Modelo Lineal I: Propiedades del Estimador MCO y Bondad de Ajuste - Prof. 117, Apuntes de Econometría

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Tema 2. El Modelo Lineal I

El Modelo Lineal l

2.1 Hipótesis del modelo

2.2 Estimación de los parámetros del modelo

por MCO. Propiedades

2.3 Bondad de ajuste: coeficientes de

determinación y criterios de Akaike y Schwarz

De forma matricial

Y  Xβ  u

Nuestro objetivo es estimar el vector de parámetros

y su matriz de Varianzas-Covarianzas

Estimación: Método de los Mínimos Cuadrados

ordinarios (MCO)

Necesitamos hacer determinadas hipótesis

2.1 Hipótesis del modelo

2.1 Hipótesis del modelo

2. X es de rango máximo k

3. X es no estocástica (no contiene v. aleatorias)

n

E [ u ] 0

u u I

2

( )  



4. E

-Homoscedasticidad

-Correlación perturbaciones (2en 2) es nula

( , )

2

u  N 0  I

2.2 Estimador MCO. Propiedades

)

ˆ

) (

ˆ

e e ( Y Xβ Y  Xβ

  

 SCR 

e e Y Xβ Y Xβ Y Y β X Y β XXβ

X Y X X β β (X X) XY

X Y X X β

β

e e

1



2.2 Estimador MCO. Propiedades

β (X X) X Y

1



La matriz existe ya que X es de rango completo por

columnas (hipótesis 2)

1

(X X)





La condición de mínimo

X X

β

e e

Se verifica dado que XX es definida positiva 

Estimación de la varianza residual

n k

u







e e

2

ˆ

n k

E

E n k





   



[ ]

[ ] ( )

2 2

e e

e e  

Se demuestra que

Por tanto, el estimador insesgado de la

varianza de las perturbaciones viene dado por

(clase)

2.3 Bondad del ajuste: Coeficiente de

Determinación y criterios de Akaike y Schwarz

SUMA DE CUADRADOS TOTAL

SUMA DE CUADRADOS EXPLICADA

SUMA DE CUADRADOS RESIDUAL

 





 

n

t

t

SCT Y Y

1

2

 





 

n

t

t

SCE Y Y

1

2

ˆ

 





 

n

t

t t

SCR Y Y

1

2

ˆ

Coeficiente de Determinación Corregido

/ 1

/

1

2





 

SCT n

SCR n k

R

( 1 )

1

1

2 2

R

n k

n

R 





 

2.3 Bondad del ajuste: Coeficiente de

Determinación y criterios de Akaike y Schwarz

2.3 Bondad del ajuste: Coeficiente de Determinación

y criterios de Akaike y Schwarz

Criterio de información de Akaike (AIC)

ln( )

2

( 1 ln( 2 ) ln( )

2

ln_ SCR

n

n

n

verosim      

La expresión más utilizada se basa en la función de

verosimilitud (verosim)

AIC   2 ln_ verosim  2 k

En el caso de optimización de la SCR el AIC viene dado por

n

k

AIC

2

ˆ

ln

2

  

n k

u







e e

2

ˆ

 k parámetros

Se selecciona el modelo con menor AIC