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UNIDAD TRANSVERSAL DE CIENCIAS B ASICAS´ MATERIA: Fundamentos de Matem´aticas Modalidad distancia
ACTIVIDAD VIRTUAL SEMANA 2
Indicaciones generales:
- Formato de entrega: Se debe entregar en forma individual o grupal, seg´un se acuerde con el docente.
- se debe entregar un documento en formato pdf LEGIBLE.
- Si alguna de las condiciones de entrega no se cumple, la nota correspondiente de la actividad ser´a 0 , 0.
- Se recomienda realizar el env´ıo de la actividad con suficiente tiempo de anterioridad con el fin de evitar dificultades en el env´ıo.
Esta actividad corresponde al trabajo que se debe desarrollar de forma aut´onoma durante la semana, en la sesi´on del d´ıa s´abado se resolver´an dudas y se realizar´a una evaluaci´on. La nota de la semana corresponde a la nota de esta actividad y a la evaluaci´on de acuerdo con los porcentajes definidos en los lineamientos del Curso. Realice una lectura completa de la actividad y siga las indicaciones.
- OBJETIVOS:
Compreder las expresiones algebraicas y sus operaciones Interpretar las expresiones algebraicas en el entorno de las situaciones problemas.
- TEMAS A DESARROLLAR DURANTE LA SEMANA:
Expresione algebraicas. Operaciones entre expresiones algebraicas. Factorizaci´on.
- EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Una expresi´on algebraica es una colecci´on de variables y n´umeros reales, a los n´umeros se les denomina constantes y las variables son cantidades no conocidas pero que pueden variar.
Por ejemplo, el enunciado “el triple del cuadrado de un n´umero disminuido en 7 ” se representa con la expresi´on algebraica: 3x^2 − 7, en la que 3 y 7 son constantes y x es la variable, en este caso hace referencia al n´umero que no se conoce.
Los t´erminos algebraicos son expresiones algebraicas que no involucran sumas y restas entre las variables y las constantes, pero s´ı multiplicaciones. Por ejemplo: 2x^2 y − 7 a^2 b^3 son t´erminos algebraicos, un t´ermino algebraico tiene los siguientes elementos:
Signo: es el s´ımbolo que indica si el t´ermino es positivo o negativo. Parte literal: es el producto de las variables de un t´ermino con sus respectivos exponentes. Coeficiente: es el n´umero real que multiplica el factor literal o acompa˜na la parte literal.
Por ejemplo: en el t´ermino −
6 x^2 yz^3 , se tiene que el signo es negativo (−), la parte literal es x^2 yz^3 y el coeficiente es −
Una expresi´on algebraica que contiene un s´olo t´ermino se denomina monomio. Una expresi´on alge- braica que contiene exactamente dos t´erminos se denomina binomio. Una expresi´on algebraica con tres t´erminos se denomina trinomio. En general, las expresiones que contienen m´as de tres t´erminos se denominan polinomios. A continuaci´on, se muestra un ejemplo de cada uno de ellos:
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Monomio: − 2 xyz Binomio: 3xy^2 + 4yz Trinomio: x^2 + 2x − 9 Polinomio: x^3 + x^2 + 2x − 9
Caracter´ısticas de las expresiones algebraicas
Al momento de trabajar con expresiones algebraicas, se deben tener en cuenta las siguientes carac- ter´ısticas.
Grado absoluto de un monomio: es la suma de los exponentes de las variables. Por ejemplo, el grado absoluto del monomio − 12 xy^2 es 3. Grado absoluto de un polinomio: es el mayor grado absoluto de los t´erminos del polinomio o de los monomios que conforman el polinomio. Por ejemplo, en el polinomio: 32 x^2 y+2xyz − 12 y^2 z^2 el grado absoluto de los monomios son 3, 3 y 4 respectivamente. Por consiguiente, el grado absoluto del polinomio es 4. Grado relativo de un monomio con respecto a una variable: es el valor del exponente de la variable. Por ejemplo, en el monomio 35a^2 bc^6 , el grado relativo con respecto a la variable c es
Valor num´erico de un polinomio: es el valor que se obtiene al remplazar las variables por n´umeros y efectuar las respectivas operaciones. Por ejemplo, sea el polinomio 32 x^2 y+2xyz − 12 y^2 z^2 , si: x = 1, y = −1 y z = 2, se tiene que:
x^2 y + 2xyz −
y^2 z^2 =
(1)^2 (−1) + 2(1)(−1)(2) −
(−1)^2 (2)^2
Operaciones entre expresiones algebraicas
Para realizar operaciones entre expresiones algebraicas, especialmente, multiplicaciones y divisiones, se hace uso de las propiedades de la potenciaci´on, las cu´ales se presentan a continuaci´on.
Producto de potencias de igual base: am^ · an^ = am+n Por ejemplo: x^2 · 2 x^5 = 2x2+5^ = 2x^7 Cociente de potencias de igual base: a m an^ =^ a
m−n Por ejemplo: x^2 2 x^5
x^2 −^5 =
x−^3 =
2 x^3 Potencia de una potencia: (am)n^ = am·n Por ejemplo: (^) ( x^2
= x^2 ·^3 = x^6
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Por ejemplo:
20 x^12 − 16 x^8 − 8 x^5 4 x^4
20 x^12 4 x^4
16 x^8 4 x^4
8 x^5 4 x^4 = 5x^8 − 4 x^4 − 2 x
Ejemplos
a) Realiza la siguiente operaci´on entre expresiones algebraicas: (3x^2 +x−1)+(2+2x^2 )−(4x− 3 −x^2 ). Para la soluci´on, se operan de acuerdo a los t´erminos semejantes y se opera de acuerdo a las reglas aritm´eticas.
(3x^2 + x − 1) + (2 + 2x^2 ) − (4x − 3 − x^2 ) = 3x^2 + x − 1 + 2 + 2x^2 − 4 x + 3 + x^2 = 3x^2 + 2x^2 + x^2 + x − 4 x − 1 + 2 + 3 = 6x^2 − 3 x + 4
b) Soluciona y simplifica la siguiente expresi´on.
Operaci´on Justificaci´on 8 x − { 6 x − 11 y + [− 13 x + 21y − (32x − 5 y)]} 8 x − { 6 x − 11 y + [− 13 x + 21y − 32 x + 5y]} −(32x − 5 y) = − 32 x + 5y 8 x − { 6 x − 11 y − 45 x + 26y} [− 13 x + 21y − 32 x + 5y] = − 45 x + 26y 8 x − {− 39 x + 15y} 6 x − 11 y − 45 x + 26y = − 39 x + 15y 8 x + 39x − 15 y − {− 39 x + 15y} = 39x − 15 y 47 x − 15 y 8 x + 39x − 15 y = 47x − 15 y
c) Factoriza 3x^3 − 15 x^2 + 18x. 3 x^3 − 15 x^2 + 18x Se realiza factor com´un 3 x(x^2 − 5 x + 6) Se realiza factorizaci´on del trinomio
3 x(x − 3)(x − 2)
- MATERIAL DE APOYO
4.1 Lecturas complementarias Lectura 1: Operaciones entre expresiones algebraicas. Lectura 2: Factorizaci´on.
4.2 V´ıdeos V´ıdeo 1: Suma o reducci´on de t´erminos semejantes. V´ıdeo 2: Multiplicaci´on de expresiones algebraicas. V´ıdeo 3: ¿Qu´e es factorizar?
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4.3 Libro Gu´ıa
Como material de apoyo se propone el cap´ıtulo 2 del libro Algebra Superior Murray R. Spiegel´ de la editorial McGraw-Hill Interamericana p´aginas 12 a la 21. Para acceder al material de apoyo realice los siguientes pasos: Paso 1: Ingrese a la biblioteca virtual http://biblioteca.uniminuto.edu/ Paso 2: Haga click en la pesta˜na libros Electr´onicos. Paso 3: Seleccion´e la editorial del libro que desea. Paso 4: Ingrese el correo @uniminuto.edu.co y la clave. Paso 5: En buscardor escriba el nombre del curso o del libro que desea. Luego presione buscar.
- ACTIVIDAD: La presente actividad est´a compuesta de tres ´ıtems y cada uno de estos tiene un valor porcentual sobre la nota final del taller, dicho porcentaje est´a dividido de la siguiente forma. La primera parte tiene un valor porcentual del 40 %, la segunda de un 10 % y la parte final de un 50 %.
Parte 1 (Valor 40 %) Utilice la herramienta https://www.mindomo.com/es/ para hacer un mapa conceptual sobre las expresiones algebraicas y los casos de factorizaci´on. Parte 2 (valor 10 %) Observa el siguiente v´ıdeo: 7 Casos de factorizaci´on, Luego, realiza dos ejemplos de cada caso. Parte 3 (Valor 50 %) Resolver los siguientes ejercicios.
5.1 Realiza las siguientes operaciones entre expresiones algebraicas.
a) (7x − 3) + (− 2 x + 4) b) (2 − 3 y) − (− 2 x − 5) c) ( 34 + 4x) + (x − 1) d) (x − y)(x − y)
e) (a − 2 x + 3y)(a − 2 x + 3y) f) (5 − 7 x)(− 6 x + 11) g) ( 12 x + 3y)( 12 x − 3 y) h) 2(2 − 5 t) + t^2 (t − 1) − (t^4 − 1)
5.2 Consulte acerca del tri´angulo de Pascal. Luego, utilice el desarrollo del tri´angulo para desarrollar las siguientes expresiones algebraicas.
a) (x − 2)^7 b) (3x − 4)^2
c) (1 − 2 y)^2 d) (y − 3)^3
5.3 Factorice las siguientes expresiones.
a) 4x^2 + 2xy − 6 xy^2 b) (a + b)(a − b) + (a + b)b c) m^2 − x^2
d) m^2 + 2mn + n^2 e) 9h^2 + 6h + 1 f) 9m^2 + 10m + 1
5.4 Soluciona los siguientes problemas. a) La suma de tres n´umeros naturales consecutivos es 291, ¿cu´ales son esos tres n´umeros? b) La posici´on que ocupa un cuerpo u objeto al moverse en l´ınea recta est´a dada por la ecuaci´on x = 6t^2 − 4 t + 8, donde x est´a en metros y t en minutos. Determina la posici´on del objeto en los tiempos: t =1,5, t =2, t =4 y t = 175.
