 102 Bibliografía 109 6 PREFACIO Leonardo uler (1707—1783), eminente matemático del siglo XVI, nació en Ja ciudad suiza de Basilea. Des- de los veinte años vivió en San Petersburgo, Berlín y luego de nuevo en San Petersburgo. Euler jugó un papel insigne en el desarrollo de las matemáticas, la mecánica, la física y la técnica. Fue el pionero de las investigaciones matemáticas en Rusia. En 1758, en las «Memorias de la Academia de Ciencias de Petersburgo» publicó la demostración de la fórmula V-A+C=2 (0.1) que enlaza entre sí los númoros de vértices V, aristas A y Caras C de un poliedro convexo arbitrario. El folloto que se ofrece al lector está dedicado a la fór- mula de Euler (0.1), así como a sus diferentes análogos y aplicaciones. Supongamos, por ejemplo, que el plano ticne una familia finita de rectas que se intersecan en cierto número de puntos V «vértices» dividiendo el plano en C «caras», mientras que las mismas se dividen por los vértices en A «aristas». Entonces resulta que V-IA+C=4, (0.2) Al igual que la fórmula (0.1) es justa para un poliedro convexo cualquiera, la fórmula (0.2) es justa para una fa- milia de rectas cualquiera sobre el plano y no depende de su número ni de la disposición mutua de las mismas. En general, lo notable del hecho consiste en que si está dada una figura (de cierta clase determinada), como- quíera que osté dividida en partes (caras, aristas y vérti- ces) que de cierta manera «lindan» unos con otros, la suma de signo variable V — A + C, denominada carac- terística de Euler de la figura, conserva un valor cons- tante. En la primera parte de dicho folleto ($$ 1—7) se calou- lan las características de Euler de la recta, el plano, el espacio tridimensional, polígonos de diferentes clases, los límites de los poliedros convexos. En Jos $$ 4 y 5 se expo- nen las aplicaciones de la característica de Euler con arreglo al cálculo del área del polígono y la suma de sus ángulos exterivres. 8 $ 4. FORMULAS DE EULER PAKA LA RECTA Y EL PLANO La variante más simple de la fórmula do Euler surge al dividir la recta L en partes por un conjunto finito de puntos, Si se escogen sobre la recta V puntos, éstos la dividen en V—1 segmentos y dos rayos, es decir, en V +1 partes. Designando el número de dichas partes por A, tendremos V-A=-1 (1.1) Precisamente ésta es la fórmula de Euler para la recta. Esta fórmula demuestra que la diferencia V— A es a) $) c) ZA Ñ A IN X al e) 17) EJ) a) 7) Fig. 1 constante, es decir, no depende del número de puntos escogidos ni de su posición, y expresa, por tanto, una propiedad de la misma recta. Pasomos ahora al plano Q y tratemos de obtener para ésto la fórmula de Luler análoga a la (1.1). Este problema 9 es más complicado e interesante para el plano que para la recta: efectivamente, la división se efectúa en este caso por una familia finita de rectas situadas sobre el plano de maneras diferentes. Por ejemplo, dos rectas pueden intersecarse o ser paralelas. Existen cuatro casos de dispo- sición mutua de tres rectas, a saber: las tres rectas son paralelas; dos son paralelas, mientras que Ja tercera las interseca; cada par de rectas tiene un punto común, pero no existe tal punto para las tres; las tres rectas pasan por un punto. Los diferentes casos de disposición de las cuatro rectas pueden verse en la fig. 1; su descripción verbal sería dificultosa. Se podría examinar la disposición de cinco, seis y más rectas; con el crecimiento del número de rectas aumenta rápidamente ol número de diferentes formas de disposición. Cada familia de rectas divide el plano en partes lJama- das caras de partición; designaremos su número con la le- tra C. Llámanse vértices de partición los puntos de inter- sección de dichas rectas, y aristas de partición, las partes en las cuales las rectas están partidas por los vértices. Designemos con las letras V y A el número de vértices y el número de aristas de partición, respectivamevte. La partición puede no tener ni un solo vértice (entonces V = 0); será exclusivamente en los casos cuando cada dos rectas son paralelas. Es natural que las propias rectas se consideran aristas de tal partición. Resulta que los números V, A y C están enlazados entre sí mediante la relación VA+C=1 (1.2) Ésta es la fórmula de Euler para el plano; olla muestra que la suma de signo variable V — A + € es constante, es decir, no depende del número de rectas quo parten el plano, ni de su disposición mutua. Por tanto la fórmula de Euler expresa la propiedad del propio plano Q. Demostremos la fórmula (1.2) para una partición que producen » rectas, haciendo previamente unas observa- ciones. Primero, en el caso cuando la partición no tiene vérti- ces, la fórmula (1.2) es ovidente, puesto que entonces V=0, A=n y C=n-+1. Segundo, demostremos el siguiente lema, útil tam- bién para otros casos. 141 las rectas auxiliares «superfluas», es decie, las que difio- ren de las rectas Ly, ..., £y, a fin de no recargarla; el lector comprobará que las mismas deberian trazarse por los paros de puntos 4/45, ArA5, dador Aye, y ts Ahora, valiéndonos del lema Í, tracemos la recta auxil Fig, 2 Ly no paralela a ninguna de las rectas My, ..., My. Supon gamos que la recta Ly está situada, primero, horizontal- mente y, sogundo, «por debajo» de los vórlices Ay, -.. . ++ Ay. De aquí se desprende que para cada par de vértices A, y A; sus distancias de la recta /., son diferen- tes *). Posteriormente este hecho se expresará mediante las palabras «todos los vértices se encuentran a diferente altura», sobrentendiendo su altura sobre el nivel de la recta Lp. Supongamos que el número del vértice corres- ponde al orden de crecimiento do Ja altura, es decir, que 4, es el vértice más bajo, A, se encuentra más arriba que A,, pero más bajo que Az, etc. y, finalmente, que Ay es el vértico superior, La recta «móvil» L estará situada horizontalmente, coincidiendo en su posición inicial conla rocta £, y subien- do luego a partir de ésta porel plano. La recta Z puede utilizarse para el cálculo de las aristas de partición: puesto que se interseca con las rectas E,, ..., Ly y con Cada una de ellas en un punto particular, en la posición *) Realmente, si 4; y Ay se hallan a igual distancia de la recta Lo, la recta que pasa por dichos vérticos Ferá paralela a Lo. Sin embargo, tal hecho no puede existir por el tra- zado de La. 12 inicial ella encuentra n aristas. Ahora hagamos subir la recta L por el plano paralelamente a sí misma. Hasta el momento de encontrarse con el vértice más bajo Ay el número de aristas intersecadas por ésta se mantiene invariable e igual a n. Al pasar por el vértice A,, dicho uúmero ha de variar: aparecerán nuevas aristas cuyo número es igual al grado a, del vértice A,. Por eso el número total de aristas que la recta L encuentra hasta el momento dado será igual a n +, y se mantendrá así hasta el encuentro con el vértice siguiente Ay. Si el grado de este último es a,, entonces, una vez que £ pase por As, el número de aristas ya encontradas para este momento aumentará de nuevo y será igual a n + a + %g, eto. Por Sin, después de pasar por el último vérlice, el más alto, Ay con el grado ay, dicho número será igual an + 0% + ++... + 0%. Así pues, el número total de aristas de partición será igual a A=n+ato+...+0 o bien, escribiéndolo más brevemente, y Asn+ Y) a. (1.3) Ballaremos el número de caras de partición de la ma- nera siguiente: la recta L se parte, en la posición inicial, por las rectas £,, . . -, Ly en n + Í partes; cada una de estas partes se encuentra en la cara de partición que le corresponde, «contando» también dicha cara. Por lo tanto, la recta L encuentra en la posición inicial n + 1 caras y este número no varía hasta que ésta no suba hasta el vértice A,. Una vez pasado el vértice A,, aparecen, como hemos visto, nuevas aristas cuyo número es a,. Está claro que el número de caras nuevas encontradas en este caso por la recta L será igual a «, — 1 *). Por eso el número total de caras encontradas hasta este momento será igual a 14 nm la —4. Dospués de pasar por el vértice A este número lotal aumenta en «, — 1, eto; finalmente, cuando £ interseque ol vértice más alto Ay, el último, el número total de caras aumentará en ay — 1. Por eso Le (a — 1D) + (0D +... + (0y—1) *) ¡Dichas caras nuevas están encerradas entro a, aristas nuevas 14 Sea que d (%) designa el número de aristas ya encontradas por la recta £ en movimiento hasta el momento de ocupar la posición 2 (4); uu sentido análogo tienen las designa- ciones Y (h) y € (h). Los valores de A (h), V (1) y C (Mm) varían en función de h; tenemos que demostrar que su suma de signo variable S (4) = V (Rf) — A (h) + C (se toraa igua a 1 para kh = Hf. Si kh =0, entonces, como hemos visto, V (a) =V(0)=0, A(0)=nm C(0)= == 1 +m, siendo por eso S (0) = 1. Al pasar la rocta L por el vértico 4¿, el número A (2) aumenta en 0;, C (h) aumenta en e, — 1 y V (h) aumenta en 1, por eso S (k) no varía su valor. En particular, S (H) = 1, lo que había que demostrar. PROBLEMAS 1. Domuéstreso que para cualquier partición de una recta por un número finito V de puntos, la suma V -+ A es impar. 2. Demuéstrese que para cualquier partición del plano por un número finito de rectas, la suma V + Á + C es impar. 3. Se dice que las rectas sobre un plano se hallan en posición general, si ningunas dos de ellas son paralelas y ningunas tres tie- nen un punto común, Vemuéstrese gue para cualquier número natu- ral n existen sobre el plano n rectas de posición general. 4. Pruébeso que si la partición del plano se realiza por n rectas :ión genoral, Aunt, Cin, 5. Demuéstrese la fórmula de Euler (1.2) por el método de la recta móvil, suponiendo que ésta es paralela a una o varias rectas de la familia. 6. Demuéstroso la fórmula do Euler para una familia de rectas de posición general por el método de inducción matemática respecto a] número de rectas. 7. Una figura plona se denomina limitada (acotada) si se en- cnentra dentro de un círculo de cierto radio (tal vez, muy grande) y no limitada (no acotada), en caso contrario. Hállese el número de ¿aristas limitadas A, (es decir, segmentos) y el de arístas no limita- das As (es decir, rayos), así como el número de caras Jimitadas C, y el de coras no limitadas C, para la partición de un plano, que tiene vértices. Pruébese que V—A+C1= , que la partición de un plano siempre tiene caras 8. Estás po 5 , 'uándo tiene caras limitadas (aristas Jimi- y aristas no limitadas. ladas)? 15 $ 2. ¿QUÉ ES LA CARACTERÍSTICA DE NRULER? Las fórmulas de Euler para la recla y el plano demos- tradas en el $ 1 son una manifestación del siguiente hecho notablo general. Supongamos que (P es una figura partida de cierta manera en partes que hemos de Jlamar vértices, aristas y caras. Denotemos el número de vértices, el de aristas y el de caras de partición por V, Á y €, respectiva- mente. Para todos los elementos de partición se utilizará también el nombre unificado células, es decir, en vez de las palabras «aristas, caras y vértices de partición» dire- mos brevemente «células de partición». Resulta quo, independientemente del método de partición de la figu- ra D en células, la suma de signo variable Y — A -+ conserva el valor constante o bien, en otras palabras, es invariante respecto al método de partición, Dicha suma se denomina característica de Euler de lu figura y se dosigna por la letra griega % (ji). Por consiguiente, por definición, 1 (0) =V—-A+C, Como se ha mostrado antes, la característica de Euler para la recta es igual a — 1, y para el plano, a 1 En la suma de signo variablo Y — A -+ € que deter- mina la característica de Euler el orden de los sumandos no es casual: depende de la dimensión de las células que corresponden a dichos sumandos, En otras palabras, V designa el número de células de partición de dimensión nula; Á, el número de células unidimensionalos y C, el de bidimensionales. Señalemos que las células; de dimensión nula (o vértices) son puntos, las células unidimensionales (0 aristas) son, las más de las veces, segmentos rectilíneos, y las células bidimensionales (caras), polígonos convexos, La determinación de la característica de Fuler aquí dada necesita de una precisión: hay que indicar además qué clases de figuras exponemos al examon, qué se entien- de por células en cada caso concreto y, por fin, cómo se detormina la partición de la figura en células, os docir, cómo «hacen contacto» entre sí las diferentes células. A estos problemas está dedicado casi todo el $ 2. Así pues, consideremos ciertas clases de figuras, para las cuales es posible determinar la característica de Euler. 17 es invariante en el misino sentido que para la quobrada. Púede suceder que el grafo G no tenga aristas, sino que disponga sólo de n vértices; en este caso y (6) =m. Ejemplos de grafos se exponen en la fig. 4; sus vértices están marcados con pequeños círculos claros. De la figura se desprende que algunas aristas pueden tener puntos de intersección «superfluos», los cuales no son vértices. El Fig. 5 lector comprobará que las características de Euler de los grafos a), b), c), d), e), /) en dicha figura son iguales a —1, —2, 4, 0, —3, 2, respectivamente. Llámase grado del vértico de un grafo al número de arístas que unen éste a otros vértices. lin la fig. 4, por ejemplo, los vértices », y vz del grafo a) tienen el grado 33 los grados de sus otros vértices son iguales a 2. El gra- fo c) tiene dos vértices con grado 0 (precisamente, 1, y 03) y cuatro vértices con grado 1. El grado do cada vértice del grafo b) es igual a 3, y del grafo e), igual a 4. Los vértices con grado O se denominan también aislados. El grafo se denomina conezo si cualesquiera dos de sus vértices pueden ser unidos por una quebrada no cerrada que consta de las aristas del grafo. Se dice que el grato encaja en el plano si ésto puede tra- zarse sobre el plano de tal manera que las aristas se inter- sequen sólo en los vértices. Así es, por ejemplo, el gra- fo a) representado en la fig. 5 (el ilamado grafo completo con cuatro vértices), puesto que se puedo «volver a trazarlo» 20326 18 de manera que desaparezcan las intersecciones superiluas de las aristas (Lig. 5, 6). Por cierlo que durante esla ope: ción hemos lenido que substituir una arista del grafo por dos aristas e introducir un vértico nuevo. Se suele consi- derar que en este caso el grafo «no ha varíado», por lo menos, su característica do Buler ha conservado su valor. Preste además atención al hecho de que en la fig. 4, 5) está representado «el mismo» grafo que en la fig. 5, a), pero sin intersecciones superíluas de las aristas y sin introducir vértices nuevos, o general, todos los grafos de la fig. 4 menos el e) encajan en el plano. Por otro lado, el grato e) (llamado grafo completo con cinco vértices) no encaja en el plano, aun cuando se inbroducen vértices Nuevos (véase el problema 13). Es interesante señalar que cada gralo puede siluarse en el espacio sin intersección superflua de las aristas. Demo: trémoslo, Sea que el grafo G tiene V vértices y A aristas. Tomemos en el espacio un «libro con A hojas» (fig. 6, dondo A = 4) señalando en su «lomo» Y puntos (vértices del gra- lo). A cada una delas A aristas del grafo le ponemos en correspondencia su hoja del libro dibujando en ésta dicha arisla en forma de una quebrada que consta de dos seg- mentos. Está claro que no hay intersecciones superfluas de las aristas; por cierto que hemos tenido que substituir cada arista por dos nuevas y un vértice nuevo. Notemos, Sin demostración, que cada grafo puede situarse on el espacio sin introducir nuevos vértices y sin quebrar las artistas. Pasemos ahora a la siguiente clase de figuras, polígonos planos, examinando primero los convéxos que son los más simples de éstos. Cada recta divide el plano en dos semiplanos. Con esto se supone que la propia recta se encuentra en cada uno do ellos. En otras palabras, suponemos que ambos semiplanos son cerrados, Llámase polígono convezo a la intersección de un número finito de semiplanos a condición de que ésta, primero, esté limitada, es decir, se encuentra dentro de un círculo de radio finito, y segundo, soa bidimen- sional, o sea contiene un círculo con un radio que difiere de cero (fig. 7). La última exigencia es equivalente a que el polígono convexo no se encuentre sobre ninguna recta. Delinamos ahora el polígono en general (no obligato- riamente convexo).