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COAR - JUNÍN
MATEMÁTICA – 4to
“Año del Bicentenario del Perú: 200 años de Independencia”
UNIDAD DIDÁCTICA N° IV
DISEÑO METODOLÓGICO PARA EL APRENDIZAJE N° 15
“APLICAMOS FUNCIONES, ECUACIONES E INECUACIONES CUADRÁTICAS EN NUESTRA VIDA DIARIA”
1.NOS CONTACTAMOS Y ASUMIMOS LOS RETOS
Buenos días estimados estudiantes, en la presente semana desarrollaremos el DMPA N°
- En la que afianzaremos tus conocimientos de funciones, ecuaciones e inecuaciones de
segundo grado y sus diferentes aplicaciones en la vida diaria.
Actividad 01: Observamos y analizamos.
Produce destinará S/.146 millones para adquisiciones en el
sector de cuero y calzado
Para dar impulso a la reactivación del rubro de cuero y calzado nacional, el Ministerio de la
Producción (Produce) anunció que la estrategia compras a MYPErú destinará S/.
millones con tasas bajas para adquisiciones en esta industria en las distintas
convocatorias que serán lanzadas hasta julio de este año.
“Estamos priorizando
este sector y de los
casi S/.900 millones
totales que se tienen
de presupuesto para
compras a mypes,
S/.146 millones irán a
micro y pequeños
empresarios de cuero
y calzado”, afirmó el
ministro José Luis
Chicoma, tras
supervisar las
labores del CITEccal
Trujillo, en la región La Libertad.
Indicó que la estrategia Compras a MYPErú atiende la demanda de bienes de
metalmecánica, textil-confecciones, madera y cuero y calzado de los ministerios
nacionales.
Recuperado de: https://peru21.pe/economia/mypes-produce-destinara-s-146-millones-para-adquisiciones-en-
el-sector-de-cuero-y-calzado-compras-a-myperu-nndc-noticia-noticia/?ref=p21r
- ¿De qué manera está apoyando el estado a las PYMES?, ¿Qué estrategias
económicas se podrían complementar para apoyar a este sector?
- ¿Qué sectores productivos son los que han sido más afectados en tu región a raíz
de la pandemia?
Recuperado de: http://www.laindustria.pe/nota/17735-defensora-del-pueblo-
solicita-incluir-a-mypes-de-trujillo-en-compras-de-calzado-para-la-polica
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MATEMÁTICA – 4to
- ¿Qué importancia tienen las PYMES en la reactivación económica de nuestro país?
Actividad 02: Presentación y recolección de saberes previos.
Laura pertenece a la asociación
nacional de productores de
calzado del Perú. Su empresa se
llama “Calzados Perú SA” y es
proveedora del Ministerio del
Interior , para la adquisición de
calzado, botas y correas
destinado a la Policía Nacional
del Perú, a través de las
compras que realiza por
el Programa MyPerú del Fondo
de Cooperación para el
Desarrollo Social (Foncodes). El
costo de producción mensual en
soles, para producir “x” pares de
zapatos se puede modelizar con
C (x)
= 0,4x
2
+ 1500. El ingreso
mensual, en soles, por vender “x” pares de zapatos se puede modelizar con I (x)
= -0,6x
2
+160x.
a) ¿Cuál será la función que modela la ganancia G (x)
de la empresa “Calzados Perú SA”?
…………………………………………………………………………………………………………..
b) ¿Cuál es la ganancia de la empresa si se produce y vende 6 pares de zapatos?
c) ¿Cuándo la ganancia de la empresa es nula? ¿Indicar el número de pares de
zapatos que se producen?
d) ¿En qué casos la empresa tiene déficit?
e) ¿Cómo se puede calcular la máxima ganancia mensual que puede tener la
empresa?
TdC: ¿En qué medida el modelamiento de una función determina la toma de decisiones de
una empresa, justifica tu respuesta?
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
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Nota: la ecuación del eje de simetría es x = 3
Ejemplo 2:
a) Escriba la función f ( x )= 2 x
2
en la
forma f ( x )= a ( x − h )
2
b) Dibuje aproximadamente el gráfico de la
función, y rotule el vértice y la intersección con
el eje y (ordenada al origen).
Resolución:
a)
f ( X )= 2 x
2
enunciado
f ( X )= 2 ¿ ¿
Factorice 2
de
2 x
2
f ( x )= 2 ( x ¿ ¿ 2 + 4 x + 4 )+( 11 − 8 ) ¿
Completando
cuadrados
para
x
2
f ( x )= 2 ( x + 2 )
2
Ecuación
equivalente
b)
Nota: la ecuación del eje de simetría es
x =− 2
Funciones cuadráticas de la forma
factorizada:
El gráfico corta al eje x en ( p , 0 ) y en ( q , 0 ).
El eje de simetría tendrá ecuación
x =
p + q
Nota: Las intersecciones con el eje
x de una
función cuadrática y = f ( x )
nos dan raíces de la
ecuación cuadrática a en la forma f ( x )= 0
Ejemplo 1:
Escriba la función
f
x
= x
2
en la forma
f ( x )=( x − p )( x − q )
Dibuje aproximadamente el gráfico de la función,
y rotule las intersecciones con el eje x y eje y.
Resolución:
f
x
= x
2
f ( x )=( x + 5 )( x − 2 )
Nota: La ecuación del eje de simetría es
x =
Ejemplo 2:
Escriba la función
y = 2 x
2
− x − 3
en la forma
y = a ( x − p ) ( x − q ).
Después, dibuje aproximadamente el gráfico de la
función, y rotule las intersecciones con el eje x y
eje y.
Resolución:
y = 2 x
2
− x − 3
y =( 2 x − 3 )( x + 1 )
y = 2 ( x −1,5)( x + 1 )
y = a ( x − p )¿)
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MATEMÁTICA – 4to
Nota: La ecuación del eje de simetría es
x =
Ejemplo 3:
Usando la información provista por el gráfico,
escriba la fórmula de la función cuadrática.
Escriba la respuesta final en la forma polinómica,
y = ax
2
.
Resolución:
y = a ( x + 2 )( x − 4 )
− 16 = a ( 0 + 2 )( 0 − 4 )
− 8 a =− 16
a = 2
y = 2 ( x + 2 )( x − 4 )
y = 2 x
2
− 4 x − 16
Como le dan las
intersecciones con el eje
x, comience con la
función en forma
factorizada. Sabe que
y =− 16 cuando
x = 0_. Reemplace estos_
valores en la ecuación
para resolver en a.
Ejemplo 4:
Escriba la fórmula de la función cuadrática que se
muestra en el gráfico.
Escriba su respuesta final en forma polinómica,
y = ax
2
.
Resolución:
y = a ( x − 6 )
2
− 15 = a ( 0 − 6 )
2
36 a + 3 =− 15
36 a =− 18
a =
y =
( x − 6 )
2
y =
x
2
Dado que se conoce el
vértice, comience por
escribir la función en
la forma canónica.
Sabe que y =− 15
cuando x = 0
.
Reemplace estos
valores en la ecuación
para resolver en a.
Aplicaciones de las funciones cuadráticas.
Aplicación 1:
La altura que alcanza una pelota t segundos
después de ser lanzada se modeliza mediante la
función h ( t )= 24 t −4,9 t
2
donde h es la
altura de la pelota en metros.
a) Halle la altura máxima alcanzada por la pelota.
b) ¿Durante cuánto tiempo la altura de la pelota
superará los 20 m?
a)
La altura máxima es 30,4 m
Dibuje el gráfico de la
función
y = 24 x −4,9 x
2
donde y es la altura
de la pelota y x
es el
tiempo en segundos.
El vértice está
aproximadamente en
el punto (2,45; 30,4).
Esto muestra que la
altura máxima ocurre
cuando la pelota ha
permanecido en el
aire por 2,
segundos.
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c) La fórmula cuadrática
Este procedimiento nos da una fórmula muy
útil que puede utilizarse para resolver
cualquier ecuación cuadrática.
Para cualquier ecuación de la
formula a x
2
donde a ≠ 0 ,
X ¿
− b ± √
b
2
− 4 ac
2 a
Ejemplo 1:
Resuelva esta ecuación usando la
formula cuadrática.
x
2
Resolución:
x
2
x =
√
2
x =
− 4 ± 2 √ 10
√
x =− 2 +√ 10 ∨ x =− 2 −√ 10
x =1,16 ∨ x =−5,
Estas son las raíces o soluciones.
d) Raíces de ecuaciones cuadráticas
Ahora observemos nuevamente la fórmula
cuadrática usada para resolver ecuaciones de
la forma ax
2
donde a, b y c son
constantes.
x =
− b ± √
b
2
− 4 ac
2 a
Esta fórmula nos proporcionara las raíces de una
ecuación cuadrática. Una parte de la fórmula
cuadrática, el discriminante, nos informara acerca
de la naturaleza de las raíces de la ecuación,
incluso, sin darnos la solución. El discriminante es
la parte de la formula cuadrática que figura bajo el
signo del radical (raíz cuadrada), △ = b
2
− 4 ac
.
Usualmente usamos el símbolo △ para
representar el discriminante.
⇒ Para una ecuación cuadrática
a x
2
donde a ≠ 0
,
si △ = b
2
− 4 ac > 0
, la ecuación tendrá dos
raíces reales distintas.
Las raíces reales se pueden interpretar
geométricamente.
si
△ = b
2
− 4 ac = 0
,la ecuación tendrá dos
raíces reales iguales.
Las raíces reales se pueden interpretar
geométricamente
Elaboración propia en GeoGebra
Usar la formula cuadrática con: a = 1, b
= 4 y c = 6
x =
− b ± √
b
2
− 4 ac
2 a
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Las raíces reales se pueden interpretar
geométricamente.
si
△ = b
2
− 4 ac < 0
,la ecuación no tendrá
raíces reales.
Las raíces reales se pueden interpretar
geométricamente.
Ejemplo 1:
Use el discriminante para determinar la
naturaleza de las raíces de la ecuación.
9 x
2
Resolución:
9 x
2
2
La ecuación tendrá dos raíces iguales
Propiedades de las raíces de una ecuación
cuadrática.
En la ecuación
x
2
donde a ≠ 0
de
raíces
x
1
y x
2
, se cumple que:
Ejemplo 1:
De una plancha metálica de 1200 cm
2
se cortan
dos piezas cuadradas, una de ellas con 5 cm más
de lado que la otra. Si lo que sobra mide 83 cm
2
,
¿cuánto miden los lados de las piezas cuadradas
cortadas?
Resolución:
x
2
+( x + 5 )
2
2 x
2
x
2
( x − 21 )( x + 26 )= 0
x = 21 ∨ x =− 26
no cumple
Por lo tanto, los lados miden 21 cm y 26cm.
Las raíces reales se pueden interpretar
geométricamente
Las raíces reales se pueden
interpretar geométricamente
Elaboración propia en GeoGebra
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MATEMÁTICA – 4to
El costo de producción mensual en soles, para
producir “x” pares de zapatos se puede modelizar
con C(x) = 0,4x
2
soles, por vender “x” pares de zapatos se puede
modelizar con I(x)= -0,6x
2
+160x.
a) Hallar la función ganancia.
b) Calcular el número de pares de zapatos que
hay que producir para obtener la máxima
ganancia mensual de la empresa.
c) Hallar los interceptos con los ejes x e y
d) Para que valores de x la ganancia es positiva.
Situación 02:
Escriba cada función en la forma:
f
x
= a ( x − h )
2
. Luego dibuje
aproximadamente el grafico de la función y rotule
el vértice y la intersección con el eje y (ordenada
al origen).
a) f ( x )= x
2
b) f
x
= 3 x
2
− 6 x + 7
Situación 03:
Prueba 1 -s 13 de mayo de 2019 (tarde)
Situación 04:
Una escalera está inclinada sobre una pared
tal como se muestra en el gráfico.
Calcule la longitud total de la escalera
.
4. TRANSFERIMOS Y NOS AUTOEVALUAMOS
Actividad 8: Concreción de la evidencia. Demuestra todo lo aprendido resolviendo las actividades
propuestas a continuación, adjúntalas como evidencias de tu portafolio virtual.
Practicamos con Khan academy
https://es.khanacademy.org/math/algebra-ii-pe-pre-u/xcb2d1a1723269f75:funcion-cuadratica-y-
parabolas
Problema 01.
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Prueba 1 Martes 12 de mayo de 2015 (mañana)
Problema 02.
[Puntuación máxima: 2]
Se lanza una piedra al aire tal que su altura queda determinada por la función 𝑓(𝑡)=−5𝑡
2
+50𝑡, donde 𝑡 es el
tiempo en segundos y 𝑓(𝑡) es la altura en metros. Halle el tiempo en el que la piedra alcanza su máxima
altura y cuál es dicha altura.
Problema 03.
[Puntuación máxima: 3]
Determinación de niveles terapéuticos mínimos.
Para que un medicamento tenga un efecto benéfico, su concentración en el torrente sanguíneo debe
exceder de cierto valor, que se denomina nivel terapéutico mínimo. Suponga que la concentración c (en
mg/L) de un medicamento particular t horas después de tomarlo oralmente está dada por:
c =
20 t
t
2
Si el nivel terapéutico mínimo es 4 mg/L, determine cuándo este nivel se rebasa.
Evaluación de la evidencia.
El estudiante evalúa su evidencia con los criterios del instrumento diseñado y se espera que mejore
cualitativamente los aspectos de los que se hace consciente de sus falencias.
CRITERIO 4 3 2 1
