División de Polinomios: Métodos y Aplicaciones, Diapositivas de Álgebra Lineal

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Ingeniería Industrial y de Sistemas Campus Lima

División Algebraica

Máster Ing. Xiaolin Ayón

Curso: Álgebra

División Algebraica

Dado los polinomios, denotamos con 𝐷(𝑥) al dividendo, 𝑑(𝑥) al divisor,

𝑞(𝑥) al cociente y 𝑅(𝑥) al residuo.

1. División exacta (R x = 0 )

2. División inexacta(R(x) ≠ 0 )

DIVISIÓN ALGEBRAICA

2. División inexacta( 𝐑(𝐱) ≠ 𝟎 ):

Ejemplo: Al dividir

𝟑

− 𝟑𝐱 + 𝟒 ÷ 𝐱

𝟐

𝐆𝐫𝐚𝐝𝐨 𝐪 = 𝐆𝐫𝐚𝐝𝐨 𝐃 − 𝐆𝐫𝐚𝐝𝐨 𝐝 𝐆𝐫𝐚𝐝𝐨𝐌𝐚𝐱 𝐑 = 𝐆𝐫𝐚𝐝𝐨(𝐝) − 𝟏

Aplicaciones

§ Divisibilidad: supone una división exacta, residuo igual a cero. Si P(x) es divisible

por (x − a), entonces:P a = 0 ; P x = (x − a)d(x)

§ Permite determinar las raíces de una ecuación cualquiera y los restos de

ecuaciones fraccionarias.

MÉTODOS DE DIVISIÓN

I. Método clásico :

Propiedades

1. D x = d x q x + R(x)

2. ∑^ Coef. D x = D 1 = d 1 q 1 + R( 1 )

3. T!"# = D 0 = d 0 q 0 + R( 0 )

4. G q = G D − G(d)
5. El cociente de dos polinomios homogéneos dará como resultado otro polinomio homogéneo.

Problemas resueltos

1. Dividir e indicar el cociente y residuo.

RESOLUCIÓN:

𝟒

𝟑

𝟐

𝟐

𝟐

• 𝟓𝐱 + 𝟐 −𝟑𝐱

𝟒

• 𝐱 𝟑
• 𝐱 𝟐
• 𝟏𝟏𝐱 + 𝟐 −𝟔𝐱 𝟒 − 𝟏𝟎𝐱 𝟑 − 𝟒𝐱 𝟐 −𝟗𝐱 𝟑 − 𝟑𝐱 𝟐
• 𝟏𝟏𝐱 𝟗𝐱 𝟑
• 𝟏𝟓𝐱 𝟐
• 𝟔𝐱 𝟏𝟐𝐱 𝟐
• 𝟏𝟕𝐱 + 𝟐 −𝟏𝟐𝐱 𝟐 − 𝟐𝟎𝐱 − 𝟖 −𝟑𝒙 − 𝟔 𝐑(𝐱)

𝟐 +𝟒

MÉTODOS DE DIVISIÓN

II. Método de Horner:

Esquema gráfico: d i v i s o r Cambian de signo

D I V I D E N D O

C O C I E N T E R E S T O

Problemas resueltos

2. Dividir e indicar la diferencia entre su cociente y residuo:

RESOLUCIÓN:

§ Completamos y ordenamos los polinomios que corresponden al dividendo y divisor: 𝐃 𝐱 = 𝟏𝟐𝐱 𝟓 − 𝟏𝐱 𝟒

• 𝟎𝐱 𝟑
• 𝟑𝐱 𝟐
• 𝟎𝐱 + 𝟓 𝐝 𝐱 = 𝟑𝐱 𝟑
• 𝟐𝐱 𝟐
• 𝟎𝐱 − 𝟏 § Colocamos los coeficientes en el gráfico correspondiente al modelo de Horner § El cociente y el residuo de la división son. 𝐪 𝐱 = 𝟒𝐱 𝟐 − 𝟑𝐱 + 𝟐 𝐑 𝐱 = 𝟑𝐱 𝟐 − 𝟑𝐱 + 𝟕 § Nos piden: q x − R(x) 𝟒𝐱 𝟐 − 𝟑𝐱 + 𝟐 − 𝟑𝐱 𝟐 − 𝟑𝐱 + 𝟕 = 𝐱 𝟐 − 𝟓

𝟓 F𝒙 𝟒 G𝟑𝒙 𝟐 G𝟓 𝟑𝒙𝟑G𝟐𝒙𝟐F𝟏 3 12 - 1 0 3 0 5

- 2 12 - 8 0 4 0 - 9 6 0 - 3 1 6 - 4 0 2 4 - 3 2 3 - 3 7

MÉTODOS DE DIVISIÓN

III. Método de Ruffini:

Se emplea para dividir polinomios, en donde los divisores son de la forma: ax + b o ax − b

§ Se completan y ordenan los polinomios con respecto a una sola variable o letra. En caso falte un

término, este se completa con cero.

§ En caso hubiesen dos o más variables se considera solo a una de ellas como tal y las demás harán el

papel de números o constantes. Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo (D);

en forma paralela se iguala el divisor a cero, se despeja la variable y esta se coloca en el ángulo inferior

izquierdo del gráfico.

§ Se baja el primer coeficiente del D siendo este el primero del cociente (q). Luego se multiplica por el

valor despejado de la variable y el resultado se coloca debajo de la siguiente columna.

§ Se reduce la columna siguiente y se repite el paso anterior tantas veces hasta que la última operación

efectuada caiga debajo del último coeficiente del D. Llegado este momento, se reduce la columna que

falta, y siempre se cumplirá que la última columna le va a pertenecer al resto, y este siempre será un

número.

MÉTODOS DE DIVISIÓN

III. Método de Ruffini:

Esquema gráfico: 𝒙 = 𝒏

D I V I D E N D O

C O C I E N T E R E S T O

1 er caso: Cuando el primer coeficiente del divisor es la unidad, es decir, de la forma x + b o (x − b) 2 do caso: Cuando el primer coeficiente del divisor es diferente de la unidad, es decir, de la forma: ax + b o (ax − b) En este caso se procede en forma similar a la anterior pero se debe tener presente que para obtener el verdadero cociente se divide cada uno de los coeficientes del aparente cociente por el primer cociente del divisor.

Problemas resueltos

5. Dividir:

RESOLUCIÓN:

§ Aplicando el método de Ruffini: § El cociente y el residuo de la división son: 𝐪 𝐱 = 𝟐𝐱 𝟑

• 𝟓 𝟐𝐱 𝟐 − 𝟐𝐱 + 𝟐 𝐑 𝐱 = 𝟎

𝟒 G𝟑 𝟐𝐱 𝟑 F𝟏𝟐𝐱 𝟐 G𝟑 𝟐𝐱F𝟐 𝐱F 𝟐 x- 𝟐 =0 2 3 𝟐 - 12 3 𝟐 - 2 x= 𝟐 2 𝟐 10 - 2 𝟐 2 2 5 𝟐 - 2 𝟐 0

Problemas propuestos

1. Dividir:

RESOLUCIÓN:

𝟑 F𝟏𝟗𝐱 𝟐 G𝟏𝟗𝐱F𝟏𝟔 𝟑𝐱F𝟐 3x- 2 =0 6 - 19 19 - 16 x=

MÉTODOS DE DIVISIÓN

IV. Teorema del resto:

Se emplea para calcular el resto en forma directa sin necesidad de efectuar la

operación de la división. Por lo general se emplea para divisores de la forma: ax ±

b, o cualquier otra expresión transformable a esta.

LEMA O ENUNCIADO DE DESCARTES

“Dado un P(x) como D y un divisor de la forma ax ± b, para calcular el resto en

forma directa se iguala el divisor a cero; se despeja la variable y esta se reemplaza

en el dividendo”.

MÉTODOS DE DIVISIÓN

IV. Teorema del resto:

Dados: D = P(x) d = ax − b q = Q x r = R D = Dq + r Sabemos: P x = ax − b Q x + R … (∗) Según Descartes: ax − b = 0 → x = ' ( Reemplazando en (*):

P

b a = a b a − b Q b a

+ R … ∗

P

b a

= R