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Control #1 MA26A Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Escuela de Ingenier´ıa, FCFM, U. de Chile. Semestre 2006-2, Prof. Axel Osses, Auxiliares: J. Lemus, N. Carre˜no
P1.- Se propone un modelo para la aparici´on de inconformistas en una sociedad. La sociedad tiene una poblaci´on de y(t) individuos en un tiempo t ≥ 0. Se supone que si dos inconformistas tienen hijos, ´estos tambi´en lo ser´an. Adem´as, una proporci´on fija r ∈ (0, 1) de los hijos del resto de la poblaci´on tambi´en se volver´an inconformistas. Las tasas de natalidad y mortalidad son n > 0 y m > 0 respectivamente. Sea z(t) la poblaci´on de inconformistas, entonces: { y′^ = (n − m)y z′^ = (n − m)z + nr(y − z)
(a) Explique qu´e representa la variable p = z/y. Encuentre una EDO de primer orden para p. (b) Si y 0 > z 0 > 0, p 0 = z 0 /y 0 son las condiciones iniciales, encuentre y(t), p(t) y a partir de esto encuentre z(t). (c) Grafique la evoluci´on de p(t) en el tiempo. ¿Qu´e predice el modelo cu´ando t → +∞? (d) Muestre que la mitad de la poblaci´on que no era inconformista se vuelve inconformista en un tiempo t = ln(2) nr.
P2.- Indentifique cada una de las siguientes ecuaciones, indicando orden, tipo y resu´elvalas :
(a) y′^ − cos x = 2y (b) y′^ − yx = y^6 (c) y′^ = 23 xx+−yy (d) (D^2 + 1)(D + 3)^2 (D − 1)^3 y = 0 (e)
∫ (^) x 0
1 + (y′(s))^2 ds = y′(x)
P3.- Considere una botella con arena bajo la acci´on de la gravedad que flota sin desplazarse horizon- talmente en un recipiente que contiene un l´ıquido viscoso (puede pensar en una boya). Ante una perturbaci´on del l´ıquido, su desplazamiento vertical y con respecto al equilibrio se puede modelar por la siguiente ecuaci´on diferencial, donde a > 0:
y′′^ + 2a y′^ + 2a^2 y = e−t^ cos(t).
(a) Si a 6 = 1 ¿Qu´e forma tiene la soluci´on homog´enea y particular? (sin evaluar constantes). (b) Si a = 1 ¿Cu´al es la soluci´on particular? (evaluando las constantes). (c) Si a = 1 y la botella parte del reposo. ¿Cu´al es la soluci´on completa? (evaluando las constantes).
Pauta Control #1 MA26A Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Escuela de Ingenier´ıa, FCFM, U. de Chile. Semestre 2006-2, Prof. Axel Osses, Auxiliar: J. Lemus, N. Carre˜no
P1.- (a) La variable p = z/y representa la proporci´on de individuos inconformistas en la sociedad. Al calcular p′^ tenemos
p′^ =
z y
z′y − zy′ y^2 =
((n − m)z + nr(y − z))y − z(n − m)y y^2 =^ nr(1^ −^ p)
(b) Para encontrar, resolvemos la ecuaci´on a variables separables
y′^ = (n − m)y,
que tiene como soluci´on y(t) = y 0 e(n−m)t. La ecuaci´on para p es a variables separables (o tambi´en ecuaci´on lineal). Se obtiene
p(t) = 1 − (1 − p 0 )e−nrt.
A partir de esto, como z(t) = p(t)y(t), se obtiene
z(t) = (y 0 e(n−m)t)(1 − (1 − p 0 )e−nrt).
(c) Cuando t tiende a ∞, p(t) tiende a 1. (d) Queremos encontrar el tiempo en que la proporci´on de inconformistas sea igual a la proporci´on inicial de incondormistas m´as la mitad de los que inicialmente no eran inconformistas, es decir, buscamos t∗^ tal que p(t∗) = p 0 + (1^ − 2 p^0 ).
Hay que resolver para encontrar t∗,
p(t∗) = (1 +^ p^0 ) 2
⇒ 1 − (1 − p 0 )e−nrt^ = (1 +^ p^0 ) 2
⇒ (1^ −^ p^0 ) 2
= (1 − p 0 )e−nrt
Despejando t∗^ obtenemos t∗^ = ln(2) nr
P2.- (a) Lineal orden 1, no homog´enea. Resolvemos por factor integrante e−^2 x. Con esto la ecuaci´on queda: (ye−^2 x)′^ = e−^2 x^ cos x Integrando dos veces por partes se obtiene
y(x) =^2
( (^) sen x − cos x
reemplazando z por y′^ obtenemos
y′^ +
1 + (y′)^2 = Cex
Integrando esta ecuaci´on y usando la ecuaci´on inicial obtenemos
y + y′^ = Cex^ + K
La que es una ecuaci´on lineal. Integr´andola obtenemos:
y = (cex^ + K) + Be−x
P3.- (a) El polinomio caracter´ıstico es p(λ) = λ^2 + 2aλ + 2a^2. Las ra´ıces de este polinomio son λ 1 = −a + ia y λ 2 = −a − ia. Luego la soluci´on homog´enea es
yH (t) = e−at(c 1 sen at + c 2 cos at).
La forma de la soluci´on particular la encontramos mediante el polinomio anulador de e−t^ cos t que es (D + 1)^2 + 1, cuyas ra´ıces son −1 + i y − 1 − i, las que no cambian las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico de la homog´enea si a 6 = 1. Luego la soluci´on particular tiene la forma
yP = e−t(α 1 sen t + α 2 cos t)
con αi por determinar. (b) Si a = 1, la ra´ız del polinomio anulador aumenta la multiplicidad de la ra´ız del polinomio caracter´ıstico, con lo que ahora la soluci´on particular tiene la forma
yP = te−t(α 1 sen t + α 2 cos t).
Despejando todas las constantes se obtiene que la soluci´on particular es
yP (x) =
t 2 e
−t (^) sen t.
(c) Tenemos que la soluci´on general de la ecuaci´on que describe el movimiento est´a dada por:
y(t) = yH (t) + yP (t) = e−t(c 1 sen t + c 2 cos t) + t 2 e−t^ sen t.
Imponiendo que y(0) = y′(0) = 0 obtenemos c 1 = c 2 = 0. La botella alcanzar´a una mayor oscilaci´on debido a que se produce el fen´omeno de resonancia.
