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MANUEL AHIJADO PILAR GRAU DOMINGO BARRIO EJERCICIOS PARA INTRODUCCIÓN A LA MICROECONOMÍA DE ADE q asa Va E EDICIONES ACADÉMICAS, S.A. Este libro es un bien público, Nadic tiene derecho a subrayarlo ni a anotarlo. El infractor deberá reponer el documento o reintegrar el importe del mismo. Prólogo a la tercera edición (2006) y al CD Rom (versión 4.0) ...... 9 Prólogo a la segunda edición y al CD Rom (versión 3.5) ..... és 11 Prólogo al libro de ejercicios y al CD Rom (versión 3.0) (primera edición) ......... 13 Capítulo 1. Introducción a los mercados ...... 15 Reservados todos los derechos. e ñ Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedi- Capítulo 2. Desmanda, elasficidad € ingresos 21 miento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética, o cualquier al- Capítulo 3. Producción, costes y oferta ..... 119 macenamiento de información y sistema de recuperación, sin permiso escrito de Ediciones y . Académicas, S. A. Capítulo 4. Competencia perfecta: productos y factores .... 159 Capítulo 5. Monopolios con varias plantas, monopsonio, discriminación de pre- cios y demanda de factore. 179 Capítulo 6. Oligopolio, competencia monopolística y estrategias .. 201 (O Manuel Ahijado, Pilar Grau, Domingo Barrio Capítulo 7. Determinación de precios en condiciones de mark-up, incertidum- O EDICIONES ACADÉMICAS, S. A. bre, información y teorías manageriales Bascuñuelos, 13 - P - 28021 Madrid Capítulo 8. Microeconomía del Sector Público .... 233 ISBN: 84-96062-68-6 (Tomo IM) 4 as : m Ñ z E ISBN: 84-96062-66-X (Obra completa) Capítulo 9. El equilibrio conjunto de todos los mercados: de la Micro a la Ma: Depósito legal: M. 36.552-2006 croeconomía ... Bibliografía ....... Compuesto e impreso en Fernández Ciudad, S. L. Coto de Doñana, 10. 28320 Pinto (Madrid) Impreso en España/Printed in Spain ÍNDICE Sea un mercado cuyas funciones de demanda y oferta de libros de Arte Manierista son respectivamente: x” = 90 — p, * = —10 + 3p. Hallar el precio y la cantidad de equilibrio (las cantidades se miden en unidades físicas por mes y los precios en euros por unidad de libra). La función de demanda sólo contiene una variable independiente, el precio, por lo que el resto de los factores que la afectan se considerarán incluidos en la cláusula cacterís paribus (todo lo demás constante) La primera ecuación indica cuando el precio es cero los demandantes con- juntamente estarán dispuestos a demandar 90 libros y que cuando el precio es 90 unidades de cuenta (por ejemplo, euros) que la cantidad demandada sería nula. El signo menos denota la re- lación inversa entre los movimientos de los precios y de las cantidades. La función de oferta se- fala que a un precio cero los oferentes ofrecerían —10 unidades (quizás una señal para generar órdenes al departamento de producción de no producir y/o acumular en los almacenes 10 unidades) y que cuando el precio es 15, por ejemplo, la cantidad ofrecida sería 35. Como las su- ponemos a ambas lineales basta obtener dos puntos de las mismas. La condición de equilibrio del mercado es: xp) = (0) = xp) que en este caso concreto tiene la siguiente especificación: 90 -— p=-—10+3p Operando: 100 = 4p de donde p= 25 y calculando la oferta y demanda, agregada de mercado en este caso: (25) =90— p=90- 25 =65 4(25) = —10+3-25=65 Figura 1.1 16 EJERCICIOS PARA INTRODUCCIÓN A LA MICROECONOMÍA DE ADE Se comprueba que coinciden; es decir, que a ese precio la cantidad que desean demandar los demandantes y ofrecer los oferentes (sobre sus respectivas ecuaciones o curvas) ambos con- juntamente, son iguales. Nótese las pendientes negativas y positivas respectivamente de las curvas de demanda y ofer- ta de mercado, reflejando la conducta discutida antes. Variaciones en los precios y ajustes de mercado Suponga que en el ejercicio del ejemplo anterior la demanda ha variado hasta ser x" = 110 — p. Obtenga el equilibrio del mercado y compárelo con el anterior. Mientras el precio de mercado no cambie y no cambien los parámetros (los valores 90, 1, 10, 3, en valor absoluto o prescindiendo de los signos, en el ejercicio anterior) o algunas de las va- riables contenidas en la ciánsula ceterís paribxs, el modelo se replicaría por unidad de tiempo, semana a semana, elc., por ejemplo, y continuaría prediciendo que el precio de equilibrio es 25 euros (y la cantidad de equilibrio 63 libros). Pero en el nuevo enunciado el parámetro inde- pendiente de la función de demanda a pasado a ser 110, lo que hace desplazar paralelamente la curva hacia la derecha (la pendiente —1 no se ha alterado porque los precios no han variado), obteniendo un nuevo precio de equilibrio de 30 y una nueva cantidad de equilibrio de 80. Todo ello parece razonable y esperado: la mayor demanda con una oferta dada hace aumentar el pre» cio, pero a ese precio los oferentes están dispuestos a ofrecer 15 unidades más que antes satis- faciendo la demanda adicional. Figura 1.2 Tr INTRODUCCIÓN A LOS MERCADOS Podemos utilizar el modelo algebraico para comprobarlo desde otro ángulo. La condición de equilibrio xp) = x*(p) = x(p) ahora es 110 — p = —10 + 3p de donde operando se obtiene 120 = 4p por lo que p = 30. Sustituyendo: 430) = 110 — p= 110— 30=80 30) = -10 + 3-30 80 con los mismos comentarios que antes. Debe apreciarse que aunque tan sólo ha variado la demanda, el precio viene determinado por las dos fuerzas, la oferta y la demanda; y la elevación del precio ha llevado también a ofrecer más y a demandar más, ambas a lo largo de las curvas respectivas. Si con xp) del Ejercicio 1.2 el precio hubiera permanecido en 30 euros (digamos por una intervención gubernamental) ¿cuál sería la cantidad demandada y cuál la ofrecida? y ¿cuál sería la reacción que cabría esperar del mercado? Sin más que sustituir este precio en las funciones de demanda y oferta respectivas: (30) = 90 — p=90—30=60 (30) = — 10 + 3-30 =80 Naturalmente, como el precio es superior al de equilibrio (debemos suponer que es un precio mínimo para que la restricción sea operativa), se crea un exceso de oferta, Si un mercado viene representado por las siguientes funciones de oferta y deman- da: x= 7 + 3,8p, X= 60 — 1,5p. Obtener precio y cantidad de equilibrio, No se identifican las curvas de oferta y demanda en el enunciada, pero son ya autoevidentes (debido a las condiciones de signo de las pendientes mientras no se especifique lo contrario). La primera ecuación es la de oferta y la segunda la de demanda. Aplicando el procedimiento ya conocido, sustituyendo en la condición de equilibrio, x == 4% 5,3p= 53; p = 10, Sustitu- yendo en “(0 en x): x=7+3,8-: 10 7+38=45 18 EJERCICIOS PARA INTRODUCCIÓN A LA MICROECONOMÍA DE ADE Figura 1.3 Excedentes del consumidor y del productor =JERCICIO 1.6. Sea una función de demanda como, x= a— bp = 50 — 2p. Calcule ta variación del excedente del consumidor en las dos siguientes situaciones: a) si p pasa de 5 a 4, y; b) si p pasa de 5 a 10. = 5, entonces x = 50 — (2: 5) = 40; = 4, entonces x= 50 — (2: 4) =42, Gráficamente en la figura 1.4 sabemos que bajo ciertos supuestos la variación en el exce- dente es un triángulo cuya área se calcula como un triángulo más un rectángulo, o bien un . (base altura) 2-*1 a) En el primer caso, y por otro lado, si: p trapecio: =1l, p 2 2 Pp 25 al 4 40 42 50% Figura 1.4 19 INTRODUCCIÓN A LOS MERCADOS Por ta misma razón apuntada en el ejercicio anterior el exceso de demanda al precio del enunciado es: E y acicio 1.19. x-x=80-30=30 ' ivi Dado un mercado con funciones de oferta y demanda: x= 140 — Ipy x= -20+ A nenas + 5p, si el precio mínimo fijado por la autoridad económica fuese de 15 unidades ¿cuál sería la cantidad intercambiada en el equilibrio? Nótese que este es un caso distinto de los anteriores; técnicamente sería un error de la autori dad, porque la restricción sería la que no fuera operativa y el mercado funcionaría como si esta no existicra. Si el precio es 15 (inferior al de equilibrio) en el mercado se intercambiará la can- tidad de equilibrio, luego: Precios intervenidos “Exencició 1.11. d=140 - 3p=-—20 + 5p=x =2 =80 Dadas las siguientes funciones de oterta y demanda de mercado x* = 10,000 + += 140 — 3p 20 +5p=x P + + 110p, x” = 20.000 — 90p. ¿Cuántas unidades se venderían de xX si se establece un precio máximo de 40 unidades de cuenta? Teorema de la tela de araña Primero igualando oferta a demanda obtenemos el precio de equitibriv: 200p = 10.000 p=50 precio de mercado Como el precio máximo €s Py = 40 que es menor que el precio de equilibrio se vende la can tidad del lado de la oferta: Si en un mercado la función de oferta x¿= 2p,_, y la situación inicial es p=2 y x= 4, y la función de demanda es xf= 10 — ps (a) ¿Cuál sería el precio de equilibrio?; (b) ¿El modelo converge ai equilibrio?; y, (c) Establecer gráficamente la secuencia de precios y cantidades para los dos siguientes períodos partiendo de un precio ini- cial p,= 4. 14.400 = 10,000 + 110 - 40 = y El lado de la demanda estaría dispuesto a comprar 16.400, es decir, (20.000 — 90 » 40), pero el lado corto restringe. Nótese gue ignoramos calcular el precio de mercado porque en este caso (el del enunciado) no es operativo Es un caso de modelo de telaraña o ajuste retrasado de los precios. Gráficamente los dalos po- drían representarse como: Evercicio 1:12. Pur Pres Dadas las siguientes funciones de oterta y demanda de mercado x* = 10.000 + + 110p, x" = 20.000 — 90p ¿Cuántas unidades se venderían de x si se establece un precio mínimo de 60 unidades de cuenta? 10 x=10-p . o . . . . p.= 3,33; x, = 6,66 Por el mismo procedimiento por las mismas razones que en el ejercicio anterior, el lado corto : impone su ey y, podemos a calcularlo directamente sobre la función de demanda, gue ahora es el lado corto: 3,33 11 = 20.000 — 90(60) = 14,600 al 6i7 556 10 4 Nótese que ignoramos calcular el precio de mercado porque en este caso, como en el anterior, no es operativo, Figura 1.8 22 EJERCICIOS PARA INTRODUCCIÓN A La MICROECONOMÍA DE ADE 23 INTRODUCCIÓN A LOS MERCADOS Curva de transformación : Esercicio 1.15... Dada la curva de transformación cañones por mantequilla siguiente ¿Cuál es el cos- te de oportunidad de una unidad más de mantequilla partiendo de 4?: Cañones Mantequilla Figura 1.7 Al ser la frontera una línea recta la proporción de las unidades intercambiadas (el aumento de una de uno implica la reducción de una del otro) de un bien y otro que muestra es constante y en este caso unitaria por construcción, al formar la frontera un ángulo de 45" con los ejes; es decir, que el ratio de las variaciones de las unidades de mantequilla y cañones es 1. EveRciciO 1.16: Con la curva de transformación siguiente ¿cuál es el coste de oportunidad de una unidad más de mantequilla partiendo de A? 24 EJERCICIOS PARA INTRODUCCIÓN A LA MICROECONOMÍA DE ADE Cañones Mantequilla Figura 1.8 En este caso la curva de transformación o frontera de posibilidades de producción es cóncava respecto al origen de coordenadas. Por construcción se observa que el ratio es mayor que 1 (> 1). Nótese que en el ratio el numerador aparecen los cañones y que el número de unidades de mantequilla es cada vez menor en la dirección de movimiento partiendo de A hacia la de- recha (menor que 1), por lo que el cociente es mayor que la unidad. Con la curva de transformación siguiente ¿cuál es el coste de oportunidad de una unidad más de mantequilla partienda de 4? En este caso (convexa) menor que 1 (< 1). Véanse las dos respuestas a los dos ejercicios previos. Cañones Mantequilta Figura 1.9 25 INTRODUCCIÓN A LOS MERCADOS Recta de balance EJERCICIO 2,2. Dibuje los gráficos de la restricción presupuestaria y el conjunto factible definidos Por: pyX, + p2X = y, si los precios son p, = 1, p. = 2, y la renta, y = 4, para los si- guientes casos: a) aumentan los preclos y la renta en la misma proporción; b) el consumidor recibe una herencia de dos unidades de renta; c) existe una oferta del bien 1, por el que se regalan las dos primeras unidades, y; d) se produce un des- cuento dei 50 por ciento en el precio del bien 2. Es inmediato que la restricción se puede escribir, en ausencia de ahorro, como: x+2=4 por lo que tomando los casos extremos siguientes: 220 x=4 4 1=0 2 =4 n==2 la misma queda establecida geométricamente, en la figura 2.1, Nótese, que al ser una restricción presupuestaria recta, basta obtener dos puntos de la misma, por ejemplo los extremos. La pendiente de la restricción presupuestaria es: e Y o Figura 2.1 28 EJERCICIOS PARA INTRODUCCIÓN A La MICROECONOMÍA DE ADE Los casos del enunciado se entienden como alternativos, a) Aumentan precios y renta en la misma proporción, por ejemplo en un 100 por ciento, al cambiar el gobierno la unidad de cuenta multiplicándola por dos, entonces: 2x +4 <8 y del mismo mode que antes: 8 =0 _=d¿d % > 0 8 = x= — x ] 4 es decir, las cantidades permanecen inalteradas, como sabemos por la teoría. b) El consumidor recibe mediante herencia 2 unidades. La renta o disponibilidad para el gas- to queda suplementada en dos unidades, por lo que su representación es: x1+23=6 La pendiente no ha variado, porque los precios no lo han hecho, pero las cantidades obvia- mente si, siendo las máximas potenciales: x=0 x1=6 x=0 1-3 mayores -lógicamente— al haber aumentado la renta caeteris paribus, que las anteriores, fi- gura 2.2. X D Figura 2.2 29 DEMANDA, ELASTICIDAD E INGRESOS 0) Hay una oferta del bien 1, por la que se regalan las dos primeras unidades, pagándose a su ae poema el resto de las unidades adquiridas. Es fácil observar el efecto, gráficamente Función de utilidad: transformaciones agua 3), sin que se requiera más comentarios; es como si el eje del bien 2 se hubiera des- plazado hacia la derecha, y como se apareciera una recta de balance marginal (la recta de balance a partir de ese EJ P punto). ¿EJERCICIO 2.3. % |. Dada una función de utilidad ordinal, y = X(x), donde x representa vectores o com- binaclones de bienes, discuta si las siguientes son, o no, así mismo, funciones de utilidad admisibles: 24; u?; y + 5; log us In Lo son, al ser todas transformaciones manótonas de la primera. Si los índices de u son 1,2,3, 4, os índices de 2u serían 2, 4, 6, 8. Lo mismo ocurre con las restantes transformaciones. “Esencicio 2.4. E Discuta la veracidad o falsedad de la siguiente proposición, demostrándola mate- Figura 2.8 máticamente: «las funciones de utilidad son relaciones monótonas crecientes, pero no tiene sentido hablar del crecimiento o decrecimiento de la utilidad marginal». d) Se produce un descuento del 50% en el preci i i ; jo de bi E ra unida : - : . : se hi recta queda ahora modificada como eo 24: e bien 2, a partir de la primera unidad. La Si aumenta x, es decir la cantidad de un bien, todas las cantidades de los demás bienes cons- tantes, y aumenta, es decir, la utilidad marginal, x,, cs positiva, siendo este signo igual para to- % das las funciones de utilidad -como un supuesto—, y para todas las representaciones posibles de las preferencias, salvo casos especiales en algún sentido, que se apreciarán en otros ejercicios. Pero la tasa de variación de la utilidad, la variación de la variación, la magnitud de la utilidad marginal, y el signo de la misma no son inequívocos para todas las funciones concebibles. En efecto, sea h una transformación monótona creciente de la función ¿d(x): h=flu00] siendo f'= — >0 03 entonces: o ah , Eh =f Figura 2.4 dx, += 2 2, 0h . , : Ata Y, como f” y ., son ambas positivas, lo es también eo es decir, el signo de hy es el mismo que lx Pa itual: rque al modo habitual: el de «, y (h, ++ 14). Ahora bien, la tasa de variación de hy respecto de x, lo proporciona la se- ' gunda derivada: s1=0 x= six, =0 .=4 E oz eh E Bx ax 30 EJERCICIOS PARA INTRODUCCIÓN A La MICROECONOMÍA DE ADE: 31 DEMANDA, ELASTICIDAD E INGRESOS. EJERCICIO EJercIcio 2.7... Comente la siguiente propasición: «el precio de un bien en el equilibrio, indica la cantidad de otro bien que el consumidor está dispuesto a entregar, para obtener una cantidad infinitesimal del primero», La proposición es cierta. Sabemos que la curva de demanda x F(p,), se puede escribir en su Torma inversa coro p, = f(x), pero también hemos derivado anteriormente que, en valor abso- luto, la relación marginal de sustitución es igual al cociente invertido de los precios RMS] = te Pb de donde, despejando p, = RMSip, e igualando, p, = fx) = RMS] - p, que se cumple para los va- lores de equilibrio. Pero, recordando la interpretación que damos a la relación marginal de sus- tilución, podemos afirmar, si suponemos que el precio del bien ¿es 1, por simplificación, que el precio de ¿ indica la cantidad de j que estaría dispuesto a entregar para obtener una pequeña (in- finitesimal) cantidad de í, o serle entregado para desprenderse de dicha cantidad. Convexidades: función de utilidad Sea una función de utilidad, u = x, + ax, donde a es un parámetro positivo. Analice la convexidad de la función. Está claro que la ccuación es una línea recta. Dando valores extremos: =six=0 x= : u 5 x=0 == a *X u -1a o ula Xx Figura 2.6 34 EJERCICIOS PARA INTRODLCCIÓN A LA MICROECONOMÍA DE ADE Operando, en el caso general (x, y x, ambos distintos de cero): Ly a a a la pendiente es: 3 1 Le da a para nuestros supuestos; indica la tasa constante a la que el consumidor está dispuesto a inter- cambiar los dos bienes. Y la segunda derivada: luego es matemáticamente convexa en el sentido discutido en la teoría. Equilibrio del consumidor y funciones de demanda Dada la función de utilidad (Cobb-Douglas) u = 322% halle las utilidades margina- les, la relación marginal de sustitución y las funciones de demanda. Calculando las derivadas parciales (utilidades marginales) du l 4 = — = Ta ro 0 dx du ya dy == sa >0 20m 2 ambas son positivas. Por otro lado: ? 1 Pu — e ZO óx 35 DEMANDA, ELASTICIDAD E INGRESOS es decir, la utilidad marginal es decreciente. La relación marginal de sustitución es fácil de ob- tener, sin más que sustituir: a 1 142. A y ga assi Da ES de laa mm 2% pero, como sabemos por teoría que debe cumplirse RMS? = 2. Pa Am-2 Pa X y multiplicando: PL = px y sustiluyendo en la restricción presupuestaria: Y = PaXa + pix, = 2pax, = 2p,x1 y 2p; 2m= 2 2p» e s j Í que son las fimciones de demanda. Debe apreciarse que las demandas no son totalmente ge- neralizadas, ya que la de cada bien de; ó > y -pende de la renta y, tan sólo, del i io bi y no del precio de los demás bienes (en este caso del 0 bien). dE precio dal propio bien, o e u= 1 halle e interprete las utilidades marginales res- us variaciones. Compárelas con fas del ejercici halle también la relación ñ itució Mciones de demanda, y t marginal de sustitución y las ] y compárelas así mismo. y funclones de demanda, y Sin más que derivar, obtenemos las utilidades marginales; de ES 2 2 ÓXz j 36 EJERCICIOS PARA INTRODUCCIÓN ALA MICROECONOMÍA DE ADE ambas positivas. El orecimiento o decrecimiento, como ya sabemos, viene indicado por la de- rivada segunda, por ejemplo, respecto al bien 2: Pu > —=2%4>0 9x3 la utilidad marginal es creciente, por tanto, Debe apreciarse que la función de utilidad es igual a la del ejercicio anterior elevada a 4 (o dos veces al cuadrado) Luego es una transfor- mación monótona de aquella. Por otro lado: Aa rust= La Pa 20, A, de ARA dx 2 ETE Pz A PAS PA Y = Pp + pt 2 2 y y a => 2p, 2p, A= que son idénticas a las del ejercicio anterior, con todas las implicaciones e interpretaciones. Nó- tese que hemos obtenido, en ambos casos, las funciones de demanda sin el recurso a la función auxiliar de Lagrange, e incluso adelantándonos a la discusión del equilibrio del consumidor, as- peclo que discutimos en el siguiente ejercicio. JEAcIcIO 2:10. Dada la función de utilidad, u = x,x, hallar el equilibrio del consumidor individual y las funciones de demanda normales a marshallianas, Formando la función auxiliar de Lagrange: 5 = 290 + MY — Pra — Pa) y derivando, se obtienen las condiciones de primer orden: 3 DEMANDA, ELASTICIDAD E INGRESOS Cuando la renta pasa a 180: % 7 225 Como cuando aumenta la renta, aumenta el consumo de ambos bienes, la curva de renta-con- sumo es creciente, Gráficamente: % 45 Curva renta-consurno 22,5 11,25 a o 15 30 50 Xx Figura 2.7 Como cuando aumenta la renta se produce un aumento en el consumo de ambos bienes, se pue- de afirmar que ambos son normales. EJercicio 2.12. Obtenga el equilibrio del consumidor y sus funciones de demanda para una función de utilidad Cobb-Douglas, u = x3x%. El problema primal es, en este caso: máx 1 =xk 54. PiX] + pax = y pero la función objetivo se puede escribir como: h«=0lx +bhx 40 EJERCICIOS PARA INTRODUCCIÓN A 1.1 MICROECONOMÍA DE ADE por lo que el problema de óptimo, máximo ahora, se reescribe como: máx ha=alx + b10x Sa. px hp y Formando la función auxiliar de Lagrange: S=alnx, + blnx, — Mpx, + paa — y) se obtienen las condiciones de primer orden, al modo habitual: d Lota =0 bp, a= Apo 9x1 x x EX] b b =— M0. —=Ma dm A Ox, ES - os TF px pa y=0 JA PAT Pr Sumando ahora a y b: a+ b=Mpi + pam) = Ay de donde: atb y y sustituyendo en las condiciones de primer orden; por ejemplo, en la primera: a (=> => Pr x y == " arb Pr función de demanda marshailianan, del bien 1. Por analogía se obtiene la del 2. b Y x= 27 a+b Pa Estas funciones son típicas Cobb-Douglas, ya que no dependen de los precios de los demás bie- nes, como ya ohservamos antes, en este caso el otro bien, en tanto que sólo hay uno. Nótese la 4 DEMANDA, ELASTICIDAD E INGRESOS i las condiciones de primer orden son, directamente: homogeneidad que presentan las fanciones de demanda; en efecto, multiplicando los precios y la renta por, por ejemplo, ju: 1 Uy = Na 4 20 WY__2 Y a+b pp a+b op, 4 = 5 p= bow__ by a+b up, a+b p de donde: las demandas quedan inaltcradas, luego son homogéneas de grado cero. Debe apreciarse tam- 1 1 bién que, si la función de demanda para el bien 2, es: qa A b y Pp p: x= 2 ! ? a+b op y entonces, la participación de dicho bien en el gasto total es: Po = PA m3 Pl pr y ¿LA == y». —_— e = —— o y 7 y a+bp ab e 2941 = 2ppa + Y y por analogía: por lo que las funciones de demanda son: Pro PM PA y yo y ab op a+b y Luego, el gasto en cada bien es una fracción constante de la renta, siendo la proporción esta- blecida por el exponente correspondiente a cada bien en la función de utilidad original, En este caso, el parámetro L es un multiplicador que varía el valor del índice de utilidad, para ? 4 unas x, y 12 dadas. No allera estas últimas ni, en consecuencia, el producto 1,47. EJBRCICIO 2.13. La a 1 a Sea la función de utilidad, w = 6 X,X, halle las funciones de demanda y el índice Efectos sustitución y renta de utilidad. Por el procedimiento de ejercicios anteriores: Si la tunción de utilidad de un consumidor es 4 = (x, — 4)(% — 1) los precios de los bienes p, = 15; p, = 1 y la renta y = 121 cuando el precio del bien x, disminuye en una unidad el efecto renta de Siutsky es: A Máx ——XpxX; 4 LaEa Sd pxt pay , 43 42 . DEMANDA, ELASTICIDAD E INGRESOS EJERCICIOS PARA INTRODUCCIÓN A LA MICROECONOMÍA DE ADE Esencicio 2.16. Si la recta de balance de un consumidor es y = p,X, + p,X, = 100 =4-15+2-20 y el precio del bien 1 cae un 25%, ¿cuál es el nuevo gasto nominal? ¿ cuál será la compensación por el método de Slutsky?: La combinación inicial de demanda de los dos bienes es (15, 20) respectivamente, y la nueva recta de balance: 3-15+2-20=35 + 40 =85 Luego al consumidor se le deben compensar 15 unidades monetarias negativas (100 — 85). EJERCICIO 2.17. Dada la función de utilidad y = 2 log x, + 4 log x, donde x, y x, san bienes. Si de- du nominamos y a la renta, ¿entonces ay es? La función auxiliar es: S=2 108 x, + 4 log 2 — A(piX, + poa — y) y las condiciones de primer orden: 2 —-Ap=0 A 4 —-Ap=0 Ya pu t+pa—y=0 de donde: multiplicando: Disp — Apia Yapa = 291, 46 EJERCICIOS PARA INTRODUCCIÓN A Lá MICROECONOMÍA DE ADE y sustituyendo en la restricción presupuestaria: y = xpr obtenemos las funciones de demanda: y n= — 3p, 2y >= 2 3p, que sustituidas ahora en la expresión para A: re (10= 2. £ Bl xp Y Variaciones en los parámetros: curvas precio-consumo E JéncIcio 21 8. Sea un consumidor cuya función de utilidad viene descrita por u = 323%, quien se enfrenta a unas precios paramétricos p, = 3, p, = 4, y cuya renta es de 90 unidades de cuenta. Si el precio del bien 1 pasa a ser 6 unidades, obtenga la curva precio- consumo, y establezca la curva de demanda. De las primeras condiciones de óptimo: 4 EMS = HP Ha Pa que en este caso es: — e a Iago 4 3 ho = 3x, x= Ey Y_ DEMANDA, ELASTICIDAD E INGRESOS y sustituyendo en la ecuación presupuestaria: »= pu + pa = 90 = 3x, + 4% y para la expresión de xa: 3 3 +4— x= 90 4 x=15 y 2=1125 Si el precio del bien 1 pasa a ser de 6 unidades, entonces, la restricción presupuestaria cam- bia a: y = prox + paña = 6% + 4 = 90 de donde, por el procedimiento ya bien conocido, las nuevas cantidades de equilibrio son: x=75 x= 11,25 Gráficamente: Ka 225h 11,25 o 75 15 158 333 X Figura 2,8 Figura 2.9 48 EJERCICIOS PARA INTRODUCCIÓN A 1.A MICROECONOMÍA DR ADE Esencicio 2.19. Obtenga las demandas compensadas o hicksianas para la función de utilidad U= XX El problema dual del habitual problema de optimización del consumidor, de maximización, O primal, es: mín px + Paz Sa. U=Xx donde ahora la restricción anterior del problema primal es la función objetivo, e inversamente para la tradicional restricción. La función auxiliar de Lagrange correspondiente es: S= pix para — Blu — 1) y las condiciones de primer orden son: EN —=p Br, =0 a Br A co am=0 a A ] Ss - — = xt 2 40 an 07 Operando: p= Bx pa= Ba y dividiendo una por otra: p_% Da x por lo que: M=Xx q P 49 DEMANDA, ELASTICIDAD E INGRESOS