Dossier de teoria, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Dossier de teoria y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Apunts de matemàtiques

Modalitat cientíco-tecnològica

Jordi Trubat

Departament de Matemàtiques

IES Bellulla

Abril de 2009

• 1 Funcions
  • 1.1 Denició de funció
    • 1.1.1 Domini de denició d'una funció
    • 1.1.2 Recorregut d'una funció
    • 1.1.3 Gràc d'una funció
  • 1.2 Funcions elementals
    • 1.2.1 Funció constant
    • 1.2.2 Funció lineal
    • 1.2.3 Funció quadràtica
    • 1.2.4 Funció cúbica
    • 1.2.5 Funció arrel quadrada
    • 1.2.6 Funció arrel cúbica
    • 1.2.7 Funció inversa
    • 1.2.8 Funció exponencial
    • 1.2.9 Funció logarítmica
    • 1.2.10 Funció sinus
    • 1.2.11 Funció cosinus
    • 1.2.12 Funció tangent
  • 1.3 Funcions denides a trossos
  • 1.4 Transformacions elementals d'una funció
  • 1.5 Funció composta
  • 1.6 Continuïtat
    • 1.6.1 Continuïtat en un punt
    • 1.6.2 Continuïtat en un interval
    • 1.6.3 Discontinuïtat
    • 1.6.4 Classes de discontinuïtats
  • 1.7 Paritat d'una funció
  • 1.8 Asímptotes 4 ÍNDEX
  • 1.9 Funcions polinòmiques i racionals
    • 1.9.1 Funcions polinòmiques
    • 1.9.2 Funcions racionals
• 2 Derivades
  • 2.1 Denició de derivada
    • 2.1.1 Raó incremental d'una funció
  • 2.2 Derivada d'una funció en un punt
  • 2.3 Funció derivada
  • 2.4 Interpretació geomètrica de la derivada
  • 2.5 Derivades immediates
  • 2.6 Propietats de les derivades
  • 2.7 Derivabilitat i continuïtat
  • 2.8 Equacions de la tangent i de la normal
    • 2.8.1 Equació de la recta tangent
    • 2.8.2 Equació de la recta normal
  • 2.9 Estudi de la primera derivada d'una funció
  • 2.10 Estudi de la segona derivada d'una funció
  • 2.11 Representació gràca de funcions
  • 2.12 Optimització
• 3 Integrals
  • 3.1 Denició de primitiva
  • 3.2 Integral indenida
  • 3.3 Integrals immediates
  • 3.4 Propietats de les integrals indenides
  • 3.5 Mètodes de càlcul d'integrals
    • 3.5.1 Mètode de descomposició
    • 3.5.2 Mètode de substitució o canvi de variable
  • 3.6 Integral denida. Regla de Barrow
    • 3.6.1 Propietats de les integrals denides
  • 3.7 Càlcul d'àrees
    • 3.7.1 Càlcul d'àrees compreses entre dues funcions
• 4 Matrius
  • 4.1 Denició de matriu
  • 4.2 Tipus de matrius
• ÍNDEX - 4.2.1 Matriu la - 4.2.2 Matriu columna - 4.2.3 Matriu nul.la - 4.2.4 Matriu quadrada - 4.2.5 Matriu diagonal - 4.2.6 Matriu escalar - 4.2.7 Matriu identitat - 4.2.8 Matriu triangular - 4.2.9 Matriu simètrica - 4.2.10 Matriu antisimètrica
  • 4.3 Operacions amb matrius
    • 4.3.1 Addició i substracció de matrius
    • 4.3.2 Producte d'una matriu per un escalar
    • 4.3.3 Producte de matrius
    • 4.3.4 Potenciació de matrius
    • 4.3.5 Transposició de matrius
  • 4.4 Determinants
    • 4.4.1 Determinant d'una matriu 2 ×
    • 4.4.2 Determinant d'una matriu 3 × 3 Regla de Sarrus
    • 4.4.3 Menor d'una matriu
    • 4.4.4 Adjunt d'una matriu
    • 4.4.5 Matriu adjunta
    • 4.4.6 Determinant d'una matriu n × n
    • 4.4.7 Propietats dels determinants
    • 4.4.8 Rang d'una matriu
  • 4.5 Matriu inversa i equacions matricials
    • 4.5.1 Matriu inversa
    • 4.5.2 Equacions matricials
• 5 Sistemes d'equacions lineals
  • 5.1 Equacions lineals
  • 5.2 Sistema d'equacions lineals
  • 5.3 Notació matricial d'un sistema d'equacions lineals
  • 5.4 Solució d'un sistema d'equacions lineals
  • 5.5 Sistemes equivalents
  • 5.6 Classicació de sistemes
  • 5.7 Sistemes homogenis
  • 5.8 Mètodes de resolució de sistemes
    • 5.8.1 Mètode de la matriu inversa 6 ÍNDEX
    • 5.8.2 Regla de Cramer
    • 5.8.3 Mètode de Gauss
  • 5.9 Teorema de Rouché-Frobenius
  • 5.10 Discussió de sistemes amb paràmetres
• 6 Vectors
  • 6.1 Denició geomètrica de vector
    • 6.1.1 Vectors lliures
    • 6.1.2 Sistema de coordenades cartesianes
    • 6.1.3 Components cartesianes d'un vector
    • 6.1.4 Mòdul d'un vector
  • 6.2 Operacions amb vectors
    • 6.2.1 Addició i substracció de vectors
    • 6.2.2 Producte d'un vector per un escalar
    • 6.2.3 Producte escalar de vectors
    • 6.2.4 Producte vectorial
    • 6.2.5 Producte mixt
  • 6.3 Bases de vectors
    • 6.3.1 Conjunt independent de vectors
    • 6.3.2 Base
    • 6.3.3 Base ortogonal
    • 6.3.4 Base ortonormal
    • 6.3.5 Base canònica
    • 6.3.6 Components d'un vector respecte d'una base
• 7 Equacions de la recta i del pla a l'espai
  • 7.1 Equació del segment
    • 7.1.1 Punt mitjà del segment
  • 7.2 Equació de la semirecta
  • 7.3 Equacions de la recta
    • 7.3.1 Equació vectorial de la recta
    • 7.3.2 Equacions paramètriques de la recta
    • 7.3.3 Equació continua de la recta
    • 7.3.4 Equació general de la recta
    • 7.3.5 Punts alineats
  • 7.4 Equacions del pla
    • 7.4.1 Equació vectorial del pla
• ÍNDEX - 7.4.2 Equacions paramètriques del pla - 7.4.3 Equació general del pla - 7.4.4 Punts coplanaris - 7.4.5 Vector normal del pla - 7.4.6 Equació del feix de plans
  • 7.5 Posicions relatives de la recta i del pla
    • 7.5.1 Posicions relatives de dues rectes
    • 7.5.2 Posicions relatives d'una recta i d'un pla
    • 7.5.3 Posicions relatives de dos plans
    • 7.5.4 Posicions relatives de tres plans
    • 7.5.5 Interpretació geomètrica de sistemes d'equacions lineals
    • 7.5.6 Simetries a l'espai
• 8 Geometria mètrica
  • 8.1 Angles
    • 8.1.1 Angle de dues rectes
    • 8.1.2 Angle d'una recta i un pla
    • 8.1.3 Angle de dos plans
  • 8.2 Distàncies
    • 8.2.1 Distància entre dos punts
    • 8.2.2 Distància entre un punt i una recta
    • 8.2.3 Distància entre un punt i un pla
    • 8.2.4 Distància entre dues rectes
• A Fórmules trigonomètriques
• B Alfabet grec

8 ÍNDEX

10 CAPÍTOL 1. FUNCIONS

 Exemple

El domini de la funció y =

x + 5 és:

D = {x ∈ R, x ≥ − 5 }

ja que està denida per tots els valors reals de x majors o iguals que x = − 5.

1.1.2 Recorregut d'una funció

El recorregut R d'una funció, és el conjunt de valors que pren la variable dependent.

 Exemple

El recorregut de la funció y = x − 3 és:

R = R

ja que y pren tots els valors reals.

 Exemple

El recorregut de la funció y =

x és:

R = {x ∈ R, x ≥ 0 }

ja que y pren tots els valors reals positius.

1.1. DEFINICIÓ DE FUNCIÓ 11

1.1.3 Gràc d'una funció

El gràc d'una funció y = f (x) és el conjunt del punts (x, f (x)) en el pla per a una certa part (o tota) del seu domini.

 Exemple

El gràc de la funció y = −x^3 + 3x^2 − 2 x és, per a una part del seu domini:

x

y

O

y = −x^3 + 3x^2 − 2 x

1.2. FUNCIONS ELEMENTALS 13

• Cas a > 0 :

y = ax + b

x

y

O

b

• Cas a < 0 :

y = ax + b

x

y

O

b

14 CAPÍTOL 1. FUNCIONS

Bisectriu

Si a = 1 i b = 0 obtenim l'anomenada bisectriu:

y = x

x

y

O

1.2.3 Funció quadràtica

Expressió analítica:

y = ax^2 + bx + c, a, b, c ∈ R

El seu gràc és una paràbola.

16 CAPÍTOL 1. FUNCIONS

• Cas b = 0: La paràbola és simètrica respecte de l'eix OY :

b = 0

x

y

O

El paràmetre c representa en tots els casos el punt de tall de la paràbola amb l'eix OY.

Vèrtex de la paràbola

El vèrtex de la paràbola V (vx, vy) és el punt que la paràbola pren el seu valor mìnim si a > 0 , o el seu valor màxim si a < 0.

x

y

O

V (vx, vy )

1.2. FUNCIONS ELEMENTALS 17

L'abcissa vx del vèrtex ve donada per l'expressió:

vx =

−b 2 a

i l'ordenada vy s'obté substituïnt vx en la variable independent de la funció quadràtica:

vy = av x^2 + bvx + c

Punts de tall de la paràbola amb l'eix d'abcisses

Trobar els punts de de tall de la paràbola amb l'eix OX es redueix a resoldre l'equació de segon grau

ax^2 + bx + c = 0

Depenent del valor que pren el discriminant

∆ = b^2 − 4 ac

tenim les tres situacions següents:

• ∆ > 0 : La paràbola talla l'eix OX en dos punts diferents:

x 1 x 2 x

y

O

1.2. FUNCIONS ELEMENTALS 19

1.2.4 Funció cúbica

Expressió analítica:

y = x^3

El seu gràc és:

y = x^3

x

y

O

1.2.5 Funció arrel quadrada

Expressió analítica:

y =

x

y =

x és la funció inversa de y = x^2. Per tant, el seu gràc és simètric a la branca positiva de la funció y = x^2 respecte de la bisectriu:

20 CAPÍTOL 1. FUNCIONS

y = √x

x

y

O

1.2.6 Funció arrel cúbica

Expressió analítica:

y = 3

x

y = 3

x és la funció inversa de y = x^3. Per tant, el seu gràc és simètric al de la funció y = x^3 respecte de la bisectriu:

y = 3

√ x

x

y

O