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EA a (adem a(fesem acen EXÁMENES RESUELTOS ECONOMETRÍA C/ Francia, 1 - 03690 ” S. Vicente del Raspeig ($) +34 965 672777 wwwaccademtormacion.es (a) infoggrupoaccadem.es ESTADÍSTICA E INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA-Control 2 Curso 2015/16 12 de enero de 2016 Soluciunes .Apellidos. «Grupo: - En cada uno de los apartados que requieran utilizar las tablas adjuntas, indique qué tabla o tablas ha utilizado para responder a dicho apartado. - En todos los contrastes debe especificar la hipótesis nula y alternativa, cl estadístico de con- traste, la distribución del estadístico de contraste bajo la hipótesis nula, el valor del estadístico de contraste cn la muestra y la conclusión a la que llegue. - Cuando en un contraste no se especifique el nivel de significación, tome o: =0,05 . Anexo. Tabla estadística zoos — 1,65 tasmoos =1,65 tassoos — 1,65 — Faaseoos = 2,39 Pojssoos = 0,0581 — Faassjoos — 3,02 20095 = 1,96 tasro,oss = 1,96 tasgojor =1,96 Faasejooss — 2,81 Foase,o,975 = 0,025 Poase.002 = 3,12 1. (1 p.) ¿En enál de las siguientes situaciones dudarías de que los estimadores MCO scan insesgados? Señala la opción elegida y justifica tu respuesta. a) Los errores del modelo son heterocedásticos h) Hay en el modelo una variable que no es relevante <) Se ha, omitido del modelo una variable relevante a) El coeficiente de corrclación muestral entre dos variables ineluidas en el modelo cs igual a 0,95 Solución: La respuesta es la c) puesto que omitir uma variable relevante puede causar sesgo en los estimadores MCO, salvo que dicha variable omitida está incorrelada con todas las demás variablos incluidas en el modelo. Incluir una. variable ivrelovante no afecta a la insesgadez de los estimadores MCO sino a su eficiencia. La heterocedasticidad no influye en el sesgo de los estimadores. Este supuesto es importante a la hora de obtencr las varianzas de los estimadores MCO, pero no para sus csperanzas. Una correlación clevada entre los regresores haría que las varianzas de los estimadores MCO fuesen muy grandes, pero no afecta al hecho de que los estimadores MCO sean insesgados. 2. (1 p.) ¿Es la siguiente afirmación verdadera o falsa? Justifica tu respuesta. Para un modelo de regresión lineal simple y=A + 4340 Si la varianza estimada de los errores, 67, es coro, entonces el coeficiente de determinación, R?, también es ccro. Solución: FALSO. Quo la. varianza estimada de los errores sca cero quiere decir que SOR $ = =0=>$SGR=0 n-2 Y puesto que SCR 0 2 4 2 HS gp AE gp AR donde course_eval es el grado de satisfacción de los alumnos con el curso (en una escala 0 a 5), beauty es un fndice de belleza del profesor (en una escala —2 a 2), age es la edad del profesor (en años), female es una variable binaria que toma cl valor 1 si el profesor es mujer y ( si cs hombre y nrenglish es una variable binaria que toma el valor 1. si la lengua materna del profesor no es el inglés. Suponga que el modelo (1) salis[ace los supuestos del modelo lineal elásico. Utilizando una muestra de 463 cursos impartidos en la Universidad de Texas Austin se han obtenido los resultados que se presentan cn las tablas adjuntas. a) (1 p) Interprete los coeficientes estimados de beauty y nnenglish. B) (0.5 p) ¿Cuáles de las variables del modelo son individualmente significativas al 5 % y cuales no lo son? Justifique su respuesta. E) (0.5 p) ¿Es el modelo globalmente significativo al 5%? Justiñque su respuesta. d) (1 p) Después de dos años impartiendo el mismo curso, un profesor aumenta su índice de belleza cn 1 punto tras sormelerse a una oporación de cirugía estética. Conbraste que el grado de satisfacción esperado es el mismo que dos años antes. Para ello, calcule la variación esperada en el grado de satisfacción del curso ante un aumento de 1 punto en el índice de belleza y un aumento de 2 años en la edad del profesor, y contraste que dicha variación cs coro. e) (1 p) Contraste que ni el sexo ni la lengua materna del profesor son variables relevantes para explicar conjuntamente el grado de satisfacción can el enrso. (1 p) Se quiere contrastar que el efecto de la belleza sobre el grado de satisfacción con el curso es mayor para las mujeres que para los hombres, Explique detalladamente si cs posible realizar dicho contraste en el modelo (1). Si su respuesta cs si, realice dicho contraste tamando como nivel de significación a = 0,05. Si su respuesta es no, escriba. un modelo en el que sea posible llevar a cabo dicho contraste, especificando la hipótesis nula y alternativa, el estadístico de contraste, su distribución bajo la. hipótesis nula y la región crítica, f Solución: a) En la Tabla 1 encontramos las estimacionos obtenidas para el modelo (1). El eneficiente estimado de beauty es 0,141, lo que indica que, manteniendo constante la edad del profesor, su sexo y st lengua, materna, si el índice de helleza del profesor aumenta en 1 punta, se estima. que el grado de satislacción de los alumnos con el curso aumenta, en media, 0,141 puntos. El coeficiente estimado de nnenglish cs —0,332, lo que indica que el grado de satisfacción medio estimado para los cursos impartidos por prolesores cuya lengua materna no es el inglés es 0,832 puntos menor que el grado de satisfacción medio estimado para los cursos impartidos por profesores cuya lengua materna sí es el inglés, y Lienen el mismo índice de belleza, la misma edad y el mismo scxo. b) Se puede observar en la Tabla 1 que age es la única variable que no es individualmente significabiva al 5% ya que el p-valor correspondiente es 0,34589 > 0,05. Las demás variables, beauty, female y nnengtish sí son individualmente significativas al 5 % pues sus p-valores correspondientes son menores que 0,05. €) Se puede observar en la "labla 1 que el modelo es globalmente significativo al 5% puesto que el valor del estadístico de contraste es 11,11721 y el p-valor del contraste es casi cero. Por lo tanto se rechaza la hipótesis nula Hy: PB, Ba =P =P,=0 para un nivel de significación ee — 0,05. El estadístico de contraste es +/4 P= 5745/6341) e Foass Bajo ¿lo 3 El valor del estadístico de contraste cn la muestra es — 0/088501/4 (1 — 0,088501) /458 P = 11,117 y la región crítica es O'= (M,158,0,05, 00) = (2,39, 00). Como 11,117 G €, podemos rechazar Ho al 5 %y el modelo es globalmente significativo. d) La variación esperada en el grado de satisfacción del curso ante un aumento de L punto en el fnelice de belleza y un aumento de 2 años cn la edad del profesor es 8, + 282. Por tanto tenemos que contrastar: Ho : 8, +28,—0 Hi: Bp+28,%0 Para ello vamos a reparametrizar el modelo de rmuudo que la restricción anterior se convierta en una restricción sobre un único coeficiente. Sca 4 = $, +28. Entonces se Liene que 3, = 0 — 28, y el modelo (1) puede escribirse como: il By + (0 — 282) beauty | Baage + Bafemale + Byrnmenglish +1, Bo + Obeauty — 2Bpbeauty + Pangea + Byfemale + Bynnenglish + u course eval = fp-l- Obenuty + Ba (age — 2beauty) + Byfemale | Pyrnenglish + u course_eval Cour, _eval La estimaciones para este modelo se encuentran en la Tabla 2. En este modelo el contraste que debemos hacer es Hy : 0=0 H, : 9%0 El estadístico de contraste es Sa Usando los datos de la tabla 2, tenemos que cl valor del estadístico de contraste en la mucstra es ro t¿5g bajo Ho 0,13586 0,0348 = 3,9012 Tomando e — 0,05, tassoos = 1,96, y la región crítica es O = (—oo, - -1,98) U (1,96, 00). Como 3,9012 € C, podemos rechazar Hy al 5% y concluimos que los datos muestran evidencia de que el grado de satisfacción esperado no es el mismo que dos años antes. Podríamos haberlo hecho también a Lravés del p-valor. Como podemos ver en la tabla 2 el p-valor correspondiente a dicho contraste es 0,00011, que es menor que e: para todos los valores habituales y por tanto rechazamos la lúpótesis mula llegando a la misma conclusión que antes. e) Tenemos que contrastar A =8P170 Hi: Prr0y/opA0 4 TABLA 1: Modelo 1: MCO, usando las observaciones 1-463 Variable dependiente: course_eval Coeficiente Desv. Típica — Estadísticos Valor p const 4.232 0.142226 29.7534 <0.00001 me beauty 0.141032 0,0329142 4,2848 0.00002 ... age 0.00258591 — 0.0027406 0.9436 0.34589 female -0,210304 0.0522999 4.0211 0,00007 ... mienglisi +0.332234 0.10374 -3.2026 0,00146 .”. Media de la vble. dop. 3.998272 D,T. de la vble. dep. 0,554866 Suma de cuad. residuos 129.6504 D.T. de la regresión 0,532032 R-cuadrado 0,038501 R-cuadrado cortegido 0.080540 F(4, 458) 11.1172£ Valor p (de F) 1,290-08 Log«verosimilitud -362.2956 Criterio de Akajke 734.591 Criterio de Schwarz 753.2797 Crif. de Hannan-Quinn 142,357 TABLA 2: Modelo 2: MCO, usando les observaciones 1.463 Variable dependiente: course_eval Coeficiente Desv. Tipica — Estadisticot — Valorp const 4.232 0.142226 29,7554 <0.00001 ..s beauty 0,13586 0.0348256 3.9012 0.0001 1 ee ege-2*beauty -0,00238391 0.0027406 -0.9436 0.34589 female -0,210304 0,0322999 «40211 0.00007 ... nnenglish -0,332234 D.10374 3,2026 0.00146 ... Media de la vble. dep. 3.998272 D,T, de la vble. dep. 0.534866 Suma de cuad. residuos 129,6504 D.T. de la regresión 0.532052 R-cuadrado 0.038501 R-cuayrado corregido 0.080540 E(4, 458) 21.11721 Valor p (de F] 1.29e-08 Log-verosimilitud +362.2956 Criterio de Akaike 734.591 Criterio de Schwarz 1535.2797 Crit. de Hannan-Quinn 742.7357 TABLA 3: Modelo 3: MCO, usando las observaciones (-463 Variable dependiente: course_eval Coeficiente Desv. Típica — Estadisticor — Valorp goñst 3.9844 0.13373 29.7945 <0.00001 beauty 0,134063 0.0337441 3.9729 0.00008 áge 0,000286795 — 0.00271477 0.1056 091591 Media de la vble. dep. 3998272 D.T. de la vble. dep. 0554866 Suma de cuad. residuós 137,1323 D.T. de la regresión 0.546018 R-cuadrado 0.035759 Recuadrado corregido 0.031567 F(, 460) 8.529622 Valor p (de E) 0.000230 Log-verosimilitud +375,31758 Criterio de Akaike 756.6350 Criterio de Schwarz 769.0482 Crit. de lHannan-Quinn 761.5217 ESTADÍSTICA E INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA - Econometría- Curso 2014/15. 26 de Junio de 2015 Soluciones Nombrermcrrencrnnersariranari carac ornocoroconor or APEÍÍidoS. ..... RARA RUN UNA RARA G OR ROD ono O rre reno nor arnrn no ramn nara anne nana - En cada uno de los apartados que requieran utilizar las tablas adjuntas, indique qué tabla o tablas ha utilizado para responder a dicho apartado. - En todos los contrastes debe especificar la hipótesis nula y alternativa, el estadístico de contraste, la distribución del estadístico de contraste bajo la hipótesis nula, el valor del estadístico de contraste en la muestra y Ja conclusión a la que llegue. - Cuando en un contraste no se especifique el nivel de significación, tome a = 0.05. 1. (4 puntos) Considere el siguiente modelo que relaciona los delitos cometidos en los Campus universitarios con el número de alumnos matriculados (enroll) y el número de agentes de policía (police). logícrime) — Bo + $, loglenroll) + Bapolice + u Usando una mucstra de 97 universidades estadounidenses se ha estimado el modelo anterior obteniéndose los resultados siguientes: log(crime) = —4.376 + 0.977 log(enroll) + 0.024police — R*=0.6277 (1.199) — (0.137) (0.007) (e) (1 p.) Interpreta el coeficiente estimado de log(enrol!). ¿Qué significa el R?? (b) (1 p.) Si ahora midiésemos el número de delitos en cientos, ¿cuáles serían los nuevos coeficientes estimados? ¿Y si medimos además el número de agentes en cientos? (c) (1 p.) Una de las Universidades de la muestra tiene 21836 estudiantes y 24 agentes de policia. Obtenga la predicción para log(crime) para esta Universidad a partir de los resultados obtenidos en la estimación MCO del modelo. El mímero real de delitos cornetidos en esa universidad es de 446. Obtenga cl residuo para esta Universidad. (d) (1 p.) Contrasta la significatividad global de la regresión. Solución: (a) El coeficiente estimado de log(enroll) cs la elasticidad de los delitos con respecto al número de estudiantes. El modelo predice que, manteniendo constante el número de agentes, mn incremento de un 1% en el número de estudiantes incrementa el número de delitos en un 0.977%. R? = 0.6277 por lo que log(enroll) y police explican cl 62,77% de la vairabilidad de log (crime). (a) (1 p.) Interprete los coeficientes estimados de white y de black. (b) (1 p.) Manteniendo constante el sexo de los individuos, su renta y el previo de compra de la vivienda, ¿hay evidencia para afirmar que los individuos de raza blanca solicitan una cantidad inferior de dinero que los individuos de raza negra? (e) (1 p.) Calcule la diferencia porcentual estimada en la cantidad de préstamo solicitada entre hombres de raza blanca y mujeres de raza hispana, con la misma renta y con viviendas de igual valor. (1) ( p.) A partir del modelo (1) y manteniendo constante el sexo de los individuos, su renta y el precio de compra de la vivienda, contraste si la raza influye en la cantidad de dinero solicitada. (e) (1 p.) ¿Podría contrastar, usando el modelo (1), si hay suficiente evidencia para afirmar que la elasticidad de la cantidad solicitada de préstamo respecto a la renta es diferente para hombres y mujeres? Si su respuesta es sí, plantee el contraste especificando la hipótesis nula y la alternativa. Si su respuesta es no, proponga un modelo cn el cual pueda llevar a cabo dicho contraste. (£) A p.) Considere ahora el siguiente modelo loz(loanamt) = 09 + 01 log(appine) + as log(price) | agmale -1 asblack 4 u Explique cómo se interpretaría el coeficiente de black en esta regresión. ¿Tiene la misma interpretación que el coeficiente de black del modelo (1)? Solución: (a) Como puede observarse en la Tabla 1 el modelo estimado es: log(loanamt) — 0,728+01311 708 log(pri .O34male — 0.116white — 0.009blaci: og(loanamt) 03 +018L oslappine) + 0.708 ogprice) + (.0d4ma e 0 1Swht e 0.009 ac n = 1973 RÍ = 0.652 El coeficiente estimado de white cs --0.116 indicando que, cuando comparamos individuos del mismo sexo, con la misma renta y el mismo precio de compra de la vivienda, la cantidad de dinero solicitada por los individuos de raza blanca es, en media, un 11% menor que la cantidad solicitada por los individuos de raza hispana. El coeficiente estimado de black es —0.009 indicando que, cuando comparamos individuos del mismo sexo, con la misma renta y el mismo precio de compra de la vivienda, la cantidad de dinero solicitada por los individuos de raza negra es, en media, un 0.9% menor que la cantidad solicitada por los individuos de raza hispana. (b, Tenemos que contrastar Ho : Pi=Ps Hi: Bi
Fasoo0os = 3,01, podémos rechazar Hy al 5% y concluimos que la experi- encía. sí es relevante a la hora de explicar el salario de los trabajadores. d) La diferencia porcentual entre el salario medio de las mujeres blancas y Jas mujeres no blancas con los mismos años de experiencia viene dada por 100(84 + Bs). Por lo tanto, tenemos que contrastar: Ho: B4+80 Hi: B¿+PB 40 Para poder realizar este contraste reparametrizamos el modelo de forma que esta hipótesis se refiera a un único. parámetro. Definimos $ = fl, + P¿ => B,=9= £, y sustituyendo en el modelo sc obtiene: log(wage) = fp + B,exper + Byezper? + Byfernale + (8 — By)nonwhite + B5female x nomuhite + u Bo + Byexperd: Byexper? + B3 female -1- Onomuhite — Bs(norwhite — female x nonwhitc) = By+Bezper + Byexper? + Byfernale + Inonuhite — Byrnonavhite x (1— female) + u = By +fBezper + Byexper? + Bafemale + Inonwhite — Bgnonwhite x male +u 1 TABLA 1: HMadelo 1: MCO, usando las observaciones 1-526 Variable dependiente: lwage Conficiente const 1.50088 expar D, 0433740 expexsq -0.000907200 femalo -0.370405 nonuhite -0.0422599 femalexnonwhite —0.0929999 Media de la vble. dep. 1.623288 Suma de cuad, residuos 113.6051 E-cuadrado 0.234104 F(5, 520) 31.78875 hog-verosimilitud -343.2250 Criterio de Schwarz 724.1819 TABLA 2: Modelo 2: Variable dependiente: Image Coeficiente const 1.82282 female -0,400399 nonvhite -0.0873747 Femalexnonwhite 0.0262245 Media de la vble. dep. 1.623268 Suma de cuad. residuos 127,3356 R-cuadxado 0.141537 F(3, 522) 28.68787 Log-verosimilitud -373.3027 Criteric de Schearz 771,6666 Nat. TABLA 3: Desv. Típica Desv. Típica 0.0523523 28.67 0.00547666 7.920 0,000120670 -7,518 0.0432283 -8.569 0,0920180 -0.4593 0.135584 -0.6859 D.T. de la vble. dep. D.T. de la regresión R-cvadrado corregido Valor p (de E) Criterio de Akaike Crit. de Hannan: Quinn *CO, usando las observaciones 1-526 0.0315542 57.71 0.0455003 -8.800 0.0269913 -0.9009 0.142265 0.1843 D.T. de la vbla. dep. D.T. de la regresión R-cuadrado corregido Valor p (de E) Criterio de Akaike Crit. de Hannan-Quinn : fernalexnonwhite=:female x nonwhite Modelo 3: MCO, usando las observaciones 1-526 Variable dependiente: lmage Coeficiente Di const 50088 0 exper 0.0433730 0 exporsg -0. 000207200 0 male -0.370405 o. nonuhite -0.135260 0 nonwhitexmale 0.0929239 0 Kedia de la vhle. dep. 1.623268 Suma de cuad. residuos 113.6051 R-cuadrado 0.234104 F(5, 520) 1.78875 Log-verosimilitud -343.2950 Criterio de Schwarz 1124.1819 Nota: nonwhitexmale=nonmwhite x sv. Típic -0523523 00547666 000120670 0432283 -8.569 0989669 -1.367 135584 0.6859 D.1. de la vble. dep. D.T. de la regresión R-cnadrado corregido Valor p (de F) Criterio de Akaike Crit. de llannan-Quinn (1 — female) Estadístico t Estadístico t Estadístico t Valor p ... 4.01e-109 1.45e-014 2.450-D13 1.20e-016 0.6462 0,4931 4.. Au. 20. 0.531538 0.167102 0.226740 2.Ble-28 698.5901 708.6104 Valor p 6. 490-229 *+x 2.018-017 +++ 0.3681 0.8538 0.531538 0.493901 0.136603 3.4%e-17 754.6054 761.2856 Valor p «Dle-109 «458-014 .15e-013 .20e-016 1723 .4931 eee au. mer Dor Nba 0.531538 0.467409 0.226740 2.Ble-28 698.5901 708.6104 ESTADÍSTICA E INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA - Econometría- Curso 2013/14. 27 de Junio de 2014 Soluciones Nombre. se ApellidOS .ocomooncnnanonocnnnranrrncanarrsno corr neo rrno on rreernenan na [EA A GTUPO? seccnosnnrans - En cada uno de los apartados que requieran utilizar las tablas adjuntas, indique qué tabla o tablas ha utilizado para respouder a dicho apartado. - En todos los contrastes debe especificar la hipótesis nula y alternativa, el estadístico de contraste, la distribución del estadístico de contraste bajo la hipótesis nula, el valor del estadístico de contraste en la muestra y la conclusión a la que llegue. - Cuando en un contraste no se especifique el nivel de significación, tome «e — 0.05. 1. (5 puntos) Un investigador quiere estudiar la cantidad de dinero que los individuos que van a comprarse nna vivienda solicitan al banco para préstamos hipotecarios. Para ello, el investigador considera el siguiente modelo, que suponemos satisface los supuestos de Gauss-Markovy con errores normales: log(loaz) — By + 81 log(appine) 1 Balog(price) + Bghrat + Byotherrat+u (1) donde loan cs la cantidad solicitada en el préstamo (en miles de dólares), appine es la renta del solicitante (en miles de dólares), price es el precio de compra de la vivienda (cn miles de délares), hrat es el porcentaje de la renta que el individuo dedica a gastos del hogar (en tanto por ciento) y otherrat es el porcentaje de la renta que el individuo dedica a otros gastos, también medido en tanto por ciento. (Como ejemplo, valores de hrat; — 30 y olherrat; — 50, quieren decir que cl individuo ¿ dedica el 30% de su renta a gastos del hogar y el 50% de su renta a otros gastos). Con datos correspondientes a 1777 solicitantes se estimó el modelo (1) por MCO obteniéndose los siguientes resultados: loglloan) = Qs + 02 log(appinc) + 2 log(price) + Osplghras + OD04olherras HR = 0682 SCR- 136.65 (a) (0.5 p.) Interpreta el coeficiente estimado de hrat y de log(price). (b) (1 p.) Contrasta si un incremento de un 1 por ciento en el precio de la vivienda supone un incremento superior al 0.5 por ciento cn la cantidad de préstamo solicitado. (c) (0.5 p.) ¿Es hrat una variable estadísticamente significativa? (d) ( p.) Contrasta la significatividad global de la regresión e indica que porcentaje de la variabilidad de la variable dependiente viene explicada, por log(appinc), log(price), hrat y otherrat. (e) (1 p.) ¿Cuáles serían los nuevos cocficientes estimados y los nuevos errores estándar si ahora el precio de compra de la vivienda se midiese en dólares y href se midiese en (anto por uno? 
