Tema 8. Econometria, Apuntes de Econometría

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TEMA 8: MULTICOLINEALIDAD MARIOLA ESTUDILLO MARTÍNEZ DPTO. ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA (BASADO EN LOS APUNTES DE ANTONIO CONDE SÁNCHEZ)

NATURALEZA DEL PROBLEMA Una de las hipótesis del modelo de regresión lineal general es quesupone que el rango de la matriz

X^ esk+1, es decir, que dicha

matriz tiene rango máximo o, equivalentemente, que no existerelación lineal perfecta entre las variables exógenas del modelo. Esta hipótesis es fundamental ya que en el desarrollo del procesode estimación es esencial la inversa de la matriz

X’X , que tiene el mismo rango que^ X. Así, en el caso en el que

X^ no sea de rango

máximo sino que rg( X ) <k+1, no existirá

la inversa de la matriz X’X. Cuando^ nos^ encontremos^ ante

un^ modelo^ en^ esta^ situación diremos que se nos plantea un problema de multicolinealidad. Se^ dice^ que^ existe^ multicolinealidad

perfecta^ si^ existe^ una relación lineal exacta entre las variables explicativas.

NATURALEZA DEL PROBLEMA • EJEMPLO Supongamos^ un^ modelo^ en^

el^ que^ existe^ multicolinealidad. Entonces se da la siguiente relación:^1 1 2

(^0) k k X^ XX^ error  ^ ^ ^ ^  ... La multicolinealidad es un problema de grado en el sentido de quesi el error es pequeño, habrá^ un alto grado de multicolinealidad ysi el error es elevado, el grado de multicolinealidad será

menor. Además,^ ,^ ,…,^ son^ constantes^12 k^

tales^ que^ no^ son^ todas simultáneamente cero.

NATURALEZA DEL PROBLEMA • EJEMPLO Supongamos el siguiente modelo:^1

YX^ X^ u^ ^ ^ ^ ^ ^2 3 3 tttt en el que se verifica la relación:^2

(^3) X X^3 tt Sustituyendo en el modelo tenemos que: 3 3 ^  1 2 3 3 3 1 2 3 3 tttt

tt

YX^ X^ u

X^ u

^ ^

^ 

^ ^ ^ ^ ^

^ ^ 

A partir de esta ecuación queda claro que podemos estimar

y^1 +3pero no separadamente^32

y^ .^2

NATURALEZA DEL PROBLEMA • CONSECUENCIAS 2.^ La varianza de los estimadores MCO aumenta cuanto mayor esel grado de multicolinealidad, por lo que las estimaciones sonpoco precisas. 3.^ Pequeñas variaciones en los datos pueden producir variacionessustanciales en las estimaciones de los parámetros, así

como

1.^ Los estimadores MCO siguen teniendo propiedades óptimas:son los mejores estimadores lineales insesgados.en sus errores estándar: son inestables. 4.^ Pueden aparecer signos equivocados en los coeficientes deregresión. 5.^ Intervalos^ de^ confianza^ amplios,

por^ lo^ que^ se^ tiende^ a aceptar Hen el contraste de significación.^0

NATURALEZA DEL PROBLEMA • CONSECUENCIAS 7.^ Dificultad para valorar las contribuciones individuales de las^2 variables explicativas al R. 8.^ Es prácticamente imposible separar los efectos o influenciasrelativas^ de^ las^ diferentes

variables,^ por^ lo^ que^ las estimaciones concretas pueden contener errores muy fuertesal^ absorber^ unos^ parámetros

la^ influencia^ de^ las^ otras (^2) 6. Relevado. variables con las que están correlacionadas. 9. Un modelo en el que existe multicolinealidad es discutible aefectos de análisis estructural, aunque puede emplearse comoherramienta de predicción.

DETECCIÓN DE LA MULTICOLINEALIDAD 3. Mediante las regresiones auxiliares de cada variable

Xsobrej^

el^ resto^ de^ variables^ explicativas.

Se^ comprueba^ si^ el coeficiente^ de^ determinación

de^ dichas^ regresiones^ es significativamente^ distinto^ de

cero^ (equivalentemente^ el contraste de significación global). 4. A^ partir^ de^ dichos^ coeficientes

(^2) de determinación, R,^ sej puede calcular el Factor de inflación de la varianza, definidocomo:^1

1 VIFjk   , ,..., j 1 R j

Dicha^ medida^ indica^ cómo^ aumenta

la^ varianza^ de^ como consecuencia^ de^ la^ presencia

de^ multicolinealidad.^ En^ la práctica, si VIFes superior a 10 se dice que esa variablej^ presenta colinealidad.

ˆ ^ j

DETECCIÓN DE LA MULTICOLINEALIDAD • EJEMPLO Se considera el siguiente modelo que explica los salarios de los jugadores de la liga de béisbol:^0 1 1 2 2 3 3

4 5 5 lnYX^ X^ X^

X^ X^ u       ^ ^ ^ ^ ^

^ 

dondeY es el salario total en 1993,

Xson los años en la liga,^ X^1

es el número medio de juegos jugados por año,

Xes el promedio^3

de bateo por carrera,^ Xson los home^4

runs^ por año y^ Xson las^5

carreras bateadas por año. Supongamos que queremos contrastarla hipótesis nula de que, una vez descontado el efecto de los añosen^ la^ liga^ y^ los^ juegos^ por^

año,^ las^ variables^ que^ miden

el

rendimiento del jugador (^ X,^ X^3

y^ X) no tienen efecto sobre el 4 5

salario.

DETECCIÓN DE LA MULTICOLINEALIDAD • EJEMPLO Individualmente^ dichos^ coeficientes^ no

son^ significativos. (^2) Además, R=0.6278. Parámetro^ Estimación^

tp-valorexp^ 11.2238 0.1083 103.625^ 0.0000 0.07132 0.0125 5.70315^ 0.0000 0.02017 0.0013 15.0234^ 0. Estimamos el modelo reducido o restringido:^. .(^ )^ ^ s ej^ ^0 ^1 ^22 R=0.5971. Mediante el método de la suma extra de cuadradosexiste^ evidencia^ para^ rechazar^ H^0

y^ conjuntamente^ son significativos. Existe evidencia de multicolinealidad.

X

• DETECCIÓN DE LA MULTICOLINEALIDAD • EJEMPLO Correlaciones^1 2 - 0.5624 0.1973 0.3802 - 0. - 0.5624 0.3191 0. - 0. - 0.1973 0.3191 0. - 0. - 0.3802 0.6138 0. - 0.
  • XXXX 0.4871 0.8487 0.3291 0.

DETECCIÓN DE LA MULTICOLINEALIDAD • EJEMPLO Podemos comprobar^ que^ un^ modelo

donde^ no^ existe multicolinealidad^ y^ todas^ las

variables^ son^ individualmente significativas es el siguiente:^ Parámetro^ Estimación^

tp-valorexp^ 11.3443 0.1076 105.3866^ 0.0000 0.06811 0.0121 5.6179^ 0.0000 0.01623 0.0015 10.6395^ 0.0000 0.03586 0.0072 4.9476^ 0.

. .(^ )^ ^ s ej  (^0)  (^1)  (^2)  (^42) con R=0.6235.

SOLUCIONES AL PROBLEMA DE LA MULTICOLINEALIDAD No existen estimadores alternativos con mejores propiedades.Así, las soluciones no pasan por transformar el modelo o aplicarmétodos de estimación alternativos. Algunos remedios utilizadosson: 1. Eliminación de una o varias variables colineales

del modelo. Se puede^ cometer^ un^ error^ de

especificación,^ obteniendo estimaciones sesgadas de los coeficientes de regresión. Seaconseja^ no^ eliminar^ una

variable^ de^ un^ modelo económicamente^ viable,^ sólo

porque^ el^ problema^ de^ la multicolinealidad sea grave.

SOLUCIONES AL PROBLEMA DE LA MULTICOLINEALIDAD • EJEMPLO Consideremos la función de producción Cobb-Douglas:^0

ln^ lnlnYXX^ u    ^ ^1 2

dondeY es la producción,^ X^1

el factor trabajo y^ Xel factor^2

capital.^ Aplicada^ a^ una^ muestra

de^12 observaciones^ ha proporcionado los siguientes resultados:^ Parámetro^ Estimación^

tp-valorexp^ 3.42025 4.42963 0.77213^ 0.4598 0.42567 0.63530 0.67002^ 0.5197 0.24971 0.12469 2.20026^ 0.

. .(^ )^ ^ s ej  (^0)  (^1)  (^22) con SCE=0.00197 y R=0.9656. Comprobar que el modelo globalmentetiene capacidad explicativa. ¿Existe multicolinealidad?

SOLUCIONES AL PROBLEMA DE LA MULTICOLINEALIDAD • EJEMPLO Vamos a comprobar si existen rendimientos constantes a escala:^ Parámetro^ Estimación^

tp-valorexp^ 0.61610 0.01206 51.10184^ 0.000 0.17249 0.02512 6.86817^ 0. :^1 H^ ^ ^  0 1 2 :^1 H^ ^  (^1 1 2) Estimamos el modelo reducido:^. .(^ )^ ^ s ej  (^0)  2 ln^ ln^ lnlnY XX^ X^ u^ ^ ^  ^ ^ ^ ^1 0 2 2 (^2) con SCE=0.00206 y R=0.82509^. ¿Existen rendimientos constantes aescala? En este modelo^ restringido ya^ no^ hay^ problemas^ de multicolinealidad.