“Inferencia Estadística aplicada a la empresa”. Llorente,F.; Marín, S.; Torra. S.(2001)
Ejemplo 2.4.(página 79)
En una distribución Normal de parámetros desconocidos, se definen los dos siguientes
estimadores para la varianza poblacional:
sx x
n
sx x
n
i i
2
2
2
2
1
=−
−=−
∑ ∑
( ) ( )
*
¿Cuál de los dos estimadores es más eficiente en términos relativos?
Solución:
Hay que calcular para cada uno de ellos el valor del E.C.M., es decir, su sesgo y su
varianza. Para el primer estimador:
E s E x x
n n Enn
Var s Var x x
nVar nnVar n
nn
i
n
in
n
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
1
2 2 2
2
22
1
24
21
2
4
2
4
1
1
1
1
11
1 1 1
2 1
1
2
1
=−
−
=−=−− =
=−
−
=−
=−=−
−=−
∑
∑
−
−
−
σ χ σ σ
σ χ σχσ σ
Como el segundo estimador está relacionado con el primero de la forma siguiente:
( )
snns
*
2 2
1
=− ; los cálculos los basaremos en esta relación:
E s n
nE s n
nSesgo s n
n n
Var s n
nVar s n
nn
n
n
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
* *
*
2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
4
1 1 1
1 1 2
1
2 1
=−=−
⇒ = −− = −
=−=−
−=−
σ σ σ σ
σσ
Al comparar el cociente de los E.C.M. de cada uno se obtiene:
E C M s
E C M s
n
n
nn
n
nn
n
nn
. . .( )
. . .( ) ( ) ( )
*
2
2
4
2
4
22
4
4
22
2
1
2 1
2
1
2 1
2
1
2 1
=−
−+ −
=−
−
=−
−
σ
σσ
σ
σ
> 1
Por este criterio, el estimador “s*
2” es el más eficiente en términos relativos.
valor esperado de la X^2
lo transformo en chi-cuadrada
los numeradores son iguales, así que despejamos numeradores, y lo del otro lado será lo msimo
en algunos ejercicios el cociente no es necesario, pero este si, por que son todo letras
ponemos diferentes
valores de n y vemos que
siempre es mayor que 1