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Problemas de splines c´ubicos
C´alculo Num´erico I
Miguel
Angel Vilela Garc´ıa
15 de julio de 2003
Resumen
Problemas de C´alculo Num´erico I, cap´ıtulo 2: “Interpolaci´on no polin´omica”, curso 2001-
- Los c´alculos han sido realizados con el programa para c´alculo de polinomios spline
c´ubicos escrito en Fortran para las pr´acticas de la asignatura. Las gr´aficas tambi´en han si-
do generadas por el mismo programa (implementaci´on en C con la librer´ıa GDlib). El c´odi-
go del programa puede distribuirse bajo los t´erminos de la GNU General Public Licen-
se versi´on 2 o poterior, (ver http://www.gnu.org/licenses/gpl.html), y estar´a disponible en
http://www.fmat.ull.es/~miguev/ mientras sea posible.
Problema 6
Determinar el spline c´ubico natural que interpola la tabla
x 0 , 0 1 , 0 1 , 5 2 , 25
f (x) 2 , 0 4 , 4366 6 , 7134 13 , 9130
(a) Estimar su valor y el de su derivada en los puntos x = 0,66 y en x = 1,75.
(b) Teniendo en cuenta que la tabla proviene de evaluar f (x) = 2·e
x −x
2 estimar el error de interpolaci´on
y contrastar con los resultados del apartado anterior.
El spline c´ubico natural S que interpola los puntos anteriormente listados viene determinado por los
siguientes coeficientes
M
0
M
1
M
2
M
3
y su expresi´on es
S(x) =
2 + 2, 0545914 · x + 0, 3820088 · x
3 si 0 ≤ x ≤ 1
4 ,4366002 + 3, 2006178 · (x − 1) + 1, 1460264 · (x − 1)
2
3 si 1 ≤ x ≤ 1 , 5
6 ,7133999 + 6, 6865487 · (x − 1 ,5) + 5, 8258367 · (x − 1 ,5)
2 − 2 , 5892608 · (x − 1 ,5)
3 si 1, 5 ≤ x ≤ 2 , 25
Evaluando este spline y su derivada en los puntos x = 0,66 y en x = 1,75 las estimaciones resultantes
son:
S(0,66) = 3, 465856
S
′ (0,66) = 2, 553801
S(1,75) = 8, 708694
S
′ (1,75) = 9, 113980
Teniendo en cuenta que la tabla proviene de evaluar f (x) = 2 · e
x − x
2 , el error de interpolaci´on estimado
(utilizando 1000 puntos entre cada dos nodos) es 0,413856.
Comparando este spline con la funci´on f (x) = 2 · e
x − x
2 se observa que la aproximaci´on es aceptable
en el punto x = 0,66. El error cometido en x = 1,75 es m´as visible, y la aproximaci´on de la derivada es
decididamente mala.
f (0,66) = 3, 4339846688
f
′ (0,66) = 2, 5495846688
f (1,75) = 8, 446705352
f
′ (1,75) = 8, 009205352
Figura 1: En verde la funci´on f (x) = 2 · e
x − x
2 , en azul el spline c´ubico natural S que interpola la nube
de puntos.
Para acotar los errores mediante las cotas proporcionadas por Hall hemos de calcular previamente ∆ y
obtener las cotas μ y L:
∆ = m´ax
0 ≤i≤n− 1
{h i
} = m´ax { 3 , 2 , 3 , 2 } = 3
μ ≥ m´ax
0 ≤i≤n− 1
h i
= m´ax
= 1,5 =⇒ μ =
Utilizando las cotas proporcionadas por Hall obtenemos que:
m´ax
t∈[− 5 ,5]
|f (t) − S(t)| = c 0 · ∆
4
=
4
=
m´ax
t∈[− 5 ,5]
|f (t)
′ − S(t)
′ | = c 1
3
3
m´ax
t∈[− 5 ,5]
|f (t)
′′ − S(t)
′′ | = c 2 · ∆
2
2
m´ax
t∈[− 5 ,5]
|f (t)
′′′ − S(t)
′′′ | = c 3
1
μ +
μ
Busquemos ahora el paso m´aximo ∆ debemos tomar si queremos que
m´ax
t∈[− 5 ,5]
∣f
i) (t) − S
i) (t)
∣ ≤ 0 , 01 , i = 0, 1 , 2 , 3
m´ax t∈[− 5 ,5]
|f (t) − S(t)| ≤ 0 , 01
m´ax t∈[− 5 ,5]
|f
′ (t) − S
′ (t)| ≤ 0 , 01
m´ax t∈[− 5 ,5]
|f
′′ (t) − S
′′ (t)| ≤ 0 , 01
m´ax t∈[− 5 ,5]
|f
′′′ (t) − S
′′′ (t)| ≤ 0 , 01
c 0
4 ≤ 0 , 01
c 1
3 ≤ 0 , 01
c 2
2 ≤ 0 , 01
c 3
4
384
500
3
24
100
= 0,^6214465012
8
300
= 0,^1632993159
μ+
1
μ
200
Si consideramos la utilizaci´on de nodos equiespaciados, entonces
μ = m´ax
0 ≤i≤n− 1
hi
y por tanto
μ+
1
μ
200
= 0,01 con lo que el paso m´aximo que debemos tomar para que
m´ax
t∈[− 5 ,5]
∣f
i)
(t) − S
i)
(t)
∣ ≤ 0 , 01 , i = 0, 1 , 2 , 3
es ∆ ≤ 0 , 01
(a) Spline natural
(b) Spline sujeto
Figura 2: En verde la funci´on f (t) =
1
1+t
2 , en azul el spline c´ubico^ S^ que interpola la nube de puntos.
Figura 3: Spline c´ubico peri´odico S que interpola los puntos en [0, 12].
Problema 15
Se han calculado la deflexiones en un pavimento para distintas hip´otesis del ´ındice de la explanada, sobre
la que se asienta el mismo, obteni´endose los valores que se indican a continuaci´on.
Indice Deflexi´on
Dado que el procedimiento de obtenci´on de estos valores, resulta muy laborioso y requiere un elevado
tiempo de proceso en un ordenador, se desea obtener una funci´on simple, y(x), que permita obtener por
interpolaci´on a partir de los valores anteriores, el valor de deflexi´on para un valor x del ´ındice de la
explanada (200 ≤ x ≤ 2000). A tal efecto se escoge y como un spline c´ubico natural.
(a) Obtener la expresi´on de y.
(b) Deducir el valor de la deflexi´on correspondiente a un ´ındice de explanada igual a 800.
El spline c´ubico natural que interpola la tabla anterior viene determinado por los siguientes coeficientes:
M
0
M
1
M
2
M
3
M
4
La expresi´on de y es:
y(x) =
100 , 6500015 − 0 , 2638535 · (x − 200) + 0, 0000021 · (x − 200)
3 si 200 ≤ x ≤ 300
76 , 3700027 − 0 , 2006931 · (x − 300) + 0, 0006316 · (x − 300)
2 − 0 , 0000010 · (x − 300)
3 si 300 ≤ x ≤ 500
53 , 8300018 − 0 , 0630347 · (x − 500) + 0, 0000567 · (x − 500)
2 si 500 ≤ x ≤ 1000
33 , 3199997 − 0 , 0253347 · (x − 1000) + 0, 0000187 · (x − 1000)
2 si 1000 ≤ x ≤ 2000
Para un ´ındice de explanada igual a 800 la evaluaci´on del Spline proporciona un valor para la deflexi´on
S(800) = 39,337952.
Problema 16
Para la fabricaci´on de una pieza de alta precisi´on, utilizando una m´aquina guiada por ordenador, se
cuenta con medidas de su perfil de dise˜no efectuadas s´olo en algunos puntos de la misma.
La tabla siguiente proporciona dichas medidas:
x i
f (xi) 2.51 4.04 5.54 5.80 5.40 5.57 5.84 4.
Se sabe que esta cruva f presenta una discontinuidad de su pendiente en el punto x = 6,1, donde
f
′ (6, 1
− ) = 0,20 y f
′ (6, 1
) = − 1 ,80.
Adicionalmente, se requiere que el perfil de la pieza, en los extremos, satisfaga f
′ (0,0) = 0,80 y f
′ (18,0) =
Se pide encontrar la funci´on spline c´ubica S que permita generar una curva suave de dise˜no de la pieza,
para programar con esta funci´on el dispositivo computerizado encargado de fabricarla.
Para resolver este problema utilizamos dos polinomios Spline c´ubicos completos, S 1 en el intervalo [0 , 6 ,1]
y S 2 en [6, 1 , 18]. La funci´on deseada S es la uni´on de ambos Spline, i.e.
S(x) =
S
1
(x) si 0 ≤ x ≤ 6 , 1
S
2
(x) si 6, 1 ≤ x ≤ 18
La expresi´on completa de la funci´on S es
S(x) =
2 ,51 + 0, 8 · x + 0, 0027478 · x
2 − 0 , 0101239 · x
3 si 0 , 0 ≤ x ≤ 2 , 0
4 ,04 + 0, 6895044 · (x − 2) − 0 , 0579956 · (x − 2)
2 − 0 , 0017242 · (x − 2)
3 si 2 , 0 ≤ x ≤ 5 , 0
5 ,54 + 0, 2949781 · (x − 5) − 0 , 0735132 · (x − 5)
2
3 si 5 , 0 ≤ x ≤ 6 , 1
5 , 80 − 1 , 8 · (x − 6 ,1) + 2, 2848775 · (x − 6 ,1)
2 − 0 , 8652277 · (x − 6 ,1)
3 si 6 , 1 ≤ x ≤ 7 , 0
5 ,40 + 0, 2102763 · (x − 7) − 0 , 0512375 · (x − 7)
2
3 si 7 , 0 ≤ x ≤ 8 , 0
5 ,57 + 0, 1406851 · (x − 8) − 0 , 0183537 · (x − 8)
2
3 si 8 , 0 ≤ x ≤ 12 , 0
5 , 84 − 0 , 0054555 · (x − 12) − 0 , 0181815 · (x − 12)
2 − 0 , 0011701 · (x − 12)
3 si 12, 0 ≤ x ≤ 18 , 0
Figura 5: Perfil de la pieza seg´un la funci´on S calculada
