Dualidad - explicación, ejemplos, Guías, Proyectos, Investigaciones de Análisis Matemático

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DUALIDAD EN UN

PROBLEMA DE

PROGRAMACIÓN

LINEAL

RAZONES PARA

TENER EN

CUENTA LA

DUALIDAD

Se puede elegir el modelo

que conviene resolver para

obtener la solución de

ambos.

El simplex dual, que es más eficaz que el simplex para calcular la solución óptima de algunos modelos lineales. Permite hacer la interpretación económica del problema lineal.

FORMA SIMÉTRICA DE MAXIMIZACIÓN:

• (^) El objetivo es maximizar.
• (^) Todas las restricciones son del tipo ≤.
• (^) Todas las variables son no negativas. Ejemplo: Considerar el siguiente modelo lineal La forma simétrica de maximización es…..

FORMA SIMÉTRICA DE MINIIMIZACIÓN:

• (^) El objetivo es minimizar.
• (^) Todas las restricciones son del tipo ≥.
• (^) Todas las variables son no negativas. Ejemplo: Considerar el siguiente modelo lineal La forma simétrica de minimización es…..

RELACIÓN ENTRE UN PRIMAL Y UN DUAL Se llaman problemas primales, tienen una relación directa con la necesidad del planteamiento, y sus resultados responden a la formulación del problema original. Sin embargo, cada vez que se plantea y resuelve un problema lineal, existe otro problema ínsitamente planteado, que puede ser resuelto → considerado problema dua l_._ El cual tiene importantes relaciones y propiedades respecto al problema primal que pueden ser de gran beneficio para la toma de decisiones. Los problemas primales y duales se encuentran ligados por una serie de relaciones, que conociendo son de gran utilidad para la resolución de problemas que parecen no factibles

RELACIONES ENTRE PROBLEMAS PRIMALES Y DUALES

El n° de variables que presenta el

problema dual se ve determinado

por el n° de restricciones del

primal.

Los coeficientes de la función objetivo en el dual corresponden a los términos independientes de la restricciones en el primal. Los términos independientes de las restricciones en el dual corresponden a los coeficientes de la función objetivo en el primal.

El n° de restricciones del

dual se ve determinado por

el n° de variables del

primal.

La matriz que determina los coeficientes técnicos década variable en cada restricción corresponde a la transpuesta de la matriz del primal.

IMPORTANCIA DE LA DUALIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL Facilidad que se presenta dados problemas donde el n° de restricciones supere al n° de variables Gran aplicación en el análisis económico del problema. Se pueden resolver gráficamente problemas que presenten dos restricciones sin importar el n° de variables. Gran utilidad para la resolución de problemas que parecen no factibles.

TEOREMAS DE LA DUALIDAD Establecen relaciones entre el problema dual, primal y las soluciones de ambos problemas. Los resultados de los teoremas están enunciados considerando la forma primal-dual simétrica.

1. Teorema: El dual del problema dual es el problema primal. DEMOSTRACIÓN lo escribimos en forma simétrica de maximización. Utilizando la relación primal-dual, el dual de este problema es que escrito en forma equivalente es el modelo primal

2. Teorema de la Dualidad Débil. Sean x e y soluciones factibles para los problemas primal y dual respectivamente. Entonces, se verifica: Resultados, consecuencia del teorema anterior:
   • (^) Si las soluciones factibles 𝑥∗ e 𝑦∗ verifican c 𝑇𝑥∗ = 𝑏𝑇𝑦∗, entonces 𝑥∗ e 𝑦∗ son soluciones óptimas para el primal y el dual respectivamente.
   • (^) Si el problema primal es factible y no acotado, el dual es infactible.
   • (^) Si el problema dual es factible y no acotado, el primal es infactible.
   • (^) Si el problema primal es infactible, el dual puede ser infactible o no acotado. Y si el problema dual es infactible el primal puede se infactible o no acotado.

que se resume en esta tabla DUAL ÓPTIMO INFACTIBLE NO ACOTADO PRIMAL ÓPTIMO FACTIBLE INFACTIBLE INFACTIBLE INFACTIBLE INFACTIBLE FACTIBLE FACTIBLE NO ACOTADO INFACTIBLE FACTIBLE INFACTIBLE ¿Siempre se cumple el teorema de dualidad débil? Se explica a través del concepto de par dual… Teniendo un par de problemas, cuyos valores son v(P)[Primal] y v(D)[Dual], ambos forman un par dual cuando se cumple el teorema de dualidad débil, es decir v(P) ≤ v(D). ¨El problema de maximización(primal) siempre está “por debajo” del problema de minimización(dual). Si el problema de minimización(primal), por tanto el problema dual(maximización) se cumple que v(P) ≥ v(D).

Para verificar que z ≤ G, tenemos: xT = (1,1) yT = (1,1,1)

Las soluciones óptimas para estos problemas son :

∗

[

2 ]^

∗

4. Teorema de Holguras Complementarias. Permite encontrar la solución óptima del problema dual cuando conocemos la solución óptima del problema primal(y viceversa) mediante la resolución de un sistema de ecuaciones conformado por las variables de decisión y las restricciones. Ejemplo: Solución óptima → X = 14/5 e Y = 8/5, con valor óptimo V(P) =