Ejecicio caso de estudio_, Guías, Proyectos, Investigaciones de Álgebra Lineal

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| ÁLGEBRA LINEAL | [Fecha]

CASO DE

ESTUDIO

AJUSTE POLINOMIAL

POR

ÍNDICE

• Resumen.......................................................................................................................
• Introducción..................................................................................................................
  • Objetivo......................................................................................................................
• Marco Teórico...............................................................................................................
  • Definición de recta.....................................................................................................
  • Definición de ecuación de la recta.............................................................................
  • Ecuación general.......................................................................................................
  • Ecuación principal de la recta...................................................................................
  • Forma simplificada de la ecuación de la recta...........................................................
  • Multiplicación de matrices.........................................................................................
    • Propiedades
    • Procedimiento
  • Matriz transpuesta.....................................................................................................
    • Propiedades............................................................................................................
  • Factorización QR.......................................................................................................
• Desarrollo y Resultados................................................................................................
• Conclusiones...............................................................................................................
• Bibliografía..................................................................................................................

ECUACIÓN GENERAL

Es una de las formas de representar la ecuación de la recta y de acuerdo a uno de los

postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario

conocer dos puntos (A y B) dentro de un plano cartesiano , con abscisas (x) y ordenadas

(y).

Cuando se conocen esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan

incluidas en la ecuación: Ax + By + C = 0

Que también puede escribirse como: ax + by + c = 0

y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente

teorema

La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 , donde A, B, C pertenecen a

los números reales ( ); y en qué A y B no son simultáneamente nulos, representa

una línea recta.

ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA RECTA

La ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta)

también se conoce, que se obtiene con la fórmula: y = mx + n

que considera las siguientes variables: un punto ( x, y ), la pendiente ( m ) y el punto de

intercepción en la ordenada ( n ), y es conocida como ecuación principal de la

recta (conocida también como forma simplificada, como veremos luego).

Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos

nuevas variables: la m y la n , esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos

elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente (m) y

el punto de intercepción (n) (también llamado intercepto ) en el eje de las ordenadas (y).

Respecto a esto, en el gráfico de arriba, m representa la pendiente de la recta y permite

obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa), y n es

el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta interceptará al eje

de las ordenadas (y).

FORMA SIMPLIFICADA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

Si se conoce la pendiente m , y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es ( 0, b )

(corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la

ecuación de la recta de la forma

y − y 1

= m(x − x 1

y – b = m(x – 0)

y – b = mx

y = mx + b

Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también forma

explícita de la ecuación ) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la ordenada al

origen (o intercepto), que llamaremos b ( no olvidemos que corresponde a la n en la

primera forma de la ecuación principal). También se puede utilizar esta ecuación para

conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

La multiplicación de matrices consiste en combinar linealmente dos o más matrices

mediante la adición de sus elementos dependiendo de su situación dentro de la matriz

origen respetando el orden de los factores.

Propiedades

 La dimensión de la matriz resultado es la combinación de la dimensión de las

matrices. En otras palabras, la dimensión de la matriz resultado serán las columnas de

la primera matriz y las filas de la segunda matriz.

En este caso, buscaremos que Z n,m

(m columnas de Z) sea igual a Y n,m

(n filas de Y)

para poder multiplicarlas. Entonces, si son iguales, la matriz resultado será:

Multiplicación de matrices.

 Para el último elemento de la matriz resultado, vemos que los óvalos coinciden en el

elemento y nm

Caso general de multiplicación de matrices.

Caso general de multiplicación de matrices.

MATRIZ TRANSPUESTA

Una matriz traspuesta es el resultado de reordenar la matriz original mediante el cambio de

filas por columnas y las columnas por filas en una nueva matriz.

Fórmula de una matriz traspuesta nxm

Dada una matriz Z cualquiera con n filas y m columnas podemos construir la matriz

traspuesta, Z

T

, que tendrá m filas y n columnas.

Trasposición de la matriz Z.

Propiedades

En base a la matriz Z anterior,

 La traspuesta de una matriz traspuesta es la matriz original.

 La suma traspuesta de matrices es igual a la suma de las matrices traspuestas.

 El producto traspuesto de una constante h por una matriz es igual al producto de la

constante h por la matriz traspuesta.

 El producto traspuesto de la multiplicación de matrices es igual al producto de la

multiplicación de matrices traspuestas.

LA REGRESIÓN POLINOMIAL POR MÍNIMOS CUADRADOS

Es una técnica de regresión que se utiliza para ajustar un modelo polinomial a un conjunto

de datos. En la regresión polinomial, se busca encontrar el polinomio de grado más alto

que se ajuste de manera óptima a los datos. La regresión polinomial por mínimos

cuadrados se basa en el principio de minimizar el error cuadrático medio entre el valor

predicho por el modelo y el valor real de los datos.

Para realizar una regresión polinomial por mínimos cuadrados, primero se debe

seleccionar el grado del polinomio que se va a utilizar. A continuación, se ajusta el modelo

a los datos utilizando técnicas de optimización para minimizar el error cuadrático medio.

Una vez que se ha ajustado el modelo, se puede utilizar para hacer predicciones para

nuevos valores de la variable independiente.

La regresión polinomial por mínimos cuadrados es una técnica útil para modelar

relaciones no lineales entre variables, y puede ser utilizada en aplicaciones como la

predicción de series temporales, la modelización de procesos industriales, y el análisis de

datos en general. Sin embargo, es importante tener en cuenta que el uso de polinomios de

grado muy alto puede llevar a modelos que sobre ajusten los datos y no se generalicen

bien a nuevos conjuntos de datos. Por lo tanto, es importante tener cuidado al seleccionar

el grado del polinomio y asegurarse de que el modelo sea adecuado para los datos en

cuestión.

I. Primero se determina la ecuación de la recta de los mínimos cuadrados que se

relaciona x con y

ax + by + c = 0 ⇒ y =

− ax + c

b

⇒ y = b 1 x + b 0

 Se usa la ecuación y=b1x+b0 y se determina la ecuación de la recta:

y =0.6971 x +1.

 Por lo tanto en base a la ecuación obtenida se estiman las ventas para el año

y =0.6971( 9 )+1.

y =7.75 millones //

 La gráfica estimada para las ventas es:

A =

B =

x =

(

b 1

b 0

)

A

T

∗ Ax = A

T

∗ B

A

T

∗ A =

(

)

A

T

∗ B =

(

)

Gráfica de la recta

b) A continuación, se realiza la resolución del segundo problema planteado en base

a la teoría consultada de cuadrados mínimos por medio de factorización QR

Los siguientes datos muestran los contaminantes atmosféricos 𝑦 𝑖

(respecto

de cierta norma de calidad del aire) en intervalos de media hora, 𝑡 i

T

i 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

y i -0,15 0,24 0,68 1,04 1,21 1,15 0,86 0,41 -0,

1. Determine el polinomio de 2do grado que mejor se ajusta a los datos.

a 0 = Σ y =0.

a 1 = Σ yx =−1.

a 2 = Σ yx 2 =1.

a 3 = Σ yx 3 =−0.

a 4 = Σ yx 4 =0.

y = a 4 x − a 3 x + a 2 x − a 1 x + ax //

2. Utilice la función obtenida en el paso anterior para estimar el nivel de

contaminación del aire si t=4.25 horas.

y =0.0358( 4.25)

4

3

2

y =11.67−34.81+30.22−6.59+ 0.

y =0. //

Conclusiones

El álgebra lineal es uno de los pilares de la matemática debido a que permite analizar de

manera profunda y con exactitud las ciencia físicas y naturales, estudiando el

comportamiento en general de diversos modelos matemáticos y de análisis.