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Archivos (capítulo 3) para resolver el ejemplo de la Wyndor:
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Glosario del capítulo 6
Vea el apéndice 1 para la documentación del software.
■ PROBLEMAS
Los símbolos a la izquierda de algunos problemas (o de sus incisos) significan lo siguiente:
D: El ejemplo de demostración indicado puede ser útil. I: Se sugiere que use las rutinas interactivas indicadas (la impre- sión registra su trabajo). C: Use alguna opción de software disponible (o el que indique su profesor) para la solución automática del problema. E*: Utilice Excel.
Un asterisco en el número del problema indica que al final del libro se proporciona al menos una respuesta parcial.
6.1-1. * Construya la tabla primal-dual y el problema dual para cada uno de los siguientes modelos de programación lineal que se ajustan a nuestra forma estándar. a ) El modelo del problema 3.1- b ) El modelo del problema 4.7-
6.1-2. Considere el modelo de programación lineal que aparece en el problema 4.5-4. a ) Construya la tabla primal-dual y el problema dual de este mo- delo. b ) ¿Qué implica para el problema dual el hecho de que Z no esté acotada en este modelo?
6.1-3. En el caso de cada uno de los siguientes modelos de progra- mación lineal, proporcione su recomendación sobre la manera (tal vez) más eficiente de obtener una solución: aplicación del método símplex directamente a este problema primal o al problema dual. Justifique sus respuestas. a ) Maximizar (^) Z 10 x 1 4 x 2 7 x 3 ,
s ujeta a
3 x 1 x 2 2 x 3 25 x 1 2 x 2 3 x 3 25 5 x 1 x 2 2 x 3 40 x 1 x 2 x 3 90 2 x 1 x 2 x 3 20
y
x 1 0, x 2 0, x 3 0.
b ) Maximizar Z 2 x 1 5 x 2 3 x 3 4 x 4 x 5 ,
s ujeta a
x 1 3 x 2 2 x 3 3 x 4 x 5 6 4 x 1 6 x 2 5 x 3 7 x 4 x 5 15 y
xj 0, para j 1, 2, 3, 4, 5.
6.1-4. Considere el siguiente problema.
Maximizar Z x 1 2 x 2 x 3 , sujeta a
x 1 x 2 2 x 3 12 x 1 x 2 x 3 1
y
x 1 0, x 2 0, x 3 0.
a ) Construya el problema dual. b ) Use la teoría de la dualidad para demostrar que la solución ópti- ma del problema primal tiene Z # 0.
6.1-5. Considere el siguiente problema.
Maximizar Z 5 x 1 4 x 2 3 x 3 , sujeta a
x 1 x 1 x 3 15 (recurso 1) x 1 x 2 2 x 3 25 (recurso 2)
y
x 1 0, x 2 0, x 3 0.
a ) Construya el problema dual de este problema primal. I b ) Resuelva el problema dual en forma gráfica. Utilice esta so- lución para identificar los precios sombra de los recursos del problema primal. C c ) Confirme sus resultados del inciso b ) al resolver el problema primal en forma automática mediante el método símplex; des- pués, identifique los precios sombra.
PROBLEMAS 241
242 CAPÍTULO 6 TEORÍA DE LA DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
6.1-6. Siga las instrucciones del problema 6.1-5 para resolver el si- guiente problema.
Maximizar Z x 1 3 x 2 2 x 3 ,
sujeta a
2 x 1 2 x 2 2 x 3 6 (recurso 1) x 2 2 x 3 4 (recurso 2)
y
x 1 0, x 2 0, x 3 0.
6.1-7. Considere el siguiente problema.
Maximizar Z 2 x 1 3 x 2 ,
sujeta a
4 x 1 x 2 20 x 1 x 2 10
y
x 1 0, x 2 0.
I a ) Demuestre en forma gráfica que este problema no tiene solu- ciones factibles. b ) Construya el problema dual. I c ) Demuestre en forma gráfica que el problema dual tiene una función objetivo no acotada.
I 6.1-8. Construya y grafique un problema primal con dos variables de decisión y dos restricciones funcionales que tenga soluciones factibles y una función objetivo no acotada. Después, construya el problema dual y demuestre en forma gráfica que no tiene soluciones factibles.
I 6.1-9. Construya un par de problemas primal y dual, cada uno con dos variables de decisión y dos restricciones funcionales, tales que ninguno tenga soluciones factibles. Demuestre esta propiedad en forma gráfica.
6.1-10. Construya un par de problemas primal y dual, cada uno con dos variables de decisión y dos restricciones funcionales, tales que el primal no tenga soluciones factibles y que el dual tenga una función objetivo no acotada.
6.1-11. Utilice la propiedad de dualidad débil para demostrar que si ambos problemas, el primal y el dual, tienen soluciones factibles, entonces ambos deben tener una solución óptima.
6.1-12. Considere los problemas primal y dual en la forma estándar que se presentó en la notación matricial al principio de la sección 6.1. Utilice sólo esta definición del problema dual de un problema primal en esta forma para demostrar cada uno de los siguientes resultados. a ) La propiedad de dualidad débil que se presentó en la sección 6.1. b ) Si el problema primal tiene una región factible no acotada que permite aumentar Z de manera indefinida, entonces el problema dual no tiene soluciones factibles.
6.1-13. Considere los problemas primal y dual en nuestra forma es- tándar presentados en notación matricial al principio de la sección 6.1. Sea y * la solución óptima de este problema dual. Suponga que
b se sustituye por b. Sea x la solución óptima del nuevo problema primal. Demuestre que
cx y * b .
6.1-14. Para cualquier problema de programación lineal en nuestra forma estándar y su problema dual, diga si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas y justifique su respuesta. a ) La suma del número de restricciones funcionales y del número de variables (antes de aumentar el problema) es la misma en ambos problemas, primal y dual. b ) En cada iteración, el método símplex identifica al mismo tiempo una solución FEV para el problema primal y una solución FEV para el problema dual tales que los valores de su función objetivo son iguales. c ) Si el problema primal tiene una función objetivo no acotada, en- tonces el valor óptimo de la función objetivo del problema dual debe ser igual a cero.
6.2-1. Considere la tabla símplex del problema de la Wyndor Glass Co., que se presentó en la tabla 4.8. En el caso de cada tabla símplex, dé la interpretación económica de los siguientes elementos: a ) Cada uno de los coeficientes de las variables de holgura ( x 3 , x 4 , x 5 ) del renglón 0 b ) Cada uno de los coeficientes de las variables de decisión ( x 1 , x 2 ) del renglón 0 c ) Las alternativas que resultan para la variable básica entrante (o la decisión de detenerse después de la tabla símplex final)
6.3-1. * Considere el siguiente problema.
Maximizar Z 6 x 1 8 x 2 , sujeta a
5 x 1 2 x 2 20 x 1 2 x 2 10
y x 1 0, x 2 0.
a ) Construya el problema dual de este problema primal. b ) Resuelva ambos problemas en forma gráfica. Identifique las so- luciones FEV y las soluciones no factibles en un vértice para ambos problemas. Calcule los valores de la función objetivo de todas las soluciones. c ) Con la información que obtuvo en el inciso b ) construya una tabla que presente las soluciones básicas complementarias de estos problemas. (Use los encabezados de la tabla 6.9.) I d ) Trabaje el método símplex paso a paso para resolver el proble- ma. Después de cada iteración (inclusive la 0), identifique las soluciones BF para este problema y las básicas complemen- tarias para el dual. También identifique las soluciones en los vértices correspondientes.
6.3-2. Considere el modelo con dos restricciones funcionales y dos variables que se presentó en el problema 4.1-5. Siga las instrucciones del problema 6.3-1 para este modelo.
6.3-3. Considere los problemas primal y dual del ejemplo de la Wyn- dor Glass Co., que se presentaron en la tabla 6.1. Use las tablas 5.5, 5.6, 6.8 y 6.9 para construir una nueva tabla que incluya los ocho con- juntos de variables no básicas del problema primal de la columna 1,
244 CAPÍTULO 6 TEORÍA DE LA DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
sólo esta definición del dual de un problema primal para probar los siguientes resultados. a ) Si las restricciones funcionales del problema primal Ax # b se cambian a Ax 5 b , el único cambio que resulta en el dual es que se eliminan las restricciones de no negatividad y $ 0. ( Sugeren- cia: las restricciones Ax 5 b son equivalentes al conjunto de restricciones dado por Ax # b y Ax $ b .) b ) Si las restricciones funcionales del problema primal Ax # b se cambian por Ax $ b , el único cambio que resulta en el problema dual es que las restricciones de no negatividad y $ 0 se sustituyen por restricciones de no positividad y # 0 , donde las variables dua- les actuales se interpretan como el negativo de las variables duales originales. ( Sugerencia : Las restricciones Ax $ b son equivalentes a 2 Ax # 2 b .) c ) Si las restricciones de no negatividad del problema primal, x $ 0 se eliminan, el único cambio que resulta en el problema dual es que las restricciones funcionales yA $ c se sustituyen por yA 5 c. ( Sugerencia: Una variable no restringida en signo se puede sustituir como la diferencia de dos variables no negativas.)
6.4-3. * Construya el problema dual del modelo de programación lineal que se presentó en el problema 4.6-3.
6.4-4. Considere el siguiente problema.
Maximizar Z 5 x 1 10 x 2 ,
sujeta a
4 x 1 2 x 2 4 5 x 1 10 x 2 10
y
x 1 0, x 2 0.
a ) Construya el problema dual. I b ) Utilice el análisis gráfico del problema dual para determinar si el problema primal tiene soluciones factibles y, de ser así, si su función objetivo está acotada.
6.4-5. Considere las dos versiones del problema dual del ejemplo de terapia de radiación de las tablas 6.15 y 6.16. Repase en la sec- ción 6.4 por qué estas dos versiones son completamente equivalentes. Complete los detalles para verificar esta equivalencia con los pasos para convertir la versión de la tabla 6.15 a formas equivalentes hasta obtener la versión de la tabla 6.16.
6.4-6. Para cada uno de los siguientes modelos de programación lineal, use el método CER para construir el dual. a ) El modelo aparece en el problema 4.6- b ) El modelo que se presentó en el problema 4.6-
6.4-7. Considere el modelo con restricciones de igualdad del pro- blema 4.6-2. a ) Construya su problema dual. b ) Demuestre que la respuesta que dio en el inciso a ) es correcta (es decir, restricciones de igualdad conducen a variables duales sin restricción de no negatividad); para ello convierta primero el problema primal a nuestra forma estándar (vea la tabla 6.12), después construya su problema dual y luego convierta este dual a la forma que obtuvo en el inciso a ).
6.4-8. * Considere el modelo sin restricciones de no negatividad que se presenta en el problema 4.6-14. a ) Construya su problema dual. b ) Demuestre que la respuesta al inciso a ) es correcta (es decir, va- riables sin restricciones de no negatividad conducen a restriccio- nes de igualdad en el problema dual); para ello, convierta primero el problema primal a nuestra forma estándar (vea la tabla 6.12), después construya su problema dual y luego convierta éste a la forma que obtuvo en el inciso a ).
6.4-9. Considere el problema dual del ejemplo de la Wyndor Glass Co., que se da en la tabla 6.1. Demuestre que su problema dual es el primal que se presentó en la tabla 6.1; para ello, siga los pasos de conversión de la tabla 6.13.
6.4-10. Considere el siguiente problema.
Maximizar Z 5 x 1 15 x 2 ,
sujeta a
2 x 1 4 x 2 8 3 x 1 3 x 2 24
y
x 1 0, x 2 0.
I a ) Demuestre en una gráfica que este problema tiene una función objetivo no acotada. b ) Construya el problema dual. I c ) Demuestre en forma gráfica que el problema dual no tiene soluciones factibles.
6.5-1. Considere el modelo del problema 6.7-2. Utilice la teoría de la dualidad para determinar si la solución básica actual aún es óptima después de cada uno de los siguientes cambios independientes. a ) El cambio en el inciso e ) del problema 6.7- b ) El cambio en el inciso g ) del problema 6.7-
6.5-2. Considere el modelo del problema 6.7-4. Utilice la teoría de dualidad para determinar si la solución básica actual aún es óptima después de cada uno de los siguientes cambios independientes. a ) El cambio en el inciso b ) del problema 6.7- b ) El cambio en el inciso d ) del problema 6.7-
6.5-3. Reconsidere el inciso d ) del problema 6.7-6. Utilice la teoría de la dualidad para determinar si la solución óptima original todavía es óptima.
6.6-1. * Considere el siguiente problema.
Maximizar Z 3 x 1 x 2 4 x 3 , sujeta a
6 x 1 3 x 2 5 x 3 25 3 x 1 4 x 2 5 x 3 20
y x 1 0, x 2 0, x 3 0.
el correspondiente conjunto final de ecuaciones que conduce a la solución óptima es
PROBLEMAS 245
(0) Z 2 x 2 ^15 x 4 ^35 x 5 17
(1) x 1 ^13 x 2 ^13 x 4 ^13 x 5 ^53
(2) x 2 x 3 ^15 x 4 ^25 x 5 3.
a ) Identifique la solución óptima a partir de este conjunto de ecua- ciones. b ) Construya el problema dual. I c ) Identifique la solución óptima para el problema dual a partir del conjunto final de ecuaciones. Verifique esta solución al re- solver el problema dual en forma gráfica. d ) Suponga que el problema original se cambia a
Maximizar (^) Z 3 x 1 3 x 2 4 x 3 ,
sujeta a
6 x 1 2 x 2 5 x 3 25 3 x 1 3 x 2 5 x 3 20
y
x 1 0, x 2 0, x 3 0.
Utilice la teoría de la dualidad para determinar si la solución óptima anterior todavía es óptima. e ) Use la idea fundamental que se presentó en la sección 5.3 para identificar los nuevos coeficientes de x 2 del conjunto final de ecuaciones después de que se han hecho los ajustes necesarios para los cambios que se realizaron en el problema original del inciso d ). f ) Ahora suponga que el único cambio al problema original es la in- troducción de una nueva variable x nueva al modelo, de la siguiente manera:
Maximizar (^) Z 3 x 1 x 2 4 x 3 2 x nueva ,
sujeta a
6 x 1 3 x 2 5 x 3 3 x nueva 25 3 x 1 4 x 2 5 x 3 2 x nueva 20
y
x 1 0, x 2 0, x 3 0, x nueva 0.
Use la teoría de la dualidad para determinar si la solución óptima anterior, junto con x nueva 5 0, aún es óptima. g ) Utilice la idea fundamental que se presentó en la sección 5.3 para identificar los coeficientes de x nueva como variable no básica del conjunto final de ecuaciones que se obtiene después de introdu- cirla al modelo original, como se muestra en el inciso f ).
D,I 6.6-2. Reconsidere el modelo del problema 6.6-1. Ahora se debe llevar a cabo un análisis de sensibilidad que investigue en forma in- dependiente cada uno de los siguientes cambios del modelo original. En cada cambio, utilice el procedimiento de análisis de sensibilidad para revisar el conjunto final de ecuaciones dado (en forma de tabla) y convierta este conjunto de ecuaciones a su forma apropiada de eli- minación gaussiana. Después pruebe la factibilidad y la optimalidad de la solución. (No reoptimice.)
a ) Cambie el lado derecho de la restricción 1 a b 1 5 10. b ) Cambie el lado derecho de la restricción 2 a b 2 5 10. c ) Cambie el coeficiente de x 2 en la función objetivo a c 2 5 3. d ) Cambie el coeficiente de x 3 en la función objetivo a c 3 5 2. e ) Cambie el coeficiente de x 2 en la restricción 2 a a 22 5 2. f ) Cambie el coeficiente de x 1 en la restricción 1 a a 11 5 8.
D,I 6.6-3. Considere el siguiente problema.
Minimizar W 5 y 1 4 y 2 , sujeta a
4 y 1 3 y 2 4 2 y 1 y 2 3 y 1 2 y 2 1 y 1 y 2 2 y y 1 0, y 2 0.
Debido a que este problema primal tiene más restricciones que variables, suponga que se aplicó el método símplex directamente a su problema dual. Si x 5 y x 6 denotan las variables de holgura de este problema dual, la tabla símplex final que resulta es
Coeficiente de: Variable Lado básica Ec. Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 derecho
Z (0) 1 3 0 2 0 1 1 9 x 2 (1) 0 1 1 1 0 1 1 1 x 4 (2) 0 2 0 3 1 1 2 3
Realice un análisis de sensibilidad en cada uno de los cambios inde- pendientes en el problema primal original, investigue directamente los efectos sobre el problema dual y después infiera el efecto com- plementario sobre el problema primal. Aplique, a cada cambio, el procedimiento del análisis de sensibilidad que se resumió al final de la sección 6.6 al problema dual ( no reoptimice). Después establez- ca las conclusiones para determinar si la solución básica actual del problema primal es aún factible y si todavía es óptima. Por último, verifique esas conclusiones con un análisis gráfico directo del pro- blema primal. a ) Cambie la función objetivo a W 5 3 y 1 1 5 y 2. b ) Cambie los lados derechos de las restricciones funcionales a 3, 5, 2 y 3, respectivamente. c ) Cambie la primera restricción a 2 y 1 1 4 y 2 $ 7. d ) Cambie la segunda restricción a 5 y 1 1 2 y 2 $ 10.
6.7-1. Lea el artículo que describe de manera completa el estudio de Investigación de Operaciones que se muestra en el Recuadro de aplicación en la sección 6.7. Describa de manera breve la forma como se aplicó el análisis de sensibilidad a este estudio. Después, haga una lista de los diferentes beneficios financieros y no financieros que resulten del estudio.
D,I 6.7-2. ***** Considere el problema siguiente. Maximizar Z 5 x 1 5 x 2 13 x 3 , sujeta a x 1 x 2 3 x 3 20 12 x 1 4 x 2 10 x 3 90
PROBLEMAS 247
6.7-5. Reconsidere el modelo del problema 6.7-4. Suponga que aho- ra se quiere aplicar un análisis de programación lineal paramétrica a este problema. En particular, los lados derechos de las restricciones funcionales se cambian a
30 1 3 u (para la restricción 1)
y
10 2 u (para la restricción 2),
donde u puede tomar cualquier valor positivo o negativo. Exprese la solución básica (y Z ) correspondiente a la solución óptima original como una función de u. Determine las cotas inferior y superior de u antes de que esta solución se vuelva no factible.
D,I 6.7-6. Considere el siguiente problema.
Maximizar Z 2 x 1 x 2 x 3 ,
sujeta a
3 x 1 2 x 2 2 x 3 15 x 1 x 2 x 3 3 x 1 x 2 x 3 4
y
x 1 0, x 2 0, x 3 0.
Sean x 4 , x 5 y x 6 las variables de holgura en las respectivas restriccio- nes. El método símplex llevó al siguiente conjunto final de ecua- ciones:
(0) Z 2 x 3 x 4 x 5 18 , (1) x 2 5 x 3 x 4 3 x 5 24 , (2) 2 x 3 x 5 x 6 7 , (3) x 1 4 x 3 x 4 2 x 5 21.
Ahora debe llevar a cabo un análisis de sensibilidad para investigar cada uno de los siguientes ocho cambios independientes introducidos en el modelo original. En cada cambio, utilice el análisis de sensibi- lidad para revisar este conjunto de ecuaciones (en forma de tabla) y convertirlo en uno de la forma apropiada de eliminación gaussiana para identificar y evaluar la solución básica actual. Después pruebe la factibilidad y la optimalidad de esta solución. Si cualquiera de las pruebas falla, reoptimice para encontrar una nueva solución óptima. a ) Cambie el lado derecho a
b 1 b 2 b 3
b ) Cambie el coeficiente de x 3 de la función objetivo a c 3 5 2. c ) Cambie el coeficiente de x 1 de la función objetivo a c 1 5 3. d ) Cambie los coeficientes de x 3 a
c 3 a 13 a 23 a 33
e ) Cambie los coeficientes de x 1 y x 2 a
y ,
c 2 a 12 a 22 a 32
c 1 a 11 a 21 a 31
respectivamente. f ) Cambie la función objetivo a Z 5 5 x 1 1 x 2 1 3 x 3. g ) Cambie la restricción 1 a 2 x 1 2 x 2 1 4 x 3 # 12. h ) Introduzca una nueva restricción 2 x 1 1 x 2 1 3 x 3 # 60.
C 6.7-7. Considere el problema de Distribution Unlimited Co., de la sección 3.13. Aunque la figura 3.13 proporciona una estimación de los costos unitarios de envío por varias rutas, existe cierta incertidumbre sobre ellos. Por tanto, antes de adoptar la solución opcional que se presentó al final de la sección 3.4, la administración desea más información acerca del efecto de las inexactitudes en su estimación de los costos unitarios. Use un software basado en el método símplex para generar el informe de análisis de sensibilidad en preparación para contestar las siguientes preguntas. a ) ¿Cuál de los costos unitarios de envío que se proporcionan en la figura 3.13 tiene el margen de error más pequeño sin invalidar la solución óptima que se dio en la sección 3.4? ¿A qué debe dedicarse el mayor esfuerzo al estimar los costos unitarios de envío? b ) ¿Cuál es el intervalo permisible para seguir óptimo de cada uno de los costos unitarios de envío? c ) ¿Cómo deben interpretarse estos intervalos permisibles por la administración? d ) Si estas estimaciones cambian para más de uno de los costos de envío, ¿cómo se puede usar el análisis de sensibilidad generado para determinar si la solución óptima puede cambiar?
6.7-8. Considere el siguiente problema.
Maximizar Z c 1 x 1 c 2 x 2 ,
sujeta a
2 x 1 x 2 b 1 x 1 x 2 b 2
y
x 1 0, x 2 0.
Sean x 3 y x 4 las variables de holgura de las restricciones respectivas. Cuando c 1 5 3, c 2 5 2 2, b 1 5 30 y b 2 5 10, el método símplex llevó a la siguiente tabla símplex final.
Coeficiente de: Variable Lado básica Ec. Z x 1 x 2 x 3 x 4 derecho
Z (0) 1 0 0 1 1 40 x 2 (1) 0 0 1 1 2 10 x 1 (2) 0 1 0 1 1 20
248 CAPÍTULO 6 TEORÍA DE LA DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
I a ) Use el análisis gráfico para determinar el intervalo permisible para que la solución de la tabla siga siendo óptima con c 1 y c 2. b ) Use el análisis algebraico para derivar y verificar sus respuestas al inciso a ). I c ) Use el análisis gráfico para determinar el intervalo permisible para seguir factible de b 1 y b 2. d ) Use el análisis algebraico para derivar y verificar sus respuestas del inciso c ) C e ) Use un software basado en el método símplex para encontrar los intervalos permisibles.
I 6.7-9. Considere la variación 5 del modelo de Wyndor Glass Co., (vea la figura 6.6 y la tabla 6.24), donde los cambios en los valores de los parámetros dados en la tabla 6.21 son c 25 3, a 22 5 3 y a 325 4. Use la fórmula b * 5 S * b para encontrar el rango permisible de cada bi. Después interprete cada rango permisible en forma gráfica.
I 6.7-10. Considere la variación 5 del modelo de Wyndor Glass Co. (vea la figura 6.6 y la tabla 6.24), donde los cambios en los valores de los parámetros dados en la tabla 6.21 son c 25 3, a 22 5 3, y a 325 4. Verifique algebraica y gráficamente que el intervalo permisible para para que c 1 continúe siendo óptimo es c 1 $ 94.
6.7-11. En el problema de la tabla 6.21 encuentre el intervalo per- misible de c 2 para seguir óptimo. Muestre su trabajo algebraico y use para ello la tabla símplex de la tabla 6.21. Después justifique su respuesta desde el punto de vista geométrico, con referencia a la figura 6.3.
6.7-12. * En el problema original de la Wyndor Glass Co., utilice la última tabla símplex de la tabla 4.8 para hacer lo siguiente. a ) Encuentre el intervalo permisible para que cada bi continúe sien- do factible. b ) Encuentre el intervalo permisible de c 1 y c 2 para seguir ópti- mos. C c ) Use un paquete de software basado en el método símplex para encontrar los intervalos permisibles.
6.7-13. En el caso de la variación 6 del modelo de la Wyndor Glass Co., que se presentó en la sección 6.7, utilice la última tabla símplex de la tabla 6.25 para hacer lo siguiente. a ) Encuentre el intervalo permisible para que cada bi siga factible. b ) Encuentre el intervalo permisible para que c 1 y c 2 sigan ópti- mos. C c ) Use un paquete de software basado en el método símplex para encontrar los intervalos permisibles.
6.7-14. Considere la variación 5 del modelo de la Wyndor Glass Co., que se presentó en la sección 6.7, donde c 25 3, a 22 5 3 y a 325 4, y donde los otros parámetros se presentan en la tabla 6.21. A partir de la tabla símplex final de la parte inferior de la tabla 6.24, construya una tabla como la 6.26 para realizar un análisis de programación lineal paramétrica, donde
c 1 3 y c 2 3 2 .
¿Cuánto puede aumentar el valor de u antes de que la solución básica actual deje de ser óptima?
6.7-15. Reconsidere el modelo del problema 6.7-6. Suponga que ahora existe la opción de hacer trueques en las ganancias que se ob- tienen de las dos primeras actividades, es decir, el coeficiente de x 1 de la función objetivo se puede aumentar en cualquier cantidad si a la
vez se disminuye el de x 2 en la misma cantidad. Así, las alternativas que se tienen para la función objetivo son
Z ( ) (2 ) x 1 (1 ) x 2 x 3 , donde puede tomar cualquier valor no negativo. Construya una tabla como la 6.26 para realizar un análisis de programación lineal paramétrica de este problema. Determine la cota superior de u antes de que la solución óptima original deje de ser óptima. Después determine el mejor valor de u en este inter- valo.
6.7-16. Considere el siguiente problema de programación lineal pa- ramétrica.
Maximizar Z ( ) (10 4 ) x 1 (4 ) x 2 (7 ) x 3 , sujeta a
3 x 1 x 2 2 x 3 7 2 x 1 x 2 3 x 3 5
(recurso 1), (recurso 2), y x 1 0, x 2 0, x 3 0,
donde u puede tomar cualquier valor positivo o negativo. Sean x 4 y x 5 las variables de holgura de las restricciones respectivas. Después de aplicar el método símplex con u 5 0, la tabla símplex final es
Coeficiente de: Variable Lado básica Ec. Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 derecho
Z (0) 1 0 0 3 2 2 24 x 1 (1) 0 1 0 1 1 1 2 x 2 (2) 0 0 1 5 2 3 1
a ) Determine el intervalo de valores de u para el que la solución BF anterior permanece óptima. Después encuentre la mejor elección de u dentro de este intervalo. b ) Dado que u está dentro del intervalo que se encontró en el inciso a ), encuentre el intervalo permisible de b 1 (la cantidad disponible del recurso 1) para que continúe siendo factible. Después haga lo mismo en relación con b 2 (la cantidad disponible del recurso 2). c ) Dado que u se encuentra dentro del intervalo que se encontró en el inciso a ), identifique los precios sombra (como función de u) de los dos recursos. Utilice esta información para determinar cómo cambia la función objetivo (como función de u) si dis- minuye la cantidad disponible del recurso 1 en una unidad y al mismo tiempo aumenta la cantidad disponible del recurso 2 en una unidad. d ) Construya el dual de este problema de programación lineal para- métrica. Haga u 5 0 y resuelva en forma gráfica este problema dual para encontrar los precios sombra correspondientes a los dos recursos del problema primal. Después encuentre estos pre- cios sombra como función de u [dentro del intervalo de valores que se encontró en el inciso a )] con la obtención algebraica de esta misma solución FEV óptima para el problema dual como función de u.
6.7-17. Considere el siguiente problema de programación lineal pa- ramétrica.
Maximizar Z ( ) 2 x 1 4 x 2 5 x 3 ,
250 CAPÍTULO 6 TEORÍA DE LA DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
un intervalo de u valores para los que esta solución es tanto factible como óptima. ¿Cuál es la mejor elección para el valor de u dentro de este intervalo?
6.7-20. Considere el siguiente problema.
Maximizar Z 3 x 1 5 x 2 2 x 3 ,
sujeta a
2 x 1 2 x 2 x 3 5 3 x 1 x 2 x 3 10
y
x 1 0, x 2 0, x 3 0.
Sean x 4 y x 5 las variables de holgura de las restricciones funcionales respectivas. Después de aplicar el método símplex, la tabla símplex final es
Coeficiente de: Variable Lado básica Ec. Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 derecho
Z (0) 1 0 20 0 9 7 115 x 1 (1) 0 1 3 0 1 1 15 x 3 (2) 0 0 8 1 3 2 35
Ahora debe aplicarse programación lineal paramétrica en forma si- multánea a la función objetivo y a los lados derechos, donde el mo- delo en términos del nuevo parámetro es el siguiente:
Maximizar Z ( ) (3 2 ) x 1 (5 ) x 2 (2 ) x 3 ,
sujeta a
2 x 1 2 x 2 x 3 5 6 3 x 1 x 2 x 3 10 8
y
x 1 0, x 2 0, x 3 0.
Construya la tabla símplex final revisada (como función de u) y con- viértala a la forma apropiada de eliminación de Gauss. Utilice esta tabla símplex para identificar la solución básica actual como función de u. Para u $ 0, dé el intervalo de valores de u donde esta solución es factible y óptima. ¿Cuál es el mejor valor de u en este intervalo?
6.7-21. Considere el problema de la Wyndor Glass Co., descrito en la sección 3.1. Suponga que, además del estudio de la introducción de dos nuevos productos, la administración también pretende cambiar la tasa de producción de un antiguo producto que todavía es reditua- ble. Consulte la tabla 3.1. La capacidad utilizada por unidad de tasa de producción de este antiguo producto es 1, 4 y 3 en las plantas 1, 2 y 3, respectivamente. Por tanto, si u denota el cambio (positivo o negativo) de esta tasa de producción, el lado derecho de las tres restricciones funcionales en la sección 3.1 se convierte en 4 2 u, 12 2 4 u y 18 2 3 u, respectivamente. Así, un valor negativo de u libera capacidad adicional para producir más de los dos nuevos pro- ductos, mientras que un valor positivo tiene el efecto opuesto.
a ) Utilice la formulación de programación lineal paramétrica para determinar el efecto de los distintos valores de u sobre la so- lución óptima de la mezcla de los dos nuevos productos que se presentó en la tabla símplex final de la tabla 4.8. En particular, utilice la idea fundamental de la sección 5.3 para obtener expre- siones de Z y de las variables básicas x 3 , x 2 y x 1 en términos de u, y suponga que u es lo suficientemente cercano a cero como para que esta solución básica “final” todavía sea factible y, por tanto, óptima para el valor dado de u. b ) Ahora considere una pregunta más amplia respecto de la elección de la mezcla de los dos nuevos productos. ¿Cuál es la ganancia unitaria de punto de equilibrio del producto antiguo (en compara- ción con los dos nuevos productos), bajo la cual debe disminuirse su tasa de producción ( u , 0) en favor de los dos nuevos produc- tos y por encima de la cual debe aumentarse ésta ( u. 0)? c ) Si la ganancia unitaria se encuentra por encima de este punto de equilibrio, ¿cuánto puede disminuir la tasa de producción de este producto antiguo antes de que la solución BF final pierda factibilidad? d ) Si la ganancia unitaria es menor que este punto de equilibrio, ¿cuánto puede disminuir su tasa de producción (si se supone que la tasa anterior era más alta que esta disminución) antes de que la solución BF final pierda factibilidad? 6.7-22. Considere el siguiente problema.
Maximizar Z 2 x 1 x 2 3 x 3 ,
sujeta a
x 1 x 2 x 3 3 x 1 2 x 2 x 3 1 x 1 2 x 2 x 3 2
y
x 1 0, x 2 0, x 3 0.
Suponga que se empleó el método de la gran M (sección 4.6) para ob- tener la solución BF inicial (artificial). Sea la variable x 4 de holgura artificial de la primera restricción, x 5 la variable de superávit de la segunda restricción, x 6 la variable artificial de la segunda restricción y x 7 la variable de holgura de la tercera restricción. El conjunto de ecuaciones final correspondiente que proporciona la solución ópti- ma es
(0) Z 5 x 2 ( M 2) x 4 Mx 6 x 7 8 , (1) x 1 x 2 x 4 x 7 1 , (2) 2 x 2 x 3 x 7 2 , (3) 3 x 2 x 4 x 5 x 6 2.
Suponga que la función objetivo original se cambia a Z 5 2 x 1 1 3 x 2 1 4 x 3 y que la tercera restricción original se cambia a 2 x 2 1 x 3 # 1. Utilice el procedimiento de análisis de sensibilidad para revisar el conjunto de ecuaciones final (en forma de tabla) y convertirlo a la forma apropiada de eliminación de Gauss para identificar y evaluar la solución básica actual. Después pruebe la factibilidad y la optima- lidad de esta solución. (No reoptimice.)
6.8-1. Considere el siguiente problema.
Maximizar Z 2 x 1 5 x 2 ,
PROBLEMAS 251
sujeta a
x 1 2 x 2 10 (recurso 1) x 1 3 x 2 12 (recurso 2)
y
x 1 0, x 2 0,
donde Z mide la ganancia en dólares proveniente de las dos activi- dades. Mientras se hacía un análisis de sensibilidad, se supo que las estimaciones de las ganancias unitarias tienen una exactitud de sólo ±50%. En otras palabras, los rangos de los valores probables de estas ganancias unitarias son de $1 a $3 en el caso de la actividad 1 y de $2.50 a $7.50 de la actividad 2. E* a ) Formule un modelo en hoja de cálculo para este problema ba- sado en las estimaciones iniciales de las ganancias unitarias. Después, use el Solver para encontrar una solución óptima y generar el informe de sensibilidad. E* b ) Use la hoja de cálculo y el Solver para verificar si esta solución óptima aún lo es con cambios en la ganancia unitaria de la actividad 1 de $2 a $1 y de $2 a $3. E* c ) También verifique si la solución óptima mantiene su carácter de tal si la ganancia unitaria de la actividad 1 permanece en $2 pero para la actividad 2 cambia de $5 a $2.50, y de $5 a $7.50. E* d ) Use la tabla de Solver para generar de manera sistemática la solución óptima y la ganancia total cuando la ganancia unita- ria de la actividad 1 se incrementa de $1 a $3 en intervalos de 20 centavos (sin cambiar la ganancia unitaria de la actividad 2). Después haga lo mismo cuando la ganancia unitaria de la actividad 2 se incrementa de $5 a $7.50 en intervalos de 50 centavos (sin que cambie la ganancia unitaria de la activi- dad 1). Use estos resultados para estimar el rango permisible para que la ganancia unitaria de cada actividad continúe siendo óptima. I e ) Use la rutina del método gráfico y análisis de sensibilidad del IOR Tutorial para estimar el rango permisible para que la ganancia unitaria de cada actividad conserve su optima- lidad. E* f ) Use el informe de sensibilidad que proporciona el Solver de Excel para encontrar el rango permisible para que la ganancia unitaria de cada actividad conserve su optimalidad. Después, use estos intervalos para verificar sus resultados en los incisos b ) al e ). E* g ) Use la Tabla de Solver de dos vías para generar de manera sistemática la solución óptima cuando las ganancias unitarias de las dos actividades cambian al mismo tiempo, tal como se describe en el inciso d ). I h ) Use la rutina del método gráfico y análisis de sensibilidad del IOR Tutorial para interpretar en forma gráfica los resultados del inciso g ).
E* 6.8-2. Reconsidere el modelo que se presentó en el problema 6.8-1. Mientras se hacía un análisis de sensibilidad, se supo que las estimaciones de los lados derechos de las dos restricciones funciona- les tienen una exactitud de sólo ±50%. En otras palabras, los rangos de los valores probables para estos parámetros son de 5 a 15 para el primer lado derecho y de 6 a 18 para el segundo.
a ) Después de resolver el modelo en hoja de cálculo original, de- termine el precio sombra de la primera restricción funcional al incrementar su lado derecho en 1 y resuelva de nuevo. b ) Utilice la Tabla de Solver para generar la solución óptima y la ganancia total cuando el lado derecho de la primera restricción funcional se incrementa de 5 a 15 en intervalos de 1. Use esta tabla para estimar el rango permisible para este lado derecho, es decir, el rango en el que el precio sombra que obtuvo en el inciso a ) es válido. c ) Repita el inciso a ) para la segunda restricción funcional. d ) Repita el inciso b ) para la segunda restricción funcional donde su lado derecho se incrementa de 6 a 18 en intervalos de 1. e ) Utilice el informe de sensibilidad del Solver para determinar el precio sombra de cada restricción funcional y el rango permisible para el lado derecho de cada una de estas restricciones.
6.8-3. Considere el siguiente problema.
Maximizar Z x 1 2 x 2 ,
sujeta a
x 1 3 x 2 8 (recurso 1) x 1 x 2 4 (recurso 2)
y
x 1 0, x 2 0,
donde Z mide la ganancia en dólares proveniente de las dos activida- des y los lados derechos se refieren al número de unidades disponi- bles de los recursos respectivos. I a ) Aplique el método gráfico para resolver este problema. I b ) Utilice el análisis gráfico para determinar el precio sombra de cada uno de estos recursos al resolver de nuevo después de incrementar la cantidad del recurso disponible en 1. E* c ) Use la hoja de cálculo y el Solver para resolver los incisos a ) y b ). E* d ) En el caso de cada uno de los recursos y de forma independien- te, utilice la Tabla de Solver para generar de manera sistemá- tica la solución óptima y la ganancia total cuando el único cambio es que la cantidad de ese recurso disponible crece en intervalos de 1, desde 4 por debajo del valor original hasta 6 por encima de ese valor. Use estos resultados para estimar el rango permisible para la cantidad disponible de cada recurso. e ) Use el informe de sensibilidad del Solver para obtener los precios sombra, así como para encontrar el rango de la cantidad disponi- ble de cada recurso dentro del cual el precio sombra correspon- diente permanece válido. f ) Describa por qué estos precios sombra son útiles cuando la ad- ministración tiene flexibilidad suficiente para cambiar las canti- dades de los recursos que estarán disponibles.
6.8-4. * Uno de los productos de la G. A. Tanner Company es un tipo especial de juguete que proporciona un ganancia unitaria estimada de $3. Debido a la gran demanda, la administración desea aumentar su tasa de producción del nivel actual de 1 000 por día. Sin embargo, un abastecimiento limitado de dos subensambles (A y B) lo dificulta. Cada juguete requiere de dos subensambles tipo A, pero el proveedor sólo puede aumentar la tasa de entrega de los 2 000 por día actuales a un máximo de 3 000. Cada juguete requiere de sólo un subensamble
PROBLEMAS 253
e ) El costo diario por agente aumenta 2% en cada turno. f ) Use el Solver para generar el informe de análisis de sensibilidad de este problema. Suponga que los cambios anteriores se consi- deran después sin tener el modelo en hoja de cálculo disponible de inmediato en una computadora. Muestre en cada caso cómo se puede usar el informe de sensibilidad para verificar si la solución óptima original aún conserva su optimalidad. g ) Con respecto a cada uno de los cinco turnos independientes, use la Tabla de Solver para generar en forma sistemática la solución óptima y el costo total cuando la única modificación adicional es que el costo diario por agente de ese turno aumenta en incre- mentos de $3 desde $15 por debajo del costo actual hasta $15 por encima de él.
E* 6.8-7. Reconsidere el problema de Union Airways y su modelo en hoja de cálculo que se utilizó en el problema 6.8-6. Ahora la administración piensa aumentar el nivel de servicio a los clientes con el incremento de uno o más de los números de la columna de la derecha del número mínimo de agentes necesarios en los diferentes periodos. Como guía para tomar esta decisión, desean saber qué efecto tendrá este cambio en el costo total. Use el Excel Solver para generar el análisis de sensibilidad como preparación para contestar las siguientes preguntas. a ) ¿Cuál de los números de la columna de la derecha de la tabla 3. puede aumentar sin que aumente el costo total? En cada caso indique cuál es el aumento (si es el único cambio) antes de que aumente el costo total. b ) En el caso de cada uno de los otros números, ¿cuánto aumentaría el costo total debido a un incremento de 1 en el número? En cada respuesta indique cuánto puede aumentar el número (si es el único cambio) antes de que la respuesta no sea válida. c ) ¿Siguen válidas las respuestas del inciso b ) si todos los números considerados en ese inciso aumentan 1 al mismo tiempo? d ) ¿Cuánto pueden aumentar los 10 números de manera simultánea antes de que las respuestas del inciso b ) ya no sean válidas? e ) ¿Siguen válidas las respuestas del inciso b ) si los 10 números aumentan 1 al mismo tiempo?
6.8-8. David, Diana y Lidia son los únicos socios y empleados de una compañía que produce relojes finos. David y Diana pueden trabajar un máximo de 40 horas por semana, mientras que Lidia sólo puede trabajar hasta 20 horas semanales. La empresa hace dos tipos de relojes: el reloj de pedestal y el de pared. Para hacer un reloj, David (ingeniero mecánico) ensam- bla las partes internas y Diana (ebanista) produce las cajas de madera labradas a mano. Lidia es responsable de recibir pedidos y enviar los relojes. El tiempo que se requiere para cada tarea se muestra en la tabla.
o
Tiempo requerido
Reloj Reloj Tarea de pedestal de pared
Ensamblar mecanismo del j 6 horas 4 horas Tallar la cubierta de madera 8 horas 4 horas 3 horas 3 horas
reloj
Envío
Cada reloj de pedestal construido y enviado deja una ganancia de $300, mientras que cada reloj de pared proporciona una ganancia de $200. Los tres socios desean determinar cuántos relojes de cada tipo deben producir por semana para maximizar la ganancia total. a ) Formule un modelo de programación lineal en forma algebraica para resolver este problema. I b ) Utilice la rutina de método gráfico y análisis de sensibilidad del IOR Tutorial para resolver el modelo. Después use esta rutina para determinar si la solución óptima cambia cuando la estimación de la ganancia unitaria por reloj de pedestal se in- crementa de $300 a $375 (sin otro cambio en el modelo). Des- pués verifique si la solución óptima se modificaría si, además de este cambio en la ganancia unitaria del reloj de pedestal, la ganancia unitaria estimada de los relojes de pared también cambia de $200 a $175. E* c ) Formule y resuelva este modelo en una hoja de cálculo. E* d ) Use el Excel Solver para verificar el efecto de los cambios especificados en el inciso b ). E* e ) Use la tabla de Solver para generar de manera sistemática la solución óptima y la ganancia total cuando la ganancia unitaria de los relojes de pedestal aumenta en incrementos de $20 des- de $150 hasta $450 (sin cambio en la ganancia unitaria de los relojes de pared). Después haga lo mismo cuando la ganancia unitaria de los relojes de pared aumente en incrementos de $ desde $50 hasta $350 (sin cambio en la ganancia unitaria de los relojes de pedestal). Utilice esta información para estimar el rango permisible para que las ganancias unitarias de cada tipo de reloj mantengan su carácter de óptimas. E* f ) Use la Tabla de Solver de dos vías para generar en forma sis- temática la solución óptima cuando las ganancias unitarias de los dos tipos de relojes se cambian simultáneamente como se especifica en el inciso e ); utilice incrementos de $50 en lugar de $20. E* g ) Para el caso de los tres socios independientes, use el Solver de Excel para determinar el efecto sobre la solución óptima y la ganancia total si sólo cada uno de ellos aumenta en 5 el número máximo de horas disponibles por semana para trabajar. E* h ) Utilice la tabla de Solver para generar en forma sistemática la solución óptima y la ganancia total cuando el único cambio es que el número máximo de horas disponibles por semana para trabajar de David cambia a cada uno de los siguientes valores: 35, 37, 39, 41, 43, 45. Después haga lo mismo cuando el único cambio es que los números de Diana cambian de la misma for- ma. Por último, repita el ejercicio cuando el único cambio es que el número máximo de horas disponibles por semana para trabajar de Lidia cambia a cada uno de los siguientes valores: 15, 17, 19, 21, 23, 25. E* i ) Genere el informe de sensibilidad de Excel y úselo para de- terminar el rango permisible para que la ganancia unitaria de cada tipo de reloj y el rango permisible del máximo número de horas disponibles que cada socio tiene para trabajar por semana conserve su optimalidad. j ) Para aumentar la ganancia total, los tres socios acordaron que uno de ellos aumentaría un poco el número máximo de horas de trabajo por semana. La elección se basa en quién aumentaría más la ganancia total. Use el informe de sensibilidad para realizar la elección. (Suponga que no hay cambio en las estimaciones ori- ginales de las ganancias unitarias.)
254 CAPÍTULO 6 TEORÍA DE LA DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
k ) Explique por qué un precio sombra es igual a cero. l ) ¿Es válido usar los precios sombra que se proporcionaron en el informe de sensibilidad para determinar el efecto si Lidia cam- biara su máximo de horas semanales de 20 a 25? Si es así, ¿cuál sería el incremento de la ganancia total?
de sensibilidad al usar Excel), que constituyen la base de los siguientes pasos. b ) Pase por alto las restricciones que no tienen incertidumbre res- pecto de sus parámetros (es decir, xj # 1 para j 5 1, 2,... , 6), identifique los parámetros del modelo que deben clasificarse como sensibles. ( Sugerencia: Vea la subsección “Análisis de sensibilidad” en la sección 4.7.) Si es posible, presente las reco- mendaciones pertinentes sobre qué parámetros deben tener una mejor estimación. c ) Analice el efecto de la falta de precisión en la estimación de cada parámetro de costo que se presenta en la tabla 3.14. Si el valor verdadero es 10% menor que el valor estimado, ¿alterará este cambio la solución óptima? ¿Cambiaría ésta si el valor verdadero fuera 10% mayor que el valor estimado? Recomiende cuál debe ser el centro de atención para realizar una mejor estimación de los parámetros de costo. d ) Considere el caso en que el modelo se convirtió a la forma de maximización antes de aplicar el método símplex. Utilice la tabla 6.14 para construir el problema dual correspondiente y use los resultados de aplicar el método símplex al problema primal para identificar una solución óptima para este problema dual. Si el primal se hubiera dejado en forma de minimización, ¿cómo se hubiera afectado a la forma del dual y al signo de las variables duales óptimas? e ) Para cada contaminante, utilice los resultados del inciso d ) para especificar la tasa de cambio del costo total de una solución óp- tima con cualquier cambio pequeño en la reducción requerida de la tasa anual de emisión del contaminante. Especifique también cuánto puede cambiar la reducción requerida (hacia arriba o ha- cia abajo) sin afectar la tasa de cambio del costo total. ƒ ) Por cada unidad de cambio en el estándar para las partículas que se presentó en la tabla 3.12, determine el cambio en la dirección opuesta para los óxidos de sulfuro que mantendría sin cambio el costo total de una solución óptima. Repita este procedimiento para los hidrocarburos. Después, hágalo en el caso de un cambio simultáneo e igual de los óxidos de sulfuro y de los hidrocarburos en dirección opuesta al de las partículas. g ) Si u denota el incremento porcentual de todos los estándares que se presentaron en la tabla 3.12, formule el problema de analizar el efecto de incrementos proporcionales simultáneos en estos es- tándares como un problema de programación lineal paramétrica. Después utilice los resultados del inciso e ) para determinar la tasa a la que aumenta el costo total de una solución óptima con un cambio pequeño en el valor de u a partir de cero. h ) Utilice el método símplex para encontrar una solución óptima al problema de programación lineal paramétrica formulado en el inciso g ) para cada u 5 10, 20, 30, 40, 50. Considere el incentivo de impuestos ofrecido por las autoridades de la ciudad, y utilice
m ) Repita el inciso l ) si, además del cambio de Lidia, también David cambiara su máximo de horas semanales de 40 a 35. I n ) Utilice el análisis gráfico para verificar la respuesta de m ).
■ CASOS
CASO 6.1 Control de la contaminación
Consulte el problema de la Nori & Leets Co., en la sección 3.4 (sub- sección llamada “Control de la contaminación”). Allí se mencionó que una vez que el equipo de IO obtuvo una solución óptima, llevó a cabo un análisis de sensibilidad. Se solicita al lector que reconstruya los pasos que siguió el equipo de IO, después de proporcionarle al- gunos antecedentes adicionales. Los valores de los parámetros para formular el modelo original se presentaron en las tablas 3.12, 3.13 y 3.14. Como la compañía no tiene experiencia previa en métodos de control de contaminación en estudio, las estimaciones de los costos que se incluyeron en la tabla 3.14 resultan inapropiadas y cada una puede estar equivocada hasta en 10% en cualquier dirección. También existe incertidumbre sobre los valores de los parámetros dados en la tabla 3.13, pero menos que sobre aquellos que se proporcionaron en la tabla 3.14. Por el contrario, los valores de la tabla 3.12 son estándares y, por tanto, son constantes preestablecidas. Sin embargo, todavía existen diferentes puntos de vista acerca del nivel en que se deben establecer estos estándares sobre las reduccio- nes requeridas de las tasas de emisión de los distintos contaminantes. En realidad, las cifras de la tabla 3.12 son valores preliminares tentati- vos que se acordaron antes de conocer los costos totales en los que se incurrirá para cumplirlos. Tanto las autoridades de la ciudad como los funcionarios de la compañía están de acuerdo en que la decisión final sobre los estándares debe basarse en un equilibrio entre los costos y los beneficios. Con esto en mente, las autoridades han concluido que cada incremento de 10% sobre los valores actuales de los estándares (los números de la tabla 3.12) tendrá un valor de $3.5 millones de dólares para la ciudad. Por ello, las autoridades acordaron reducir el pago de impuestos de la compañía en $3.5 millones de dólares por cada 10% de reducción de los estándares (hasta 50%) que ésta haya aceptado. Por último, se analizaron los valores relativos de los estándares para los tres contaminantes. Como se indica en la tabla 3.12, por ahora la reducción requerida de las partículas es menos de la mitad de la que se fijó para los óxidos de azufre o los hidrocarburos. Al- gunas personas piensan que debe reducirse esta discrepancia. Otras sostienen que se justifica una diferencia aún mayor, pues los óxidos de sulfuro y los hidrocarburos causan un daño mucho mayor que las partículas. Se llegó a la conclusión de que este asunto se volverá a examinar después de obtener información sobre los trueques dispo- nibles entre los estándares (aumento de uno y disminución de otro) sin que aumente el costo total.
a ) Utilice algún software de programación lineal para resolver el modelo que se formuló en la sección 3.4 para este problema. Además de la solución óptima, observe los resultados adicio- nales que proporcionó el análisis postóptimo (como el informe
