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Modelo
lineal
simple
El^
d l
li^
l^
i^
l^
li^
l^
l^
ió^
li^
l^
t^
i bl
El^
modelo
lineal
simple
analiza
la
relación
lineal
entre
una
variable
explicada, Y , y una variable independiente, X, más un término aleatorio,u. Para n observaciones de cada variable, el modelo puede expresarse en laforma:
con t = 1,... , n,
t t
t^
u X
Y^
=^
2 1
β con
t^
1 ,^
.^.^ .^ ,^
n,
El^
objetivo
será
estimar
(obtener
una
aproximación
numérica)
los
parámetros del modelo y dar una valoración de la estimación realizadaparámetros del modelo y dar una valoración de la estimación realizada.
X
Y^
+^ β
S^
t^
d^
l^
d l
j^
t^
l^
j^
ibl
l^
b^
i
t t
t^
u
X
Y^
=^
2 1
Se pretende que el modelo se ajuste lo mejor posible a las observaciones(X
, Yt
).t Se denomina
error
o^
residuo :
t
t t t t^
X
Y
Y
Y
u^
2 1
β^
El^
criterio
seguido
es
“minimizar
la
suma
de
los
cuadrados
de
los
residuos”
.
t
t t t t^
2 1
2
residuos
.
Método
de
Mínimos
(^2) ˆ Cuadrados
∑t
ut
Min
Método
de
Mínimos
Cuadrados
Estimadores
mínimo
cuadráticos
Estimadores
mínimo
-cuadráticos 2 1
ˆ ˆ
β β
Hipótesis
sobre
el
modelo
t t
t^
u X
Y^
=^
2 1
Sobre u
se consideran las siguientes hipótesis básicas:t
C^
t^
d
t
u E^
t^
∀ =^0 ] [
t
u E u Var
2 2 ] [ ] [
σ
Centrada Homocedástica
t
u E u Var
t
t^
=^
]
[
]
[
σ
s t
u u Cov
s t^
≠ ∀ =^0 ] , [
Homocedástica Incorreladas
Además,
s t^
Incorreladas
t
X u Cov
t
∀ =^0 ] , [
Propiedades
1.^
La suma de los residuos es nula.
ˆ^
∑
u^
Y
Y^
2.^
La recta ajustada pasa por el punto
∑t
ut
) , (^
Y X
Y
Y^
3.^
La suma de los productos cruzados de los residuos con
) , (
3
a su
a de os p oduc os c u ados de os
es duos co
la variable explicativa es nula.
ˆ^
∑
t t
Xut
4.^
La suma de los productos cruzados de los residuos porlas estimaciones es nula.
∑
Yu (^)
∑
t t
Yut
Coeficiente
de
Determinación
∑
∑
∑
=^
t
t
t^
u
y
y^
2
2
2
Dividiendo por n obtenemos varianzas, así,
t
t
t
2
2
2
Varianza Total = Varianza Explicada por el Modelo + Varianza Residual
2
2
2
ry
ey
y^
S
S
S^
=
(^22)
(^22)
2 2
ry
ey
y^
S
S
S^
=^
2
2
2
y
y
y^
S
S
S^
2
2
2
1
ry
ey^
S
S
R
−
=
Coeficiente
2
2
1
y
y^
S
S
R
=
=
Coeficiente De
Determinación
Modelo
uniecuacional
lineal
múltiple
Hipótesis
del
modelo
Estimación
del
modelo
Teorema
de
Gauss
‐Markov
Teorema
de
Gauss
‐Markov
Estimación
de
la
varianza
de
la
perturbación
aleatoria
Coeficiente
de
determinación
Coeficiente
de
determinación
corregido
Criterios
de
selección
de
modelos
