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PR¡CTICAS MATEM¡TICAS I
CURSO 2015-
TEMA 1. INTRODUCCI”N A LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
TEMA 2. APROXIMACIONES LINEALES Y CUADR¡TICAS
TEMA 3. AMPLIACI”N DE C¡LCULO MULTIVARIANTE
TEMA 4. C¡LCULO INTEGRAL
TEMA 5. AMPLIACI”N DE C¡LCULO INTEGRAL
TEMA 1
INTRODUCCI”N A LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
- En el siguiente gr·Öco aparecen las curvas de nivel de alguna (algunas) de las siguientes funciones
f 1 (x; y) = (2x + y 1)^2 ; f 2 (x; y) = x y; f 3 (x; y) = x + 2y + 4: Diga a quÈ funciÛn corresponde cada curva de nivel y el valor de dicha funciÛn en ella.
- En los siguientes gr·Öcos hemos dibujado en el primer cuadrante 3 curvas de nivel de cada una de las funciones
f (x; y) = 9x^2 + (y 1)^2 ; g(x; y) = 2x + y^2 ; h(x; y) = 2 + y +
p x
øA quÈ funciÛn corresponde cada gr·Öco? Determine el valor de la funciÛn en las curvas de nivel dibujadas.
- Represente gr·Öcamente 3 curvas de nivel de cada una de las siguientes funciones.
(i) f (x; y) = y + ln(x + 1); (ii) f (x; y) = (x 2)^4 y; (iii) f (x; y) = (x + 1)^2 + y^2 ; (iv) f (x; y) =
p 2 x + y:
- SeÒale en el gr·Öco que aparece debajo el conjunto
S = f(x; y) 2 R^2 : y > ex^ 1 ; y 2 x + 2; y 5 x^2 ; x 0 ; y 0 g:
indicando cu·l es cada una de las curvas.
a) Represente gr·Öcamente el conjunto A =
(x; y) 2 R^2 ++ : 2x + 4y 24 : b) Halle y represente gr·Öcamente la curva de nivel de U (x; y) que pasa por el punto (1; 1) : c) Represente gr·Öcamente los conjuntos A \ B y A [ B; siendo B el conjunto
B =
(x; y) 2 R^2 : U (x; y) 1 :
NOTA: R^2 ++
(x; y) 2 R^2 : x 0 ; y 0 ; R^2 +
(x; y) 2 R^2 : x > 0 ; y > 0 :
- Cuando una empresa produce x e y unidades de los bienes X e Y; incurre en unos costes dados por la funciÛn C(x; y) = x + 2y^2 : a) Encuentre y represente gr·Öcamente la curva de isocoste que contiene al punto (6; 1) : b) Encuentre otro par de cantidades (x; y) que estÈ en la misma curva de isocoste que (6; 1) c) Suponga ahora que los bienes X e Y se venden a precios px = 1 y py = 2 por unidad. i) Halle la funciÛn que nos da los ingresos de la empresa cuando vende x e y unidades de los bienes X e Y: ii) Halle la funciÛn que nos da el beneÖco de la empresa cuando vende x e y unidades de los bienes X e Y: iii) Encuentre y represente gr·Öcamente el conjunto de combinaciones de productos (x; y) que permitan in- gresar al menos 8 unidades monetarias con coste menor o igual que 8 iv) Encuentre y represente gr·Öcamente el conjunto de combinaciones de productos (x; y) que permitan in- gresar al menos 8 unidades monetarias sin pÈrdidas.
- Sean las funciones de producciÛn f 1 (L) = L^2 =4; f 2 (L) = 4L^1 =^2 ; donde L es el factor trabajo. La productividad marginal del trabajo es la derivada de la funciÛn de producciÛn respecto de L: a) Calcule la productividad marginal del trabajo para las funciones de producciÛn anteriores. øSon las fun- ciones de producciÛn crecientes? øSon crecientes las productividades marginales? b) Si la cantidad producida con una unidad adicional de factor es mayor cuando L es grande que cuando es pequeÒo, øa quÈ funciÛn de producciÛn nos referimos? c) Suponga que L = 4: Para cada una de las funciones anteriores, si disminuye la cantidad empleada del factor en un 4%: c1) øEn quÈ porcentaje aproximado varÌa la cantidad producida? c2) øEn quÈ cuantÌa aproximada varÌan las productividades marginales?
- Halle las derivadas parciales de las siguientes funciones particularizando en los puntos indicados
a) f (x 1 ; x 2 ) = 2
p 3 x 2 x 1 x 2 ; x^0 = (1; 2) ; b) f (x 1 ; x 2 ) = ln(x^21 + 2x 2 )^3 ; x^0 = (1; 4) ; c) f (x 1 ; x 2 ) = x 1 + 18x^21 = 3 x^12 = 3 ; x^0 = (1; 1) ; d) f (x 1 ; x 2 ) = x 1 e x^2 (^) (x 1 +x^1 x 2 ) 2 ; x^0 = (1; 0) :
e) f (p; m) = (2p+4m)e
2 p+ 1+ln(3m+1) ;^ (p^0 ; m^0 ) = (^
1 2 ;^ 0);^ f)^ f^ (x; y) =^
6 4 x ln(2x e y^ ) 2 y^2 ,^ (x^0 ; y^0 ) = (1;^ 0)
- En el siguiente gr·Öco aparecen varias curvas de nivel de una funciÛn f (x; y) junto con el valor de la funciÛn en dichas curvas. Diga cu·l es el signo de las derivadas parciales de f (x; y) en el punto A:
- Sea B(K; L) los beneÖcios de una empresa cuando emplea K unidades de capital y L unidades de trabajo. En el gr·Öco que aparece debajo est·n representadas las funciones B(K; 12) y B(K; 26): Diga, justiÖcando su respuesta, si son ciertas las siguientes aÖrmaciones:
a) @B@K (10; 12) < 0 b) Si K = 12 entonces se obtienen los mismos beneÖcios contratando 12 trabajadores que contratando 26.
- Cuando se producen x unidades del bien X e y unidades del bien Y se incurre en unos costes dados por la funciÛn C(x; y) = 8
p x^2 + 3y: Actualmente x 0 = 2 e y 0 = 4: a) øCu·l es aproximadamente el coste si x se incrementa en una dÈcima? b) øCu·l es aproximadamente la variaciÛn en el coste si x se incrementa un 10%? c) øCu·l es aproximadamente la variaciÛn porcentual en el coste si y se incrementa un 8%?
- La cantidad producida de bien Y viene dada por la funciÛn
y = f (p; w) =
4 p^2 8 w w donde p es el precio del bien y w es el precio del factor empleado. a) Halle el dominio natural de deÖniciÛn de f (p; w) y represÈntelo gr·Öcamente. b) Halle la elasticidad de Y respecto de p cuando p 0 = 4 y w 0 = 2: c) øEs cierto que el porcentaje en el cual aumenta la cantidad producida de Y al aumentar p es mayor que el porcentaje en el que aumenta el precio p? d) Si p aumenta en un 3%, øcu·l es la variaciÛn porcentual aproximadada en y?
- Sea f (L; K) la cantidad de producto que se obtiene empleando L unidades de trabajo y K unidades de capital. Actualmente f (120; 20) = 240 y rf (120; 20) = (3; 2): Diga, justiÖcando tu respuesta, si son ciertas o falsas las siguientes aÖrmaciones: a) Si se despide a un 4% de los trabajadores la cantidad de producto se reduce un 6% b) Si K se incrementa un 2% la cantidad producida es aproximadamente 240.04 unidades
- a) Demuestre que la elasticidad de H(x) = f (x)g(x) es la suma de las elasticidades de las funciones f y g: b) Estudie quÈ relaciÛn existe entre las elasticidades parciales de G(x; y) = f (x)g(y) y las elasticidades de f y de g:
- Exprese utilizando derivadas primeras y/o segundas o una elasticidad los siguientes hechos a) La demanda de cafÈ x aumenta al aumentar la renta familiar m y este aumento es menor cuanto menor es m: b) Si la renta familiar m aumenta un 10% la demanda de cafÈ x aumenta un 2%:
- Sea la funciÛn z = f (x; y):Se sabe que f (8; 9) = 10; rf (8; 9) = (1; 2) y que
Hf (8; 9) =
1 3 ^
2 3
x = f 2 (y) = e^2 ^2 y^ : b) Represente gr·Öcamente la curva 2 x + ln y = 2: Represente gr·Öcamente las funciones y = g 1 (x) = e^2 ^2 x y x = g 2 (y) = 1 12 ln y: La funciÛn g 1 (x) se dice que es la funciÛn inversa de f 1 (x); y viceversa. NÛtese que, las funciones f 2 y g 1 son idÈnticas, sÛlo diÖeren en el nombre de la variable independiente (exÛgena). c) Vuelva a hacer los gr·Öcos de (a) pero ponga ahora la variable y en el eje de abscisas (horizontal) y a x en el de ordenadas (vertical). Compare estos gr·Öcos con los del apartado (b)
- La cantidad demanda de bien X viene dada por la funciÛn x = f (p) = 12 2 p: La curva x = 12 2 p es la llamada curva de demanda y a la curva p = 6 x= 2 se le llama curva inversa de demanda. a) Represente gr·Öcamente la curva de demanda y la curva inversa de demanda. Ponga p en el eje de ordenadas y x en el eje de abscisas. b) øCu·l es la funciÛn inversa de f (p)?
- Sea la curva x^2 3 y = 12: a) Represente gr·Öcamente la curva anterior. øPuede ponerse la variable y como funciÛn de x? øPuede ponerse x como funciÛn de y? b) øTiene inversa la funciÛn f (x) = 4 x
2 3?
- Sea x = f (L) la cantidad producida de un bien X empleando L unidades de trabajo. La funciÛn L = f ^1 (x) nos darÌa la cantidad que debemos emplear de trabajo para producir x unidades de bien. Si cada unidad de trabajo cuesta w; la funciÛn c = wf ^1 (x) nos dar· lo que le cuesta a la empresa producir x unidades de bien. Si w = 1; se tiene que la funciÛn de coste es la funciÛn inversa de la funciÛn de producciÛn. En general, para cualquier w > 0 ; se tiene que la funciÛn de coste es proporcional a la funciÛn inversa de producciÛn. Considere f (L) = 2L^1 =^2 : a) Represente gr·Öcamente la funciÛn de producciÛn, poniendo L en el eje de abscisas. b) Represente gr·Öcamente la funciÛn de coste si w = 1; poniendo x en el eje de abscisas. c) Represente gr·Öcamente la funciÛn de coste si w = 1; poniendo x en el eje de ordenadas. d) Represente gr·Öcamente las funciones de coste (con x en el eje de abscisas) cuando: w = 1; w = 2 y w = 4:
TEMA 2
APROXIMACIONES LINEALES Y CUADR¡TICAS
- Considere las funciones
(a) f (x; y) = 8 (x + 1)^1 =^2 y; (b) f (x; y) = ln (x + 1) + 2y:
a) øSon diferenciables estas funciones en (0; 1)? b) Calcule el gradiente y la diferencial de f en el punto (0; 1): c) Calcule el plano tangente para cada una de esas funciones en (0; 1)
- Calcule el vector gradiente de g(x; y) = x + y^1 =^2 en el punto (1; 4) y pruebe la siguiente aÖrmaciÛn: para valores suÖcientemente cercanos al punto (1; 4), se veriÖca la fÛrmula aproximada:
g(x; y) x +
y + 1
- La funciÛn de beneÖcios de una empresa es B(K; L) = 16K^1 =^4 L^1 =^4 4 K L donde K es la cantidad de capital y L la de trabajo. Actualmente (K 0 ; L 0 ) = (1; 16): a) Explique cu·l de las siguientes alternativas te parece m·s adecuada para aumentar el beneÖcio: i) Aumentar la cantidad de capital en una dÈcima. ii) Disminuir la cantidad de trabajo en una unidad iii) Aumentar la cantidad de capital en cinco centÈsimas y disminuir el trabajo en una unidad. b) Calcule el plano tangente a la gr·Öca de B(K; L) en el punto (K 0 ; L 0 ; B 0 ) = (1; 16 ; 12) y ˙selo para saber cu·l es aproximadamente el beneÖcio si K aumenta en media unidad y L se incrementa un 10%:
- La cantidad demandada de bien X 1 por un consumidor con renta m viene dada por
x = f (p 1 ; m) =
m 8 2 p 1
siendo p 1 el precio de dicho bien. Actualmente p 1 = 1 y m = 12: a) Determine el dominio natural de deÖniciÛn de la funciÛn de demanda f y represÈntelo gr·Öcamente. b) Calcule las elasticidades renta y precio de la demanda anterior. c) Si p 1 disminuye en un 2% y m aumenta en un 1%; øen quÈ porcentaje aproximado aumenta la cantidad demandada?
- Sea la funciÛn f (x; y) = x + ln y: a) Halle el dominio de deÖniciÛn de la funciÛn. Si f (x; y) representa la cantidad producida de cierto bien, øCu·l serÌa su dominio natural de deÖniciÛn?. b) Represente la curva de nivel que contiene al punto (3; 1): Represente el conjunto
(x; y) 2 R^2 : f (x; y) 3 : c) Calcule el plano tangente a z = f (x; y) por el punto (3; 1) y obtenga el valor aproximado de z si x disminuye en un 10% e y aumenta en dos dÈcimas.
- Cuando se producen x unidades del bien X e y unidades del bien Y se incurre en unos costes dados por la funciÛn C(x; y) = 10
p x^2 + 2y Actualmente (x 0 ; y 0 ) = (2; 6): a) Diga si es cierta la siguiente aÖrmaciÛn: "el coste aumenta al aumentar y y ese aumento es mayor cuanto mayor es y:" b) Diga cu·l es aproximadamente la variaciÛn porcentual en el coste si estando en (x 0 ; y 0 ) = (2; 6) ambas variables se incrementan un 8%: c) Dibuje la curva de isocoste que contiene al punto (2; 6): d) Suponga que cada unidad de X se vende a un precio p = 3ey cada unidad de Y se vende a un precio q = 2e. Dibuje la regiÛn que corresponde a los puntos (x; y) que permiten ingresar al menos 12 e con un coste inferior a 40 e.
- Considere la funciÛn de producciÛn q = 36K^1 =^3 L^2 =^3 ; donde K y L son respectivamente las cantidades em- pleadas de capital y trabajo para producir q unidades de bien. Actualmente, K 0 = 64 y L 0 = 27: a) Si se aÒaden 1 unidad de capital y 2 de trabajo, øen quÈ cuantÌa aproximada aumentar· la cantidad pro- ducida? b) Si se aumenta la cantidad empleada de capital un 2%, øen quÈ porcentaje aproximado deberÌa disminuir la cantidad empleada de trabajo para que la producciÛn permanezca constante? c) øPara quÈ combinaciones de incrementos marginales de capital y trabajo aumenta m·s la producciÛn?
- Sea la funciÛn z = F (x; y) = x + ln y: a) Halle la curva de nivel que contiene al punto (0; 1). Represente gr·Öcamente el conjunto
(x; y) 2 R^2 + : F (x; y) 0 : b) Calcule la recta tangente a la curva de nivel anterior en el punto (0; 1): c) Si nuestro propÛsito es aumentar z en la mayor cuantÌa posible, øquÈ serÌa m·s acertado, aumentar x en una dÈcima o y en una dÈcima? d) Si nuestro propÛsito es modiÖcar x e y variando z en la menor cuantÌa posible, øcÛmo deberÌamos modiÖcar x e y? øQuÈ relaciÛn existe entre este vector y la recta tangente calculada en el apartado (b)? e) JustiÖque la siguiente relaciÛn: F (x; y) ' x + y 1 ; para todo punto (x; y) cercano al punto (0; 1):
- La cantidad producida de bien Y viene dada por la funciÛn y = f (x 1 ; x 2 ) = 6x^11 = 3 x^12 = 2 , donde (x 1 ; x 2 ) son las cantidades empleadas de dos factores de producciÛn. Actualmente, se est·n empleando (x 1 ; x 2 ) = (1; 1) unidades de factores. a) Calcule las elasticidades parciales b) Si x 1 disminuye en un 3%, øcu·l es la variaciÛn aproximada que debe tener x 2 para que la cantidad producida no varÌe? c) øEn que proporciÛn deben aumentar x 1 y x 2 para que el aumento en la cantidad producida sea lo mayor posible? d) Sea ahora la funciÛn B(x 1 ; x 2 ) = f (x 1 ; x 2 ) 2 x 1 x 2 : øQuÈ debe satisfacer un punto (x 1 ; x 2 ) para poder ser un m·ximo de la funciÛn B(x 1 ; x 2 )? øPodrÌa ser el punto (1; 1) un m·ximo de B(x 1 ; x 2 )?
- Calcule la pendiente de las curvas deÖnidas por las siguientes expresiones en los puntos indicados
(i) xy ex 2 y^2 + 1 = 0 en el punto (x; y) = (0; 1) (ii) yx^2 + y^2 x = 6 en el punto (x; y) = (1; 2)
En ambos casos calcula la ecuaciÛn de la recta tangente a la curva en dicho punto.
- Suponga que la funciÛn f ( ; p) nos da la cantidad demandada de un bien, siendo p el precio del bien y un impuesto. Suponga que @f@p < 0 ; @f@ < 0 : Sea g(p); con g^0 (p) > 0 ; la funciÛn que nos da la cantidad ofertada de ese bien. En el equilibrio la oferta es igual a la demanda, es decir, f ( ; p) = g(p): Esta ecuaciÛn deÖne implÌcitamente al precio de equipibrio p como funciÛn del impuesto :øCÛmo varÌa p ante una variaciÛn marginal en ?
- Utilice polinomios de Taylor de grado 1 y 2 para calcular aproximadamente: (i) ln (1:05) ; (ii)
p 4 : 2 : Compare los valores obtenidos con los que proporciona la calculadora.
- Sea la funciÛn de producciÛn f (L; K) = K^1 =^2 L + K; donde L y K son las cantidades empleadas de trabajo y capital. Diga si son ciertas las siguientes aÖrmaciones: a) La productividad marginal del capital (@f =@K) es mayor cuanto mayor es el capital b) La funciÛn cuadr·tica que mejor aproxima a f (K; L) cerca del punto (K; L) = (4; 8) es
g(K; L) = 8 + 3K + 2L +
(K 4)(L 8)
(K 4)^2
c) Si estando en el punto (K; L) = (4; 8) la variable K se incrementa una cantidad pequeÒa K entonces para que, aproximadamente, la cantidad producida no varÌe, la variaciÛn en L debe cumplir L = 32 K:
- Halle el polinomio de Taylor de orden 1 y de orden dos para las siguientes funciones en los puntos indicados. a) f (x; y) = ln((x 1)(y 2)) + xy en (x 0 ; y 0 ) = (2; 3) b) f (x; y; z) = ln x^2 + e^2 y ^4 + xyz en (x 0 ; y 0 ; z 0 ) = (1; 2 ; 3)
- El gradiente de una funciÛn f (x; y) es rf (x; y) = (8xy^1 =^2 ; 2 x^2 y ^1 =^2 ): Se sabe que f (2; 4) = 3: Use un polinomio de Taylor de segundo orden para f en el punto (2; 4) para decir cu·l es aproximadamente el valor de f si y se incrementa en ocho dÈcimas.
- Sean las funciones F (x; y) = x^5 y^2 + 2x^3 y x; y G(x; y) = x^2 xy + x + ln y: a) Considere la curva F (x; y) = 2: i) øEs posible poner la curva anterior en la forma y = f (x) en un entorno del punto (1; 1)? En caso aÖrmativo, calcule f 0 (1): ii) øEs posible poner la curva anterior en la forma x = g(y) en un entorno del punto (1; 1)? En caso aÖrmativo, calcule g^0 (1): øEs g = f ^1? b) Considere la curva G(x; y) = 0: i) øEs posible poner la curva anterior en la forma y = f (x) en un entorno del punto (0; 1)? En caso aÖrmativo, calcule f 0 (1): ii) øExiste la funciÛn inversa de f en un entorno del punto (0; 1)? En caso aÖrmativo, calcule
f ^1
- Utilice polinomios de Taylor de grado 1 y 2 de una funciÛn de 2 variables para calcular aproximadamente
(a) 0 : 98 e^0 :^01 ; (b)
ln (0:97) 1 : 1
Compare los valores obtenidos con el que proporciona la calculadora.
- El polinomio de Taylor de segundo orden de una funciÛn de producciÛn F (L; K) en (L; K) = (1; 1) es T (L; K) = 6K + 12L + 12KL 3 K^2 3. a) Diga, justiÖcando su respuesta, si es cierta la siguiente aÖrmaciÛn en (L; K) = (1; 1): "la cantidad de producto aumenta al aumentar el capital K pero este aumento decrece en K": b) Halle el polinomio de Taylor de orden 1 para F (L; K) en (L; K) = (1; 1):
- El polinomio de Taylor de segundo orden de la funciÛn B(K; L); con derivadas parciales primeras y segundas continuas, en el punto (K 0 ; L 0 ) = (1; 4) es
t 2 (K; L) = 32L 4 L^2 62
(K 1)^2
Halle B(1; 4); rB(1; 4) y HB(1; 4): øPuede ser (1,4) un m·ximo de la funciÛn B(K; L)?
- Sean las funciones
(a) f (x) = 4 exp(2 2 x) 2 x^3 ; (b) f (x) = 2 ln (2x 1) :
i) Demuestre que existe f ^1 : øPodrÌa obtener f ^1 de manera explÌcita? ii) Compruebe que f (1) = 2: Sea g = f ^1 : Calcule g(2) y g^0 (2):
variables x 1 ; x 2 ; p 1 y p 2 : b) Calcule el gradiente de x 1 (p 1 ; p 2 ) y x 2 (p 1 ; p 2 ) y las derivadas p^01 (t) y p^02 (t): b) Diga, usando la regla de la cadena, si el precio p 1 aumenta o disminuye cuando el tiempo avanza. c) Diga, usando la regla de la cadena, si aumenta o disminuye el bienestar del consumidor a medida que el tiempo avanza.
- Sea la funciÛn y = F (a; p; x; q) = ap qx: Se sabe que x = f (a) donde f es una funciÛn diferenciable y que a = g(p; q) donde g tiene derivadas parciales primeras continuas. a) Construya el esquema de dependencias que proporciona la variable y como funciÛn de (p; q): Calcule el gradiente de esta funciÛn compuesta. b) Suponga que g(p; q) = (^) q^30 +1p y que f es una funciÛn creciente en a: Si p = 3 y q = 2; øquÈ condiciÛn debe satisfacer la funciÛn f para que y sea creciente en p?
- Sea la funciÛn
x = f (p; q; m) =
m 2 q + p 2 p
Se sabe que q = g(p; w): Actualmente p = 2; q = 1; w = 5 y m = 80: Adem·s, rg(2; 5) = (1; 2): Calcule la variaciÛn aproximada en la variable x si p aumenta en un 2% y w disminuye en dos dÈcimas.
- Cuando se producen x unidades del bien X y se venden a un precio p empleando L trabajadores a los que se les paga un salario w; el beneÖco obtenido es px wL. Se sabe que p = 9w x= 4 y w =
3 L^1 =^2 + 4
Adem·s, la cantidad x producida viene dada por la funciÛn x = f (L) = 2L^2 : Actualmente la empresa tiene empleados a L 0 = 4 trabajadores. a) Calcule el salario pagado, la cantidad producida de bien, el precio de venta y el beneÖcio obtenido por la empresa anterior. b) Si la empresa decidiese contratar un trabajador adicional, calcule aproximadamente: (i) El efecto en el salario pagado. (ii) El efecto en la cantidad producida. (iii) El efecto en el precio de venta. (iv) El efecto en los beneÖcios.
- Sea z = f (u; w) donde u = g(x; y); w = h(y) y las funciones f; g tienen derivadas parciales primeras continuas, y h tiene derivada primera continua. a) Represente el esquema de dependencias entre las variables para proporcionar z como funciÛn de las variables (x; y): Use la regla de la cadena para expresar las derivadas parciales de la funciÛn compuesta z = F (x; y) a partir de las derivadas parciales de las funciones f y g y de la derivada de la funciÛn h: b) Suponga que x = 1; y = 2; h(2) = 4; g(1; 2) = 3; h^0 (2) = 2; rg(1; 2) = ( 12 ; 1); y f (u; w) = w+ln(4 w u u): Si x e y aumentan en un 8%; øcu·l ser· el valor aproximado de z?
- Sea la funciÛn B 1 = f (p; Q 1 ): Se sabe que p = g(Q 1 ; Q 2 ) donde Q 2 = h(Q 1 ): Todas las funciones involucradas son diferenciables. a) Use la regla de la cadena para calcular @B @p^1 y (^) @Q@p 1 : b) Calcule @B @p^1 en el punto Q 1 = 8 si
B 1 (p; Q 1 ) = (p 3)Q 1 ; p = 27 2 Q 1 2 Q 2 ; Q 2 =
12 Q 1
- Cuando se producen y unidades de bien Y; los beneÖcios de una empresa vienen dados por la funciÛn
(p; w; r; y) = py c;
donde p es el precio del bien Y y c = g(w; r; y) representa el coste de producir y unidades de bien cuando los precios de los dos factores empleados son w y r: Se sabe que
g(w; r; y) =
wr 4(w + r)
y^2 e y =
2 p(w + r) wr
Actualmente w = 1; r = 1 y p = 2: Si los precios w y r aumentan un 2%, calcule aproximadamente: a) La variaciÛn en la cantidad producida.
b) La variaciÛn en el coste. c) La variaciÛn en los beneÖcios. d) La cuantÌa en la deberÌa variar el precio p para que el beneÖcio permanezca constante. e) El porcentaje en que deberÌa aumentar el precio p para que no varÌe la cantidad producida.
- Sea f (x; y) una funciÛn homogÈnea de la que se sabe que f (1; 2) = 3; rf (1; 2) = ( 5 ; 1) y Hf (1; 2) = 14 2 2 0
a) Halle el grado de homogeneidad. b) Halle el polinomio de Taylor de orden 2 para f en el punto (2; 4)
- Sea f (x; y) una funciÛn con derivadas parciales continuas y homogÈnea. Estudie si sus elasticidades parciales son funciones homogÈneas.
- Sean las funciones
f 1 (K; L) = (4K + L)^1 =^2 ; f 2 (K; L) = K^3 =^4 L^5 =^4 ; f 3 (K; L) = KL + K^2 :
Encuentre entre estas funciones una que satisfaga simult·neamente las dos condiciones siguientes:
(i) K (^) @K@f + L @f@L = 2f (K; L) (ii) Su elasticidad parcial respecto de L no es constante
- Si f es una funciÛn homogÈnea de grado cero entonces
f (x; y) = f (x 1 ; x
y x
) = x^0 f (1;
y x
) = f (1;
y x
) = g(s)
donde s = yx y g(s) = f (1; s): a) Diga si las siguientes funciones son homogÈneas. Para las que sean homogÈneas de grado cero exprÈselas como una funciÛn de una ˙nica variable g(s):
a) f (x; y) = x^2 y(x + y)
; b) f (x; y) = x^3 y(x + y)
- 1; c) f (x; y) = ln( x x + y
b) Diga cu·les de las funciones anteriores no son homogÈneas pero son homotÈticas.
- Diga cu·les de las funciones que siguen son homotÈticas, y de Èstas, cu·les son homogÈneas:
a) f (x; y) = 4 ln(x^2 y); b) f (x; y) =
xex=y x^2 + y^2
; c) f (x; y) =
s x^2 x + y
- Sea f (x; y) una funciÛn homogÈnea con derivadas parciales continuas que cumple rf (3; 1) = (2; 3): a) Halle la ecuaciÛn de la recta tangente a la curva de nivel de f que pasa por el punto ( 32 ; 12 ) en el punto ( 32 ; 12 ): b) Suponga que el grado de homogenidad de f es distinto de cero. øEs homogÈnea la funciÛn g(x; y) = 2 ln(f (x; y)) + 1?øEs homotÈtica?
- Sea f (x; y) una funciÛn con derivadas parciales primeras y segundas continuas que cumple
x @f @x
(x; y) + y @f @y
(x; y) =
f (x; y)
en cualquier punto (x; y): Se sabe que f (3; 9) = 5 y que @f@x (12; 36) = 14 : Suponga que est· en el punto (x 0 ; y 0 ) = (3; 9) y que la variable y se incrementa dos centÈsimas. Diga cu·l deberÌa ser x para que la funciÛn aumentara lo m·ximo posible.
TEMA 4
C¡LCULO INTEGRAL
- Exprese mediante integrales el ·rea del recinto seÒalado en el gr·Öco de la izquierda y seÒale en el gr·Öco de la derecha el ·rea que corresponde a
R 1
0 h(x)dx^ +^
R 2
1 g(x)dx
- Calcule las siguientes integrales inmediatas
a)
R
(x + (^) x^32 (^) x^23 )dx f )
R (^) cos x 1+sen^2 x dx^ k)^
R (^) exdx 1+ex
b)
R
p 7 x + e^4 x^ + e x=^2 )dx g)
R
sin x(cos x + 1)^1 =^3 dx l)
R
x^2 (3x^3 + 1)^4 dx
c)
R
(2x^ + e x)dx h)
R (^) sin(x)dx 1+cos^2 x m)^
R
x(e^2 x
2
d)
R
(2^2 x^ + e ^3 x)dx i)
R (^7) dx p 1 4 x^2 n)^
R
e^2 x
p e^2 x^ + 1dx
e)
R
( (^) x^1 +1 + 7 cos(2x)
p 3 x + 1)dx j)
R 3
x ln(x)dx^ o)^
R (^) x 2 1+x^3 dx
- Calcule las primitivas de las siguientes funciones.
a) f (x) = x
(^2) + x^3 +x ;^ b)^ f^ (x) =^
p 4 x; c) f (x) = x(x + 2)(x 3);
d) f (x) = 2 + (^) (3x+1)^13 ; e) f (x) = xe
x^2 p ex^2 +
; f) f (x) = (
p x + 1) 2 ;
g) f (x) = (^) xLn^2 (x) ; h) f (x) = 2ex^ e x; i) f (x) = x
p x sin(1 + 3x);
- Calcule el ·rea del recinto seÒalado en gris.
- A partir del dia t = 0 un individuo pierde capital a un ritmo de 1000 euros diarios durante 10 dÌas y lo gana a un ritmo de 200(t 10) euros diarios a partir del dÈcimo dÌa. a) Estudie la continuidad de la funciÛn K^0 (t) que da el ritmo de variaciÛn del capital. b) Si el capital inicial era K 0 = 20000 euros, obtenga la funciÛn K(t) que da el capital del individuo el dÌa t: Represente gr·Öcamente K(t) y estudie los intervalos de crecimiento. c) øLlegar· a superar el capital del individuo el nivel inicial de K 0 = 20000 euros? øEn quÈ instante?
- El ritmo de variaciÛn de la prima de riesgo de EspaÒa en los ˙ltimos 30 dÌas ha sido
r (t) =
(^) (t+1)^162 0 t 15 3 15 < t 30 La prima de riesgo en t = 0 fue de 345 puntos. a) Obtenga la funciÛn R(t) que da el valor de la prima de riesgo el dÌa t. øEs continua?. øEs derivable? Represente gr·Öcamente R(t) y estudie los intervalos de crecimiento. b) øLlegÛ a superar la prima de riesgo el nivel inicial de R 0 = 345 puntos? øEn quÈ instante?
- El ritmo de variaciÛn del precio de un determinado bien viene dado por la funciÛn de la Ögura
a) Diga, justiÖcando su respuesta, en quÈ intervalos el precio est· bajando. b) SeÒale en el gr·Öco anterior el recinto cuya ·rea corresponde a la variaciÛn exacta que experimenta el precio entre t=0 y t= c) SeÒale en el gr·Öco anterior un recinto cuya ·rea corresponda a la variaciÛn aproximada que experimenta el precio entre t=0 y t=1.
- La ÖnanciaciÛn de la comunidad autÛnoma a las universidades p˙blicas el pasado aÒo (0 t 1) fue en cada instante t de f 1 (t) = 1440 720
p t millones de euros al aÒo. Debido a la crisis econÛmica para el prÛximo aÒo (1 < t 2) la ÖnanciaciÛn se reducir· un 25%; es decir, vendr· dada por f 2 (t) = 1080 540
p (t 1) millones de euros al aÒo. a) Halle cu·l ha sido la cantidad total aportada por la comunidad durante el primer aÒo. b) Compruebe que la cantidad aportada en el primer trimestre (t = 1=4) es de 300 millones de euros. c) Calcule cu·l es la ÖnanciaciÛn media (en millones de euros al aÒo) durante los dos primeros aÒos. d) øEs la funciÛn que da la cantidad total aportada hasta el instante t una funciÛn continua en t 2 [0; 2]?øEs derivable? e) Halle la cantidad total aportada hasta el instante t para cualquier t 2 [0; 2]:
- El ritmo de variaciÛn del precio (en euros) de cada acciÛn de cierta compaÒÌa en los ˙ltimos 12 meses ha sido
p^0 (t) =
2 23 t 0 t 6 t 10 2 6 < t^ ^12
El precio inicial de las acciones era p(0) = 10: a) Represente gr·Öcamente la funciÛn p^0 (t) e indique en quÈ intervalos de tiempo el precio ha estado aumen- tando. b) øCu·l ha sido la variaciÛn del precio de las acciones en el primer semestre del aÒo? øEn quÈ momento cree
que el precio de las acciones ha estado m·s bajo? IndicaciÛn: puede usar argumentos gr·Öcos si lo considera conveniente. c) Halle el precio de las acciones en cualquier instante t 2 [0; 12]:øCu·l es el precio de las acciones en t = 8?
- La funciÛn de costes marginales de una empresa viene dada por
CM g(x) =
p^15 1+x si^0 < x^ ^8 14 x + 7 si 8 x 16 3 si x > 16
donde x es la cantidad producida. Se sabe que el coste de producir 12 unidades es de 90 unidades monetarias. a) Dibuje CM g(x): øEs CM g(x) una funciÛn continua? b) Suponga que actualmente se est·n produciendo x = 3 unidades. Calcule la variaciÛn aproximada del coste si se porduce una unidad adicional. SeÒale en el gr·Öco hecho en (a) el recinto cuya ·rea correponde a ese valor aproximado. SeÒale tambiÈn el ·rea del recinto que proporciona el valor exacto. øCu·l es este valor exacto? c) Calcule cu·l es el coste de producir 22 unidades. d) Calcule la funciÛn de coste C(x); es decir, lo que costar· producir x unidades de bien. e) øEs la funciÛn de coste C(x) continua? øEs derivable?
- El valor actual descontado de un áujo monetario de f (t) unidades monetarias que se recibir·n durante el periodo [0; T ] si la tasa de interÈs es r viene dado por
R T
0 f^ (t)e
rtdt: Calcule el valor actual descontado de f (t) si: a) f (t) = 2000; t 2 [0; 15]; r = 0: 05 : b) f (t) = t; t 2 [0; 10]; r = 0: 1 :
- Calcule F 0 (x) para las funciones que aparecen a continuaciÛn
a) F (x) =
R (^) x (^2) +x 0 (u^ + 1)
(^2) du; b) F (x) = R^3 x (u^ + 2)
(^2) du; c) F (x) = 4 R^2 x x^2 y
(^3) dy
- Sea F (x; y) = x + y^2 +
R (^) x^2 + 1
ex ^1 x+1 dx:^ Halle el plano tangente a la gr·Öca de^ F^ (x; y)^ en el punto^ (0;^ 2):
- Calcule las siguientes integrales haciendo el cambio de variable que se indica.
a)
R (^) dx 2+px con el cambio^ y^ = 2 +^
p x: b)
R (^) dx 2+px con el cambio^ y^ =^
p x: c)
R
x(x + 1)^1 =^3 dx con el cambio z = x + 1: d)
R (^) dx px p (^3) x con el cambio x = t^6 :
e)
R 4
0
e^2 ^ x 2 3+e^2 ^ x^2 dx utilizando el cambio t = 2 + e^2 ^ x 2 :
- Sea la funciÛn
f (x) =
1 + x; si 2 x 0 ; 1 ; si 0 < x < 1 ; 4 x; si 1 x 10 :
i) Halle la funciÛn F (t) =
R (^) t 2 f^ (x)dx; t^2 [ ^2 ;^ 10]^ : ii) øEs la funciÛn F (t) continua en el intervalo ( 2 ; 10)? øEs derivable? iii) Calcule, si existiesen, F (1); F (10); F 0 (0); F 0 (1) y F 0 (8):
- Resuelva mediante integraciÛn por partes las siguientes integrales.
a)
R 2
1 3 x
3 = (^2) ln xdx; b) R^3 0 x^ ln (x^ + 1)^ dx;^ c)^
R 1
0 3 xe
2 xdx; d) R^ x (^5) ex^2 dx
- El áujo de beneÖcios, en millones de euros al aÒo, de una empresa fue en cada instante t el dado por la funciÛn
b(t) =
(^) p 30 t t+1 ;^0 < t^ ^8 80 e^4 t=^2 ; t > 8
