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ECONOMETRÕA I - Examen Final. Curso 2012/13. 28 de Enero 2013
Nombre...............................................Apellidos................................................................. Licenciatura:......................................Grupo: ..................................................................... NOTAS: - Debajo de cada coeÖciente estimado se encuentra, entre parÈntesis, su error est·ndar
- En todos los contrastes tome como nivel de signiÖcaciÛn = 0: 05 ; especiÖque la hipÛtesis nula y alternativa, el estadÌstico de contraste, la distribuciÛn del mismo bajo la hipÛtesis nula, la regiÛn de rechazo y la conclusiÛn del contraste.
- En cada uno de los apartados que requieran utilizar las tablas adjuntas, indique quÈ tabla o tablas ha utilizado para responder a dicho apartado.
- (2p) Considere el siguiente modelo que satisface los supuestos del MRL con errores normales:
log(wage) = 1 + 2 F emale + 3 N orth + 4 F emale N orth + 5 educ + u (1)
donde wage es el salario por hora en dÛlares, F emale es una variable binaria que toma el valor 1 si el individuo es mujer y 0 en caso contrario, N orth es una variable binaria que toma el valor 1 si el individuo vive en la regiÛn norte del paÌs y 0 si vive en la regiÛn sur; educ son los aÒos de educaciÛn. El n˙mero total de observaciones se denota por T:
(a) (0.5 p) Si se quisiera contrastar si la diferencia en el salario entre las mujeres que viven en el norte del paÌs y las que viven en el sur del paÌs es superior al 10%, øquÈ estadÌstico de contraste utilizarÌa? øCu·l serÌa su distribuciÛn bajo la hipÛtesis nula? (b) (1 p) Reparametrice el modelo (1) de modo que el contraste del apartado anterior se reÖera a un ˙nico coeÖciente : En el modelo reparametrizado, øcu·l serÌa la hipÛtesis nula, la hipÛtesis alternativa, el estadÌstico de contraste, la distribuciÛn de este estadÌstico bajo H 0 y la regiÛn de rechazo? (c) (0.5 p) Escriba un modelo equivalente al modelo (1) utilizando las variables binarias M ale = 1 F emale y South = 1 N orth de modo que el contraste del apartado a) se reÖera a un ˙nico coeÖciente. En este modelo equivalente, øcu·l serÌa la hipÛtesis nula y el estadÌstico de contraste? Solucion: a) (0.5p) Las medias condicionales de log(wage) para mujeres que viven en el norte y mujeres que viven en el sur son respectivamente:
E (log(wage)jF emale = 1; N orth = 1; educ) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 educ E (log(wage)jF emale = 1; N orth = 0; educ) = 1 + 2 + 5 educ
Por lo tanto, la diferencia en el salario entre mujeres que viven en el norte y mujeres que viven en el sur es de ( 3 + 4 ) 100% (puesto que la variable dependiente est· en logaritmos). Por lo tanto, el contraste que deberÌamos hacer es
H 0 : 3 + 4 = 0: 1 H 1 : 3 + 4 > 0 : 1
El estadÌstico de contraste que utilizarÌamos para realizar dicho contraste serÌa:
t = (^ SE^3 + ^ (^ 4 )^ ^0 :^1 3 + ^^4 )^
= q (^^3 + ^^4 )^ ^0 :^1 V ard (^ 3 ) + V ard (^ 4 ) + 2 covc (^ 3 ; ^ 4 )
tT 5 bajo H 0
b) (1p) Dado el contraste de hipÛtesis que hay que realizar, reparametrizamos el modelo uti- lizando = 3 + 4 : Por lo tanto, tendrÌamos que hacer el contraste:
H 0 : = 0: 1 H 1 : > 0 : 1
Despejando 3 = 4 ; y sustituyendo en el modelo (1), tenemos
log(wage) = 1 + 2 F emale + ( 4 ) N orth + 4 F emale N orth + 5 educ + u log(wage) = 1 + 2 F emale + N orth + 4 (F emale 1) N orth + 5 educ + u
El estadÌstico de contraste serÌa
t =
^ 0 : 1
SE
^
(^) tT 5 bajo H 0
y la regiÛn de rechazo serÌa (tT 5 ; ; + 1 ): c) (0.5p) Un modelo equivalente al modelo (1) utilizando las variables South y M ale es:
log(wage) = 1 + 2 M ale + 3 South + 4 M ale South + 5 educ + u
En este modelo, las medias condicionales de log(wage) para mujeres que viven en el norte y mujeres que viven en el sur son respectivamente:
E (log(wage)jM ale = 0; South = 0; educ) = 1 + 5 educ E (log(wage)jM ale = 0; South = 1; educ) = 1 + 3 + 5 educ
Por lo tanto, la diferencia en el salario entre mujeres que viven en el norte y mujeres que viven en el sur es de ( 3 ) 100% (puesto que la variable dependiente est· en logaritmos). Por lo tanto, el contraste que deberÌamos hacer es
H 0 : 3 = 0 : 1 H 1 : 3 < 0 : 1
SoluciÛn: a) El modelo (3) tiene una variable m·s que el modelo (2) y ambos tienen la misma variable dependiente. El coeÖciente de determinaciÛn del modelo (3) ser· por tanto mayor o igual que el R^2 del modelo (2), independientemente de cu·l sea el valor de 3 : Si 3 = 0 no podemos asegurar que los coeÖcientes de determinaciÛn ser·n iguales. Sin embargo, si ^ 3 = 0; puesto que ^ 1 = ^^1 y ^ 2 = ^^2 y por lo tanto ambas sumas residuales ser·n iguales, podemos asegurar que los coeÖcientes de determinaciÛn son los mismos en los dos modelos. FALSO. b) NÛtese que el tiempo medio que las mujeres dedican a dormir por semana es 0 : Por lo tanto, el intervalo de prediciÛn al 95% del tiempo medio que las mujeres dedican a dormir es:
[^^0 tT K; = 2 SE(es); ^^0 + tT K; = 2 SE(es)]
con SE(es) =
r ^^2 + V ard
^ 0
Si no se rechaza la H 0 frente a una hipÛtesis alternativa bilateral es porque
tT K; = 2 <
^ 0
SE
^ 0
(^) < tT K; = 2
y operando tendrÌamos que
^ (^0) SE
^ 0
tT K; = 2 < 0 < ^^0 + SE
^ 0
tT K; = 2
De modo que el 0 pertenece al intervalo de conÖanza al 95% para 0 ; que es m·s estrecho el intervalo de predicciÛn calculado anteriormente. Por lo tanto, el 0 debe estar incluido tambiÈn en el interior del intervalo de predicciÛn al 95% del tiempo medio dedicado a dormir por las mujeres. VERDADERO. c) Estamos en el contexto de un modelo donde se ha omitido una variable (n˙mero de hijos: nhijos) del modelo. Si esta variable es relevante, el hecho de que estÈ correlacionada con una de las variables incluidas en la regresiÛn provoca un sesgo en las estimaciones de todo el vector de par·metros ( 0 ; 1 ; 2 ): Por lo tanto, la aÖrmaciÛn del enunciado de que ˙nicamente sesga las estimaciones del coeÖciente de hwork es falsa. FALSA. d) Si la varianza de la variable dependiente es distinta para distintos valores de las variables explicativas es porque los errores son heteroced·sticos y por lo tanto su varianza tambiÈn ser· mayor para las mujeres que para los hombres. Si se viola el supuesto de homocedasticidad, el Teorema de Gauss-Markov no tiene por quÈ cumplirse. En este caso, es posible que exista un estimador lineal e insesgado con una variana menor que la del estimador de MCO. VER- DADERO. e) Puesto que este modelo sÛlo tiene una variable explicativa, el contraste de signiÖcatividad individual es equivalente a un contraste de signiÖcatividad global de la regresiÛn. El valor del estadÌstico de contraste del contraste de signiÖcatividad global es
F = R
(1 R^2 ) =T 2 =^
Puesto que F = t^2 y valor del coeÖciente estimado de X es negativo, podemos concluir que el valor del estadÌstico t de contraste para el constraste de signiÖcatividad individual es t =
p 48 = 6 : 92 : FALSO.
- (2.5p) Considere el siguiente modelo que relaciona el peso del bebÈ al nacer en gramos (bwght) con el n˙mero de visitas a la matrona (nvis), el sexo del bebÈ al nacer (babymale toma el valor 1 si el bebÈ es varÛn y 0 en caso contrario), el mes del embarazo en el que empezÛ el cuidado prenatal (month) y el n˙mero de cigarrillos a la semana que fuma la madre (cigs):
log(bwghtt) = 1 + 2 nvist + 3 nvis^2 t + 4 babymalet + 5 montht + 6 cigst + ut
Suponga que dicho modelo satisface todos los supuestos del MRL con normalidad. Con una muestra de 100 bebÈs, se han obtenido los siguientes resultados:
log(bwght^ d t) = 7 :9098 + 0: 0207 (0:0040)^ nvist^ ^0 (0:^00047 :00012)^ nvis
(^2) t + (4)
+0 (0: (^0243) :0097) babymalet + 0 (0: (^0129) :0043) montht (^0) (0:: (^0029) 0011) cigst SCR = 64 : 80
(a) (0.5 p) Interprete el coeÖciente estimado de babymale; de month y de cigs: (b) (0.5 p) Calcule de nuevo los coeÖcientes estimados y los errores est·ndar de la regresiÛn si el peso del bebÈ (bwght) se midiera en kilogramos (en lugar de gramos) y el n˙mero de cigarillos (cigs) se midiera en n˙mero de cigarillos al mes (en lugar de cigarillos a la semana- suponga que un mes tiene 4 semanas). Presente los resultados en una ecuaciÛn similar a la (4). (c) (0.5 p) Si tenemos en cuenta a bebÈs niÒas, cuyas madres empezaron el control de su embarazo en el segundo mes y que no fuman, øcu·l serÌa el n˙mero de visitas a la matrona que maximizarÌa log(bwght)? Explique quÈ ocurrirÌa si el n˙mero de visitas excediera dicho valor. (d) (0.5 p) Contraste mediante un intervalo de conÖanza al 95% si el n˙mero de cigarrillos fu- mados por la madre es una variable signiÖcativa para explicar el peso del bebÈ al nacer.
Se han obtenido adem·s las siguientes estimaciones utilizando la misma muestra de bebÈs:
log(bwght^ d t) = 7 :95 + 0: 018 nvist 0 : 0004 nvis^2 t SCR = 72: 62 (5) log(bwght^ d t) = 8 :10 + 0: 024 babymalet + 0: 0011 montht 0 : 0034 cigst SCR = 67: 44 (6)
(e) (0.5 p) Contaste si el peso del bebÈ al nacer depende del n˙mero de visitas de la madre a la matrona. SoluciÛn:
El modelo restringido a esta hipÛtesis nula es el modelo (6). En este caso utilizaremos el estadÌstico de contraste F en funciÛn de las sumas cuadr·ticas residuales:
F = (SCRSCR=r^ (^ TSCR k))^ =q Fq;t k bajo H 0
donde q = 2 y T k = 100 6 = 94: En este caso, el valor que toma este estadÌstico de contraste en nuestra muestra es F = (67 64 ::^4480 = (100^64 : 80) 6)^ =^2 = 1: 91
La regiÛn de rechazo para este contraste es (F 2 ; 94 ; 0 : 05 ; + 1 ) = (3: 093 ; + 1 ) : Puesto que el valor del estadÌstico de contraste no pertenece a la regiÛn de rechazo, no rechazamos la hipÛtesis nula al 5% de signiÖcaciÛn. Es decir, que el n˙mero de visitas a la matrona no es una variable signiÖcativa para explicar el peso del bebÈ al nacer.
- (3p) Utilizando una muestra de mujeres de Bostwana se ha estimado un modelo que relaciona la fertilidad con diferentes variables explicativas. El modelo poblacional, que cumple todas las hipÛtesis del MRL con errores normales, es:
childrent = 1 + 2 educt + 3 heduct + 4 catholict + 5 catholict educt + 6 catholict heduct +ut (7)
donde children es el n˙mero de hijos vivos, educ son los aÒos de educaciÛn de la mujer, heduc son los aÒos de educaciÛn del marido y catholic es una variable dummy que toma el valor 1 si la religiÛn de la familia es catÛlica y 0 en caso contrario. Estamos interesados principalmente en cuantiÖcar el efecto de la educaciÛn de la mujer y del marido sobre el n˙mero de hijos en este paÌs. Las estimaciones realizadas con esta muestra se encuentran en las tablas adjuntas.
(a) (0.5 p) Interprete el coeÖciente estimado de catholic del modelo (7): øCu·l es el efecto sobre el n˙mero medio de hijos de un aÒo adicional de educaciÛn de la mujer? (b) (0.75 p) Se desea contrastar con la informaciÛn proporcionada en las tablas que, para aquellas familias no catÛlicas, un aÒo adicional de educaciÛn del marido disminuye menos el n˙mero de hijos esperado que un aÒo adicional de educaciÛn de la mujer. Realice dicho contraste. (c) (0.5 p) Un investigador estima, utilizando ˙nicamente la muestra de mujeres catÛlicas, un modelo de regresiÛn cuya variable dependiente es el n˙mero de hijos y como variables explicativas una constante, la educaciÛn de la mujer y la educaciÛn del marido. Presente los coeÖcientes estimados que obtendrÌa este investigador en una ecuaciÛn. øCÛmo serÌan dichos resultados si utilizara ˙nicamente la muestra de no catÛlicas? (d) (0.75 p) Contraste si puede admitirse que el efecto marginal de un aÒo adicional de educaciÛn de la mujer y del marido son iguales para familias catÛlicas que para familias no catÛlicas.
(e) (0.5 p) øPor quÈ cabrÌa esperar que los aÒos de educaciÛn de la mujer y el marido estuvieran pos- itivamente correlacionados? Considere el siguiente modelo que ˙nicamente relaciona el n˙mero de hijos con la educaciÛn de la mujer y del marido
childrent = 1 + 2 educt + 3 heduct + vt
Un analista estima dicho modelo pero omitiendo los aÒos de educaciÛn del marido. En el modelo estimado por dicho analista, øestarÌa el coeÖciente de la educaciÛn de la mujer sesgado o insesgado? Si est· sesgado, øcu·l serÌa el signo del sesgo? SoluciÛn: a) (0.5p) El coeÖciente estimado de catholic es 0.4739. AsÌ, considerando sÛlo aquellas familias donde ni la madre ni el padre tienen ning˙n aÒo de educaciÛn, aquellas familias que son catÛlicas tienen de media 0.4739 hijos m·s que las familias no catÛlicas. El efecto sobre el n˙mero de hijos de un aÒo adicional de educaciÛn de la mujer es: @childrent @educt^ =^2 +^5 catholict Las estimaciones del modelo con la muestra pues seÒalan, que un aÒo adicional de educaciÛn m·s en las mujeres, manteniendo el resto de los factores constantes, disminuye en media el n˙mero de hijos en 0.1271 para los no catÛlicos (^ 2 = 0 : 1271 ) y en 0.1649 para los catÛlicos (^ 2 + ^ 5 = 0 : 1271 0 : 037841 ). b) (0.75p) El contraste que queremos realizar es
H 0 : 3 = (^2) H 1 : 3 > (^2)
El modelo restringido a la hipÛtesis nula es
childrent = 1 + 2 (educt + heduct) + 4 catholict + 5 catholict educt + 6 catholict heduct + ut childrent = 1 + 2 (educ_parentst) + 4 catholict + 5 catholict educt + 6 catholict heduct + ut
donde educ_parents = educ + heduc y cuyas estimaciones se encuentran en la Tabla 2. Uti- lizaremos el estadÌstico de contraste F en funciÛn de las sumas cuadr·ticas residuales:
F = (SCRSCR=r^ (^ TSCR k))^ =q Fq;t k bajo H 0
donde q = 1 y T k = 2000 6 = 1994: En este caso, el valor que toma este estadÌstico de contraste en nuestra muestra es
F =
9196 : 639 = 1994 = 6:^5731
Puesto que tenemos que realizar un contraste unilateral, obtemos el estadÌstico t de contraste a partir de la relaciÛn F = t^2 : En este caso, ^ 3 ^ 2 = 0 :0579 + 0: 1271 > 0 y por lo tanto,
nivel educativo suelen tener parejas con bajo nivel educativo tambiÈn, de modo que la cor- relaciÛn entre ambas variables es postiva (esto se conoce como positive assortative matching). Supongamos que el analista estima el siguiente modelo:
childrent = 1 + 2 educt + "t
Entonces, el sesgo del estimador de MCO del par·metro 2 ser·
sesgo (^ 2 ) = E (^ 2 ) 2 = 3 Seduc;heduc S 2 educ
, el cual es negativo puesto que Seduc;heduc > 0 -tal y como acabamos de explicar- y 3 esperamos que sea negativo (a mayor educaciÛn del padre, menos numero de hijos).
Anexo. Tablas estadÌsticas t 94 ; 0 : 05 = 1: 6612 t 94 ; 0 : 025 = 1: 9855 F 2 ; 94 ; 0 : 025 = 3: 8375 F 1 ; 94 ; 0 : 025 = 5: 1887 t 95 ; 0 : 05 = 1: 6610 t 95 ; 0 : 025 = 1: 9852 F 2 ; 94 ; 0 : 05 = 3: 093 F 1 ; 94 ; 0 : 05 = 3: 9423 F 2 ; 95 ; 0 : 025 = 3: 8359 F 1 ; 95 ; 0 : 025 = 5: 1869 F 2 ; 95 ; 0 : 05 = 3: 092 F 1 ; 95 ; 0 : 05 = 3: 9412 F 1 ; 1994 ; 0 : 025 = 5: 0314 F 2 ; 1994 ; 0 : 025 = 3: 6957 t 1994 ; 0 : 025 = 1: 9611 F 1 ; 1994 ; 0 : 05 = 3: 8461 F 2 ; 1994 ; 0 : 05 = 3: 0002 t 1994 ; 0 : 05 = 1: 6456
TABLA 1.
Dependent Variable: CHILDREN TABLA 2.(la variable EDUC_PARENTS se define como EDUC_PARENTS=EDUC+HEDUC) Dependent Variable: CHILDREN TABLA 3. Dependent Variable: CHILDREN
- Included observations: Method: Least Squares - C 4.366194 0.082442 52.96069 0. Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. - EDUC -0.127169 0.016027 -7.934565 0. - HEDUC -0.057965 0.014228 -4.074063 0. - CATHOLIC 0.473905 0.315733 1.500967 0. - CATHOLIC*EDUC -0.037841 0.056255 -0.672663 0.
- CATHOLIC*HEDUC 0.018008 0.044445 0.405179 0.
- R-squared 0.105816 Mean dependent var 3.
- Adjusted R-squared 0.103523 S.D. dependent var 2.
- S.E. of regression 2.171687 Akaike info criterion 4.
- Sum squared resid 9196.639 Schwarz criterion 4.
- Log likelihood -4289.326 Hannan-Quinn criter. 4.
- F-statistic 46.15180 Durbin-Watson stat 1.
- Prob(F-statistic) 0.
- Included observations: Method: Least Squares - C 4.344889 0.082127 52.90465 0. Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. - EDUC_PARENTS -0.090039 0.006520 -13.80884 0. - CATHOLIC 0.495210 0.316060 1.566823 0. - CATHOLIC*EDUC -0.074971 0.054391 -1.378373 0.
- CATHOLIC*HEDUC 0.050082 0.042666 1.173822 0.
- R-squared 0.102868 Mean dependent var 3.
- Adjusted R-squared 0.101029 S.D. dependent var 2.
- S.E. of regression 2.174706 Akaike info criterion 4.
- Sum squared resid 9226.955 Schwarz criterion 4.
- Log likelihood -4292.544 Hannan-Quinn criter. 4.
- F-statistic 55.92714 Durbin-Watson stat 1.
- Prob(F-statistic) 0.
- Included observations Method: Least Squares - C 3.466097 0.054375 63.74423 0. Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. - CATHOLIC 1.374002 0.324280 4.237088 0.
- CATHOLIC*HEDUC -0.039957 0.044165 -0.904720 0.
- CATHOLIC*EDUC -0.165010 0.056562 -2.917353 0.
- R-squared 0.015186 Mean dependent var 3.
- Adjusted R-squared 0.013672 S.D. dependent var 2.
- S.E. of regression 2.277920 Akaike info criterion 4.
- Sum squared resid 10128.77 Schwarz criterion 4.
- Log likelihood -4383.743 Hannan-Quinn criter. 4.
- F-statistic 10.03316 Durbin-Watson stat 1.
- Prob(F-statistic) 0.
