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EJERCICIO ELECTRODIN AMICA´
Universidad Distrital Francisco Jos´e de Caldas, Facultad de Ciencias y Educaci´on
Sergio Andres Amado Holguin - 20152135033
Julio 22, 2020
Punto 1: Dos part´ıculas, cada una de masa m y cargas q y 2q respectivamente, est´an suspendidas por cuerdas de longitud l a partir de un punto en com´un. Encuentre el ´angulo θ que forma cada una de las cuerdas con la vertical. Soluci´on:
Figura 1: Representaci´on gr´afica del problema donde d es la distancia de separacion entre part´ıculas.
Cada part´ıcula est´a en equilibrio est´atico bajo la influencia de la tensi´on T~ , la fuerza gravitacional F~g y la fuerza el´ectrica F~E. Tomando la part´ıcula de la derecha (part´ıcula 2) el diagrama de fuerzas ser´ıa:
Figura 2: Diagrama de fuerzas para la part´ıcula derecha.
Realizando la sumatoria de fuerzas para el equilibrio est´atico en la part´ıcula de la derecha tenemos que:
∑ Fy = T cos θ − mg = 0 (1) ∑ Fx = FE 12 − T sin θ = 0 (2)
Podemos usar la ley de Coulomb para relacionar la fuerza el´ectrica que le produce la part´ıcula de la izquierda (part´ıcula 1) a la part´ıcula de la derecha con la carga en cada part´ıcula y la separaci´on entre ellas, quedandonos la ecuaci´on 2 como: 2 kq^2 d^2
− T sin θ = 0 (3)
Al despejar la tensi´on de la ecuaci´on 1, obtenemos:
T =
mg cos θ
Ingresando el resultado anterior en la ecuaci´on 3:
2 kq^2 d^2
( (^) mg cos θ
sin θ = 0
2 kq^2 d^2
− (tan θ) mg = 0
tan θ =
2 kq^2 d^2 mg
Para la part´ıcula de la izquierda (part´ıcula 1), el diagrama de fuerzas ser´ıa:
Figura 3: Diagrama de fuerzas para la part´ıcula de la izquierda.
Realizando la sumatoria de fuerzas para el equilibrio est´atico en la part´ıcula de la izquierda tenemos que:
∑ Fy = T cos α − mg = 0 (5) ∑ Fx = T sin α − FE 21 = 0 (6)
Utilizando nuevamente la ley de Coulomb podemos hallar la fuerza electrica que le produce la par´ıcula de la derecha a la de la izquierda:
T sin α −
2 kq^2 d^2
Despejando la tensi´on de la ecuaci´on 5 tenemos que:
T =
mg cos α
tan^3 θ
cos^2 θ
kq^2 2 mgl^2 tan^3 θ 1 cos^2 θ
kq^2 2 mgl^2
A partir de la identidad cos^2 θ + sin^2 θ = 1 podemos reorganizar la anterior expresi´on como:
tan^3 θ cos^2 θ+sin^2 cos^2 θ
kq^2 2 mgl^2
tan^3 θ 1 + tan^2 θ
kq^2 2 mgl^2
Para facilidades de c´alculos llamaremos ahora x = tan θ y a = kq
2 2 mgl^2 quedando:
x^3 1 + x^2
= a
x^3 = a(1 + x^2 ) x^3 = a + ax^2 x^3 − ax^2 − a = 0 (12)
A partir de la ecuaci´on (12) lo que resta es obtener el valor de x, sin embargo solo se puede obtener conociendo
el valor n´umerico de a = kq
2 2 mgl^2. Al obtener^ x^ podemos obtener el valor del ´angulo^ θ^ mediante la relaci´on que anteriormente se hab´ıa definido: x = tan θ = tan α θ = α = tan−^1 x (13)
En conclusi´on hemos obtenido el valor del ´angulo θ que es igual al ´angulo α con la aproximaci´on de ´angulos peque˜nos (ecuaci´on 11) y sin ninguna aproximaci´on (ecuaci´on 13), adem´as se observa que sin importar la magnitud de las dos cargas el ´angulo θ y α es el mismo.
