Control #1 MA26A Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Escuela de Ingenier´ıa, FCFM, U. de Chile.
Semestre 2006-1, Prof. Axel Osses, Prof. Auxiliar: Jorge Lemus
P1.- (a) Sea β∈R. Encuentre la forma que tiene la soluci´on de
y00 +βy0+y=x2ex
para distintos valores de β(no es necesario que encuentre las constantes).
Indicaci´on : puede usar operadores anuladores.
(b) Sea f(x, y) una funci´on tal que f(λx, λαy) = λα−1f(x, y), ∀λ∈R,α∈R\ {0,1}fijo.
Considere
y0=f(x, y)
¿Qu´e cambio de variables transforma la ecuaci´on anterior en una ecuaci´on a variables separa-
bles? ¿Qu´e ecuaci´on se obtiene?
P2.- (a) Para x > 0, sabiendo que y1=xln(x) e y2=xson soluciones de la ecuaci´on homog´enea,
demuestre que estas son linealmente independientes y resuelva
x2y00 −xy0+y= 4xln(x) para x > 0.
(b) Sean y1ey2dos soluciones con Wronskiano no nulo de
y00 +a1(x)y0+a0(x)y= 0,para x∈(0, `)
tales que y1(0) = 0, y1(`) = 1, y2(0) = 1, y2(`) = 0. Pruebe que el valor medio de a1:
M1=1
`Z`
0
a1(x)dx
puede ser obtenido mediante la f´ormula
M1= ln −y0
1(0)
y0
2(`)1/`
.
Indicaci´on: puede serle ´util la f´ormula de Abel.
P3.- Suponga que el cuerpo humano elimina un medicamento a una velocidad que es proporcional
a la cantidad yde medicamento presente en la sangre. En t= 0 se aplica una dosis de y0[mg]
del medicamento a un paciente cuyo cuerpo estaba libre de este medicamento.
(a) Definiendo y(t) como la cantidad de medicamento en el cuerpo en t, encuentre la ecuaci´on
diferencial que modela el problema y resu´elvala para obtener la cantidad residual de
medicamento al cabo de Thrs.
(b) Si en t=Tse aplica otra dosis del medicamento, nuevamente de y0[mg], encuentre la
cantidad residual del medicamento en la sangre al cabo de 2Thrs.
(c) Si al final de cada perodo de longitud Tse aplica una dosis de y0[mg], encuentre la
cantidad residual del medicamento al cabo de nT horas, n∈N, y encuentre el valor
lmite cuando n→ ∞.