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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
La estadística descriptiva en su función básica de reducir datos, propone una serie de indicadores que permiten tener una percepción rápida de lo que ocurre en un fenómeno.
La primera gama de indicadores corresponde a las “Medidas de Tendencia Central”. Existen varios procedimientos para expresar matemáticamente las medidas de tendencia central, de los cuales, los más conocidos son: la media aritmética, la moda y la mediana.
CAPITULO
CAPITULO 4: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Medidas de tendencia central: Son indicadores estadísticos que muestran hacia que valor (o valores) se agrupan los datos.
Esta primera parte la dedicaremos a analizar tres medidas de tendencia central:
- La media aritmética
- La moda
- La mediana
En el suplemento de este capitulo incluiremos otras medidas de tendencia central.
4.1 LA MEDIA ARITMÉTICA
Equivale al cálculo del promedio simple de un conjunto de datos. Para diferenciar datos muestrales de datos poblacionales, la media aritmética se representa con un símbolo para cada uno de ellos: si trabajamos con la población, este indicador será μ; en el caso de que estemos trabajando con una muestra, el símbolo será
X.
Media aritmética (μ o X ): Es el valor resultante que se obtiene al dividir la sumatoria de un conjunto de datos sobre el número total de datos. Solo es aplicable para el tratamiento de datos cuantitativos.
Hay que entender que existen dos formas distintas de trabajar con los datos tanto poblacionales como muestrales: sin agruparlos o agrupándolos en tablas de frecuencias. Esta apreciación nos sugiere dos formas de representar la media aritmética.
4.1.1 Media aritmética para datos no agrupados
Podemos diferenciar la fórmula del promedio simple para datos poblaciones y muestrales:
N
X
N
i
∑ i
= 1 μ
Población
n
X
X
n
i
∑ i
1
Muestra
La sumatoria parte desde el primer intervalo de clase (i = 1) hasta el último (Nc), siendo Xi la clase del intervalo i.
Cuando los datos se agrupan en tablas de frecuencias tipo B, el cálculo de la media varía un poco, ya que existe una pérdida de información en el momento en que se trabaja con intervalos de frecuencia y no con los datos directamente (los datos se agrupan por intervalo, desconociendo el valor exacto de cada uno de ellos).
Las marcas de clases (Mc) cumple la función de representar los intervalos de clase.
4.1.4 Ejemplo: media aritmética para datos agrupados en tablas tipo A
La siguiente tabla de frecuencia muestra el número de preguntas de 81 encuestados sobre un Test que consta de solo seis preguntas.
Preguntas Buenas Personas 1 15 2 13 3 8 4 19 5 21 6 5 SOLUCIÓN
N
Mc f
Nc
i
∑ i i
= 1 μ
Población
n
Mc f
X
Nc
i
∑ i i
1
Muestra
PASO 1 : Realizar la sumatoria del producto resultante de las clases por su
frecuencia absoluta. Para efectos del cálculo de la media, deberíamos sumar 15 veces el valor 1, 13 veces el valor 2, 8 veces el valor 3, hasta llegar a la última clase:
1 15 2 13 3 8 4 19 5 21 6 5 276 1
∑ = + + + + +^ =
X f x x x x x x
Nc
i
i i
PASO 2 : Dividir la sumatoria sobre el número total de datos.
81
1 276 = =
∑
n
X f X
Nc
i
i i
X = 3 , 41
En promedio los encuestados contestaron aproximadamente 3 (el valor exacto es 3,41) preguntas buenas.
4.1.5 Ejemplo: media aritmética para datos agrupados en tablas tipo B
Calcular la media para los datos distribuidos en la siguiente tabla de frecuencia:
Ni Lm Ls f Mc 1 40,0 48,1 3 44, 2 48,1 56,1 8 52, 3 56,1 64,1 11 60, 4 64,1 72,1 32 68, 5 72,1 80,1 21 76, 6 80,1 88,1 18 84, 7 88,1 96,1 14 92, 8 96,1 104,0 1 100,
SOLUCIÓN
Las marcas de clase representan a los intervalos de clase, por ejemplo, suponemos que la marca de clase para el primer intervalo (44,1) se repite 3 veces, al desconocer los 3 valores exactos que están dentro de dicho intervalo.
PASO 1 : Realizar la sumatoria del producto resultante entre las marcas de
clase por su frecuencia absoluta.
Ni Lm Ls f Mc (^1) 11,00 17,41 8 14, (^2) 17,41 23,81 6 20, (^3) 23,81 30,21 2 27, (^4) 30,21 36,61 5 33, (^5) 36,61 43,01 4 39, (^6) 43,01 49,40 5 46, Total 30
PASO 1 : Realizar la sumatoria del producto resultante entre las marcas de
clase por su frecuencia absoluta.
1
∑ = + + + + +^ =
=
Mcf x x x x x x
Nc
i
i i
PASO 2 : Dividir la sumatoria sobre el número total de datos.
1 848 ,^70
∑
n
Mc f
X
Nc
i
i i
X = 28 , 29
Podemos ver claramente una diferencia entre ambas medias: 27,74 para los datos no agrupados y 28,29 para los datos agrupados. Esta diferencia radica que en la tabla tipo B existe una perdida de información, al agrupar los datos en los intervalos de clase. El valor de la media exacta es el calculado para los datos no agrupados, pero dada la proximidad de la media para los datos agrupados, se tomar esta última como cierta.
4.1.7 Cálculo de la media aritmética en Excel
Excel presenta la función PROMEDIO para el cálculo de la media aritmética:
PROMEDIO: Permite calcular la media aritmética (o promedio simple) de un conjunto de datos.
Formato: PROMEDIO(número1;número2;…) Categoría: Estadísticas
En una hoja nueva, copie los siguientes datos a partir de la celda B2:
Ubiquémonos en la celda B9 y activemos la venta de funciones, seleccionando la función PROMEDIO :
En la primera casilla (número 1), seleccionamos el conjunto de datos:
Recordemos que el primer paso es calcular la sumatoria del producto entre clase y frecuencia, empleando la siguiente función:
SUMAPRODUCTO: Calcula la suma de los productos entre datos.
Formato: SUMAPRODUCTO(matriz1;matriz2;matriz3;…) Categoría: Matemáticas y trigonométricas
Activemos esta función desde la celda B11, considerando al campo matriz 1 como las clases y matriz 2 como las frecuencias.
Al pulsar en Aceptar, tendremos el valor de la sumatoria.
=SUMAPRODUCTO(B 3 :B8;C3:C8)
Necesitamos ahora dividir el resultado de la sumatoria sobre los 116 datos incluidos en el ejercicio. Modifiquemos la fórmula actual y agreguemos:
Donde C9 es la celda que muestra el total de los datos. El resultado final es 3,6637931.
4.1.8 Ventajas
- Es la medida de tendencia central más usada.
- El promedio es estable en el muestreo.
- Es sensible a cualquier cambio en los datos (puede ser usado como un detector de variaciones en los datos).
- Se emplea a menudo en cálculos estadísticos posteriores.
- Presenta rigor matemático.
- En la gráfica de frecuencia representa el centro de gravedad.
4.1.9 Desventajas
- Es sensible a los valores extremos.
- No es recomendable emplearla en distribuciones muy asimétricas.
- Si se emplean variables discretas o cuasi-cualitativas, la media aritmética puede no pertenecer al conjunto de valores de la variable.
4.2.2 Ejemplo: mediana para datos no agrupados (cantidad de datos
par)
Modifiquemos el ejemplo anterior, eliminando el último dato. Encontrar la mediana:
4 1 2 3 4 2 2 1 5 5
SOLUCIÓN
PASO 1 : Ordenar los datos.
PASO 2 : Localizar el valor que divide en dos parte iguales el número de datos.
El punto medio se encuentra entre dos valores: 2 y 3, por tanto, el valor de la mediana será 2,5.
Me= 2 , 5
4.2.3 Ejemplo: mediana para datos agrupados en tablas tipo A
Calcular la mediana a partir de la siguiente tabla de frecuencia:
Ni Clase f F h H 1 10 5 5 10,4% 10,4% 2 20 7 12 14,6% 25,0% 3 30 10 22 20,8% 45,8% 4 40 13 35 27,1% 72,9% 5 50 10 45 20,8% 93,8% 6 60 2 47 4,2% 97,9% 7 70 1 48 2,1% 100,0% Total 48 100,0%
SOLUCIÓN
PASO 1 : Localizar entre que clases se encuentra la mediana. Observe que la
mediana se encuentra entre las clases 3 y 4, donde podremos encontrar una frecuencia relativa acumulada del 50%.
Ni Clase f F h H 1 10 5 5 10,4% 10,4% (^2 20 7 12) 14,6% 25,0% 3 30 10 22 20,8% 45,8% 4 40 13 35 27,1% 72,9% 5 50 10 45 20,8% 93,8% 6 60 2 47 4,2% 97,9% 7 70 1 48 2,1% 100,0% Total 48 100,0%
PASO 2 : Interpolar los datos para encontrar la mediana.
En el paso anterior habíamos dicho que el punto que divide el 2 parte iguales se encuentra entre 30 y 40.
Clase H 40 72,9% 30 45,8% Diferencia 10 27,1%
La diferencia entre las frecuencias relativas nos indica que existe entre las clases 27,1% de los datos. Para llegar al 50% de los datos, debemos incrementar en 4,2% datos partiendo desde la clase 30.
50 , 0 %= 45 , 8 %+ 4 , 2 %
Con una regla de tres sencilla hallaremos el incremento en unidades dada en la clase para ese 4,2%.
10 27,1% Incremento 4,2%
x Incremento
Para llegar al 50% de los datos, a la clase 30 debemos incrementarle 1,55.
Me= 31 , 55
4.2.4 Ejemplo: mediana para datos agrupados en tablas tipo B
Entre las clases 3 y 4 se encuentra el punto que divide en dos partes iguales la cantidad de datos.
Incremento 7,50%
x Incremento
Para llegar al 50% de los datos, 45,21 se aumenta en 3,43 unidades.
Me= 45 , 21 + 3 , 43
Me= 48 , 64
4.2.5 La fórmula para calcular la mediana
De este último ejemplo podemos determinar la fórmula para calcular la mediana. Observe que la mediana parte del límite superior del intervalo de clase anterior, la cual simbolizaremos por Lsi-1, siendo i igual a 4 (cuarto intervalo de clase). A este valor se le suma el incremento para llegar al 50% de los datos:
Me = Lsi − 1 + Incremento
El incremento resulta de multiplicar el incremento para llevar la frecuencia al 50% (50% - Hi-1) por el ancho de la clase (A) sobre la diferencia porcentual entre los límites superiores (Hi – Hi-1):
1
1 1 −
− −
i i
i i
H H
H
Me Ls A
Simplificando aún más la fórmula, recordemos que Hi – Hi-1 es lo mismo la frecuencia relativa del intervalo de clase i (hi).
i
i i
h
H
Me Ls A
− 1.^ −^1
Para expresar la fórmula en frecuencias absolutas tenemos que:
i
i i
f
F
n
Me Ls A
1 1
− −
4.2.6 Ubicando la mediana en el gráfico de ojiva
En un gráfico de ojiva, la mediana corresponde a la proyección del punto en eje horizontal que equivale al 50% de los datos. En la el gráfico de ojiva del ejemplo 3.6.1, la mediana estaría ubicada en el sexto intervalo, entre 350 y 400:
4.2.7 Calculo de la mediana en Excel
Excel posee la función MEDIANA para el cálculo de la mediana en datos no agrupados.
MEDIANA: Calcula la mediana para una serie de datos.
Formato: MEDIANA(número1;número2;…) Categoría: Estadísticas
Copie los datos dados en el ejemplo 4.2.1 a partir de la celda B2:
Active la función MEDIANA desde la celda B4 y en el campo número1 selecciones los datos del ejercicio.
100 150 200 250 300 350 400 450
100.0%
75.0%
50.0%
25.0%
H
Ls
Mediana
División de la cantidad de datos en dos partes iguales
4.3 LA MODA
Moda (Mo): indica el valor que más se repite, o la clase que posee mayor frecuencia.
En el caso de que dos valores presenten la misma frecuencia, decimos que existe un conjunto de datos bimodal. Para más de dos modas hablaremos de un conjunto de datos multimodal.
4.3.1 Ejemplo: moda para datos no agrupados
Los siguientes datos provienen del resultado de entrevistar a 30 personas sobre la marca de gaseosa que más consume a la semana:
Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 3 Marca 3 Marca 2 Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 2 Marca 3 Marca 1 Marca 3 Marca 3 Marca 2 Marca 3
SOLUCIÓN
PASO 1 : Determinar las frecuencias de cada valor de la variable.
La marca 1 se repite 15 veces La marca 2 se repite 6 veces La marca 3 se repite 9 veces
PASO 2 : la moda representa el valor que más se repite. En este caso es la
marca 1.
Mo=Marca 1
4.3.2 Ejemplo: moda para datos agrupados
Calcular la moda a partir de la siguiente tabla de frecuencia:
Ni Lm Ls f Mc 1 [ 4 6 ) 2 5 2 [ 6 8 ) 4 7 3 [ 8 10 ) 4 9 4 [ 10 12 ) 5 11 5 [ 12 14 ] 5 13 Total 20
SOLUCIÓN
Las marcas de clase que más frecuencias tienen son 11 y 13, por tanto decimos que es un caso donde aparecen dos modas (bimodal).
Mo 1 = 11
Mo 2 = 13
4.3.3 Calculo de la moda mediante fórmula
Algunos autores suelen aplicar una fórmula para determinar la moda para tablas de frecuencia.
( ) ( )
. 1 1
1 1 − −
− − − + −
− = + i i i i
i i S f f f f
f f Mo L A
Donde LS-1 equivale al límite superior del intervalo anterior donde se encuentra la moda.
4.3.4 Calculo de la mediana en Excel
Con la función MODA que provee Excel, podremos calcular el valor que posee mayor frecuencia en datos no agrupados.
MODA: Determina el valor que más se repite en un conjunto de datos.
Formato: MODA(número1;número2;…) Categoría: Estadísticas
Calcule la moda a partir de los siguientes datos copiados en una hoja nueva de Excel:
