¡Descarga Documentos probabilidad y más Resúmenes en PDF de Ciencias Aplicadas a la Actividad Profesiona solo en Docsity!
UNIDAD 2.- PROBABILIDAD
2.1 Función e Importancia de la Probabilidad.
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD.-
La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las
posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.
FUNCIÓN E IMPORTANCIA DE LA PROBABILIDAD:
La probabilidad nos permite cuantificar la variabilidad en el que un resultado de un experimento cuyo resultado exacto es imposible de predecir con seguridad. La probabilidad tiene como fin predecir, con algún grado de certeza, la frecuencia de ocurrencia de un evento. Implícita a esta idea está la noción de que existe alguna incertidumbre asociada con la generación del evento o que la información con la que se determina el resultado exacto del evento es incompleta. Las señales que tiene esta propiedad, comúnmente se refieren como señales estocásticas. Si no es este el caso, un evento o cierta señal se dice que es determinística.
Una aplicación de la teoría de la probabilidad es en la confiabilidad. En el diseño de
productos, tales como automóviles y electrónica para consumidores, se utiliza la teoría
de la confiabilidad para establecer la probabilidad de falla, la cual puede ser
asociada con la garantía del producto.
2.2 Clasificación de la Probabilidad.
Probabilidad Simple o Marginal (Teórica).-
Es la proporción entre el numero de formas en que el evento puede ocurrir (que se dé
el caso considerado) entre el número total de posibilidades.
P(evento)=
La posibilidad que hay de que ocurra algún evento determinado, por ejemplo, que de
un recipiente con 5 pelotas verdes, 2 azules y 3 rojas obtengamos una roja es de .3,
siempre debe ser un número menor o igual a uno, excepto cuando lo expresas en
porcentaje.
Probabilidad simple es igual a la cantidad de formas en que un resultado específico va
a suceder entre la cantidad total de posibles resultados.
Una manera, muy usada en la práctica, de denominar la probabilidad un evento
simple de un espacio muestral es como probabilidad simple o marginal, la cual hace
referencia a la probabilidad de un evento simple, y se denota con P(A), siendo A el
evento simple en cuestión. El nombre de probabilidad marginal se debe a que esta
medida se puede obtener a partir de los totales marginales de una tabla de
contingencia.
Ejemplos Probabilidad simple:
Cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder
Probabilidad =
Cantidad total de posibles resultados
Ejemplo: Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la
probabilidad de que esta sea verde?
Solución:
- Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total
de canicas (87)
- 68 ÷ 87 = 0.
- Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es
0.78)
Probabilidad subjetiva:
Se supone que esta propiedad se puede determinar operacionalmente mediante una repetición continua del experimento; la probabilidad del resultado será considerada como la proporción de ocasiones en que se obtenga este resultado.
Probabilidad total.-
El teorema de la probabilidad total afirma lo siguiente:
Sea una partición sobre el espacio muestral y sea
un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales ,
entonces la probabilidad del suceso viene dada por la expresión:
2.3 Espacio Muestral y Eventos.-
Un experimento aleatorio es aquel que puede producir resultados diferentes, aun
cuando se repita siempre de la misma manera.
Un espacio muestral (S) es el conjunto de todos los resultados posibles de un
experimento aleatorio. Se le llama espacio muestral del experimento y se denota por
“S”.
Ejemplo:
Considérese un experimento en el que se selecciona un conector y se mide su espesor.
Si el único objetivo del análisis es considerar si una pieza tiene el espesor bajo, medio o alto, entonces el espacio muestral S contiene tres resultados S= {bajo, medio, alto} Si el único objetivo de análisis es considerar si una pieza cumple o no con las especificaciones, el S se reduce a dos resultados posibles S= {si, no}
Si se seleccionan y se miden dos conectores (piezas).
Si el único objetivo es considerar si las piezas cumplen o no con las especificaciones, tendríamos: S= {ss,sn,ns,nn} Si solo nos interesamos en el número de piezas de la muestra que cumplen con las especificaciones, tenemos: S= {0,1,2} Considérese el experimento en el que el espesor se mide hasta que un conector no cumple con las especificaciones, se representa como: S= {n,sn,ssn,sssn,ssssn y así sucesivamente).
Con reemplazo, sin reemplazo.-
En un experimento aleatorio que implica seleccionar artículos de un lote se debe
indicar si es con reemplazo o sin reemplazo.
Por ejemplo: si el lote se compone de {a,b,c} y el experimento consiste en seleccionar
dos artículos sin reemplazo , tendríamos: S= {ab,ac,ba,bc,ca,cb}.
Si se reemplazan antes de seleccionar el siguiente, se dice que el muestreo es con
reemplazo y tendríamos: S= {aa,ab,ac,ba,bb,bc,ca,cb,cc}
Eventos.-
Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio.
Operaciones básicas: unión, intersección y complemento.
Unión: es el evento que consta de todos los resultados que están contenidos en
cualquiera de los dos eventos. E 1 U E 2
Intersección: es el evento que consta de todos los resultados que están contenidos en
los dos eventos. E 1 n E 2
Complemento: el conjunto de resultados en el espacio muestral que no están en el
evento. El complemento de E es E’.
Ejemplo: S= {ss,sn,ns,nn}
Los resultados para los que al menos una pieza cumple con las especificaciones se
denotan por E 1. Y E 1 = {ss,sn,ns}
El evento de que ninguna de las dos piezas cumpla con las especificaciones
denotada por E 2 es E 2 = {nn}
Supongamos que E 3 = 0 conjunto vacio, E 4 = S espacio muestral y E 5 = {sn,ns,nn}
entonces:
E 1 U E 5 = {S} E 1 n E 5 = {sn,ns} y E 1 ’= {nn}
Se dice que dos eventos, denotado como E 1 y E 2 , tales que E 1 n E 2 = 0 son mutuamente
excluyentes.
DIAGRAMA DE VENN.-
INTERPRETACIÓN DE LA PROBABILIDAD.-
Siempre que un espacio muestral conste de N resultados que son igualmente factibles,
la probabilidad de cada resultado es 1/N (a esto se le llama equiprobables).
2.4 Técnicas de Conteo.-
Suponga que se encuentra al final de una línea de ensamble final de un producto y que un supervisor le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del que se desconoce el número de productos que lo constituyen, de inmediato usted empezará a contar un producto tras otro y al final informará al supervisor que son, 48, 54 u otro número cualquiera. Ahora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente pregunta ¿cuántas muestras o grupos será posible formar con los productos del lote, si las muestras o grupos a formar son de ocho elementos cada una de ellas?. En el primer caso el cuantificar los elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona encargada de hacerlo, pero cuando se le hace el segundo planteamiento, al tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la persona encargada empezará a tener dificultad para hacerlo, en casos como este es necesario hacer uso de las técnicas de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestión (el número de muestras posibles a formar de ocho elementos), luego, ¿qué son las técnicas de conteo?
Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Ejemplos en los que definitivamente haremos uso de las técnicas de conteo serían: -¿Cuántas comisiones pro limpieza del instituto se pueden formar si hay 150 alumnos que desean ayudar en esta tarea y se desea formar comisiones de ocho alumnos? -¿Cuántas representaciones de alumnos pueden ser formadas a) si se desea que estas consten solo de alumnos de Ingeniería Química?, b) se desea que el presidente sea un químico?, c) se desea que el presidente y tesorero sean químicos? Para todos los casos, se desea que las representaciones consten de once alumnos. -¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?
Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.
Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos.
I) Principio de multiplicación:
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N 1 maneras o formas, el segundo paso de N 2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;
N 1 x N 2 x ..........x Nr maneras o formas
El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.
Si un evento o suceso “A” puede ocurrir, en forma independiente, de “m” maneras
diferentes y otro suceso de “n” maneras diferentes, entonces el número de maneras
distintas en que pueden suceder ambos sucesos es “m* n”.
Ejemplo 1:
En la etapa final de fútbol profesional de primera, cuatro equipos : CRISTAL ( C ), BOYS ( B) ,ESTUDIANTES ( E ), UNIVERSITARIO (U), disputan el primer y segundo lugar (campeón y subcampeón). ¿De cuántas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares? Solución: METODO 1: utilizando el diagrama del árbol 1er lugar 2do lugar 1 o^2 o
B C B
C E C E
U C U
C B C
B E B E
U B U
C E C
E B E B
U E U
C U C
U B U B
E U E
2 o El segundo casillero puede ser ocupado por cualquiera de las 25 letras que restan
3 o El tercer casillero puede ser ocupado por cualquiera de los 10 dígitos (del 0 al 9)
4 o El cuarto casillero lo pueden ocupar los 9 dígitos restantes
5 o El quinto casiller puede ser ocupado por cualquiera de los 8 dígitos restantes
6 o Por el principio de multiplicación, el número de placas será = 26x25x10x9x8 = 468 000
Ejemplo 3:
Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?
Solución:
Considerando que r = 4 pasos
N 1 = maneras de hacer cimientos = 2 N 2 = maneras de construir paredes = 3 N 3 = maneras de hacer techos = 2 N 4 = maneras de hacer acabados = 1
N 1 x N 2 x N 3 x N 4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa
El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente se tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede llevar a cabo una actividad cualquiera.
Ejemplo 4:
¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9?, a. Si es posible repetir letras y números, b. No es posible repetir letras y números, c. Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero, d. Cuantas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G.
Solución:
a. Considerando 26 letras del abecedario y los dígitos del 0 al 9
26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 75,760,000 placas para automóvil que es posible diseñar
b. 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78,624,000 placas para automóvil
c. 1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas para automóvil
d. 1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas para automóvil
II) Principio de adición:
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de, M + N + .........+ W maneras o formas
Supongamos que un evento A se puede realizar de “m” maneras y otro evento B se puede realizar de “n” maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos
se realicen juntos (A B = ), entonces el evento A o el evento B se realizarán de ( m +
n) maneras.
Ejemplo 1:
Un repuesto de automóvil se vende en 6 tiendas en Estados Unidos o en 8 tiendas de México. ¿De cuántas formas se puede adquirir el repuesto? Solución:
Por el principio de adición: Estados Unidos ó México
6 formas + 8 formas = 14 formas
Ejemplo 2:
Se desea cruzar un río, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. ¿De
cuantas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados?
Solución:
Aplicando el principio de adición se tiene: Bote , lancha , deslizador
3 ó 2 ó 1
Maneras = 3 + 2 + 1 = 6
D = maneras de ir y regresar a Disney
V = 3 x 2 x 1 x 2 = 12 maneras
D = 3 x 4 x 3 x 2 = 72 maneras
V + D = 12 + 72 = 84 maneras de ir a las Vegas o a Disney en un viaje redondo
**RECUERDA:
- Si se desea que se realicen los eventos A y B , entonces se utiliza el principio de multiplicación (x)
- Si se desea que se realicen los eventos A ó B , entonces se utiliza el principio de adición (+)**
¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del
aditivo?
Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada
a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si
la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo,
haremos uso del principio aditivo.
MÉTODOS DE CONTEO
En diferentes casos se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para formar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir por el orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos. Si los elementos que forman una agrupación son diferentes entre sí, serán llamados agrupaciones sin repetición y si alguno de ellos son iguales se dirá que son agrupaciones con repetición. Entre los métodos de conteo más conocidos tenemos: Permutación, Variación y
Combinación.
PERMUTACIÓN
Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden en su ubicación; cuando en el arreglo solo entran parte de los elementos del conjunto se llama variación. Es importante resaltar que el orden es una característica importante en la permutación, cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos.
Ejemplo 1:
Determinar los diferentes arreglos o permutaciones que se pueden hacer con las letras a, b y c tomadas de dos en dos. Solución:
Método 1:
Sea el conjunto : {a, b, c} , entonces los arreglos pueden ser: ab, ba. ac, ca, bc, cb
Número de arreglos = 6
Método 2: (principio de multiplicación)
Arreglos = 3 x 2 = 6
EXPLICACIÓN
1) El primer casillero puede ser ocupado por cualquiera de las tres letras,
existiendo 3 posibilidades.
2) El segundo casillero puede ser ocupado por cualquiera de las otras dos letras restantes, existiendo 2 posibilidades.
Ejemplo 3:
¿Cuántas maneras hay de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay 14 participantes?
Solución:
Haciendo uso del principio multiplicativo,
14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los primeros tres lugares del concurso
Ejemplo:
¿Cuántas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa. Solución:
Por principio multiplicativo: 25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representación de ese
sindicato que conste de presidente, secretario, etc., etc.
Por Fórmula: n = 25, r = 5
25 P 5 = 25!/ (25 – 5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ... x 1)=
= 6,375,600 maneras de formar la representación
¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que
participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de
los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) b. ¿Cuántas
maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula
uno? Solución:
a. Por principio multiplicativo
8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida de los
autos participantes en la carrera
Por Fórmula: n = 8, r = 8
8 P 8 = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x......x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida
......etc., etc.
(n r )!
n!
n Pr
b. Por principio multiplicativo: 8 x 7 x 6 = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera
Por fórmula: n =8, r = 3
8 P 3 = 8! / (8 – 3)! = 8! / 5! = (8 x 7 x 6 x 5 x ........x1)/ (5 x 4 x 3 x......x1) = 336 maneras de
asignar los tres primeros lugares de la carrera.
Ejemplo 4:
¿Cuántas maneras hay de asignar las 5 posiciones de juego de un equipo de básquetbol, si el equipo consta de 12 integrantes?, b. ¿Cuántas maneras hay de asignar las posiciones de juego si una de ellas solo puede ser ocupada por Uriel José Esparza?, c. ¿Cuántas maneras hay de que se ocupen las posiciones de juego si es necesario que en una de ellas este Uriel José Esparza y en otra Omar Luna? Solución: a. Por fórmula:
n = 12, r = 5
12 P 5 = 12! / (12^ –^ 5 )! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 = 95,040 maneras de asignar las cinco posiciones de juego.
a. Por principio multiplicativo: 1 x 11 x 10 x 9 x 8 =7,920 maneras de asignar las posiciones de juego
Por fórmula:
1 x 11 P 4 = 1 x 11! / (11 – 4)! = 11! / 7! = 11 x 10 x 9 x 8 = 7,920 maneras de asignar las posiciones de juego con Uriel José en una determinada posición.
a. Por principio multiplicativo
1 x 1 x 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las diferentes posiciones de juego.
Por fórmula:
1 x 1 x 10 P 3 = 1 x 1 x 10! / (10 – 3)! = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las posiciones de juego con Uriel José y Omar Luna en posiciones previamente definidas.
Ejemplo 5:
Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar, si debe constar de dos letras, seguidas de cinco dígitos, las letras serán tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9. a. Considere que se pueden repetir letras y números, b. Considere que no se pueden repetir letras y números, c. ¿Cuántas de las claves del inciso b empiezan por la letra A y terminan por el número 6?, d. ¿Cuántas
P
3 , 2 , 1 , 1 =^420
x x x
x xx
x x x x
x x x
Ejemplo 7:
Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado. Solución: n = 6 banderines
x 1 = 2 banderines rojos
x 2 = 3 banderines verdes
x 3 = 1 banderín morado
6 P 2 , 3 , 1 = 6! / 2!3!1! = 60 señales diferentes
Ejemplo 8:
a. ¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con los números 1,1,1,2,3,3,3,3?, b.¿Cuántas de las claves anteriores empiezan por un número uno seguido de un dos?, c. ¿Cuántas de las claves del inciso a empiezan por el número dos y terminan por el número tres? Solución:
a. n = 8 números
x 1 = 3 números uno
x 2 = 1 número dos
x 3 = 4 números cuatro
8 P 3 , 1 , 4 = 8! / 3!1!4! =^^280 claves de acceso
b. n = 6 (se excluye un número uno y un dos)
x 1 = 2 números uno
x 2 = 4 números tres
1 x 1 x 6 P 2 , 4 = 1 x 1 x 6! / 2!4! = 15 claves de acceso
Ejemplo 9:
¿De cuántas maneras es posible plantar en una línea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro manzanos y tres ciruelos? Solución:
n = 9 árboles x 1 = 2 nogales
x 2 = 4 manzanos x 3 = 3 ciruelos
9 P 2 , 4 , 3 = 9! / 2!4!3! =^^1260 maneras de plantar los árboles
Ejemplo 10:
Si un equipo de fútbol soccer femenil participa en 12 juegos en una temporada, ¿cuántas maneras hay de que entre esos doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos? Solución:
n = 12 juegos x 1 = 7 victorias x 2 = 3 empates x 3 = 2 juegos perdidos
12 P 7 , 3 , 2 = 12! / 7!3!2! = 7,920 maneras de que en la temporada este equipo logre siete victorias, tres empates y dos juegos perdidos.
PERMUTACIÓN CIRCULAR
Son agrupaciones donde no hay primero ni último elemento, por hallarse todos en una línea cerrada. Para hallar el número de permutaciones circulares que se pueden formar con “n” objetos distintos de un conjunto, hay que considerar fija la posición de un elemento, los n – 1 restantes podrán cambiar de lugar de (n – 1)! Formas diferentes tomando todas las posiciones sobre la circunferencia relativa al primer punto. El número de permutaciones circulares será:
Pnc ^ (^ n ^1 )!
Ejemplo11:
¿De cuántas formas diferentes puede sentarse al rededor de una mesa circular un
padre y sus 5 hijos?
Solución: Se trata de una permutación circular: ( 6 1 )! 5! 5 4 3 21 120
6 Pc ^ x x x x
Ejemplo 12:
¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar las cifras del 1 al 7 en la siguiente
figura?
