Perfil de velocidad en fluido Newtoniano, Ejercicios de Termodinámica Química

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FUNDAMENTOS DE FENÓMENOS DE

TRANSPORTE

Problemas Primer Parcial

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

1

DRA. MIRIAM NOEMI MORENO MONTIEL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA QUIMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS

EJEMPLOS

1. Un fluido viscoso con flujo laminar circula por una rendija formada por dos paredes planas separadas a una distancia 2B. Efectuar un balance diferencial de cantidad de movimiento y obtener en una expresión para la distribución de velocidad.

y

x

z

2B

L

P 0

PL

Suposiciones:

1) Flujo laminar vz=vy=0 vx(z)

2) Fluido Newtoniano

3) Fluido incompresible

4) Estado estacionario

1 )z = B vx = 0 2 )z = 0 vx = velocidad máxima ó

Condiciones de

frontera: 0

vx

z

vx

t t

  

x xz

v

z

 

 = cte

Dra. Miriam Noemí Moreno Montiel (IPN-ESIQIE 2020)

2 2 2 2

2 2 2

x

Kz KB K v B z

= − + = −

Perfil de velocidad

APLICANDO CONDICIONES DE FRONTERA

Sustitución de 2 en B

x

dP

g K cte

dx

− +  = = zx

d dz Kdz dz

1

dv x K z C

dz 

= − +

 zx = Kz + C 1

1

dv x

Kz C

dz

2

1 2 2

x

Kz v C z C 

= − + +

x x x x xx yx zx x y z x

v v v v P v v v g t x y z x x y z

^  

             +^ +^ +^ = −^ −^ ^ +^ +^ +  ^ ^ ^ ^  ^  ^ ^  

Ecuación de movimiento

( vx )^0 x





( vx )^0 x





vx x = cte

Estado estacionario no hay velocidad en y ni en z

( vx^ ) ( v^ y ) ( vz )^0

t x y z

   

   

• • • =    

Ecuación de Continuidad (Coordenadas rectangulares)

A

B

(^0 )

K C

= − +^1 C = 0

Sustitución de 1 en A 2 (^0 ) 2

KB C 

= − +

2

2 2

KB C 

=

Por lo tanto el perfil de velocidad seria:

Solución en función de 

0

(^000)

(^0 )

x xz

dv

dz

Sustitución ley de viscosidad  = −

1

dv x K z C dz 

= − +^1 1

C donde C

= −

Integrando la ecuación B

Dra. Miriam Noemí Moreno Montiel (IPN-ESIQIE 2020)

1

dv (^) x K z C

dz 

= − +

Esfuerzo de corte general

B C 1 (^) = 0

Solución

x xz

dv

dz

y

dvx K z dz 

= −

 xz = Kz

Esfuerzo de corte en la pared

 xz = KB

x

dP

g K cte

dx

Despejando K

Notar que la presión no depende de z sino de x:

dP

cte k

dx

dP

k

dx

= dP^ = kdx

0

L

o

P (^) L

P

dP = k dx

PL − Po = kL Por lo tanto :

PL Po

k

L

L o x

P P

g K

L

ó: o^ L x

P P

K g

L

2 2

2 2

o L x x

P P g v B z L

 −  = (^)  + (^)  −  

o L xz x

P P

g B

L

 

Solución

EJEMPLOS

2. Un fluido Newtoniano incomprensible desciende por un tubo circular de radio “R” y longitud “L”, se supone que el perfil de velocidad a la entrada está totalmente desarrollado. Planté los balances de cantidad de movimiento en estado estacionario que puedan servir como modelo de proceso. Considere la presión de entrada igual a Po y la de salida Pl

Suposiciones:

1) Flujo laminar vr=v  =0 vz(r)

2) Fluido Newtoniano

3) Fluido incompresible

4) Estado estacionario

1 )r = R vZ= 0 2 )r = 0 vZ = velocidad máxima ó

Condiciones de

frontera: z 0

dv

dr

vz

t t

  

z zr

dv

dr

 = −

 = cte

r

R

z z=

z= L

P 0

P L

Dra. Miriam Noemí Moreno Montiel (IPN-ESIQIE 2020)

z

dP

g K cte

dz

2 2

2 2 2

z z z z^1 z^1 z z r z z

v v v v v P v v v v v r g t r r z z r r r r z



 ^ ^ ^ ^  ^ ^   ^  ^    +^ +^ +^ = −^ +^   +^ +^ +  ^ ^ ^ ^  ^  ^ ^ ^  ^  

Ecuación de movimiento

( (^) z )^0

d v dz

 = ( (^) z ) 0

d v dz

= z z

v = cte

Estado estacionario no hay velocidad en y ni en z

Ecuación de Continuidad (Coordenadas cilíndricas )

Solución

0

(^000)

0

0 0 0 0

r vr^ v^ vz^0

t r r r z

 

o L z

P P

K g

L

1 0 z z

dP d dv r g dz r dr dr

 (^)   − + (^)   + =  ^ 

(^1) z z

d dv dP r g K r dr dr dz

 (^)      =^ −^ = −  ^ 

EJEMPLOS

3. Un fluido Newtoniano incomprensible fluye por un tubo circular de radio “R” y longitud “L”, se supone que el perfil de velocidad a la entrada está totalmente desarrollado. Planté los balances de cantidad de movimiento en estado estacionario que puedan servir como modelo de proceso. Considere la presión de entrada igual a Po y la de salida Pl

Condiciones de frontera:

r

R z

z=0 z= L

P 0 PL

EJEMPLOS

3. Un fluido Newtoniano incomprensible fluye por un tubo circular de radio “R” y longitud “L”, se supone que el perfil de velocidad a la entrada está totalmente desarrollado. Planté los balances de cantidad de movimiento en estado estacionario que puedan servir como modelo de proceso. Considere la presión de entrada igual a Po y la de salida Pl

Suposiciones:

1) Flujo laminar vr=v  =0 vz(r)

2) Fluido Newtoniano

3) Fluido incompresible

4) Estado estacionario

1 )r = R vZ= 0 2 )r = 0 vZ = velocidad máxima ó

Condiciones de

frontera: z 0

v

r

vz

t t

  

z zr

v

r

 

 = cte

r

R z

z=0 z= L

P 0 PL

Dra. Miriam Noemí Moreno Montiel (IPN-ESIQIE 2020)

Solución

d dvz K r r

dr dr 

   = −  

d dvz K r dr rdr dr dr 

    = −  

2 1 2

dv z K r r C dr 

= − +^1 2

dv z K C r

dr  r

= − +

B 1 2

dv (^) z dr K r C dr

dr  r

  = (^)  − +   

2 1 ln 2 4

z

K v r C r C

= − + +

A

2 2 2 2

4 4 4

Z

Kr KR K v R r

= − + = −

Perfil de velocidad

APLICANDO CONDICIONES DE FRONTERA

Sustitución de 2 en B

C 1 (^) = 0

Sustitución de 1 en A

2

2 4

KR C 

=

Por lo tanto el perfil de velocidad seria:

1 0 0 2 0

K C

= − +

2 (^0 ) 4

K R C

= − +

2 2

4

o L Z

P P v R r  L

 −  = (^)   −  

(^) Esfuerzo de corte general : z zr

dv

dr

 = −

zr

K

 = r

Esfuerzo de corte en la pared :

zr

K

 = R

EJEMPLOS

4. Un fluido viscoso asciende por el espacio comprendido entre 2 tubos de radio R y kR Se observa que en una capa de espesor h se alcanza un flujo totalmente desarrollado (es decir se alcanza una velocidad máxima.

a) Determine el perfil de velocidad del fluido en la película.

b) Defina y determine el máximo esfuerzo de corte

c) Grafique el perfil de velocidad y el esfuerzo de corte, en el esquema que represente el problema plantado

r

z

z=

z=

R L

KR



PL

Po

Dra. Miriam Noemí Moreno Montiel (IPN-ESIQIE 2020)

𝜌

𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑡

• 𝑣𝑟

𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑟

𝑣𝜃 𝑟

𝜕𝑣𝑧 𝜕𝜃

• 𝑣𝑧

𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑧

= −

𝜕𝑃 𝜕𝑧

• 𝜇

1 𝑟

𝜕 𝜕𝑟

𝑟

𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑟

1 𝑟^2

𝜕^2 𝑣𝑧 𝜕𝜃^2

𝜕^2 𝑣𝑧 𝜕𝑧^2

− 𝜌𝑔𝑧

Ecuación de movimiento

( (^) z )^0

d v dz

 = ( (^) z ) 0

d v dz

= z z

v = cte

Estado estacionario no hay velocidad en y ni en z

Ecuación de Continuidad (Coordenadas cilíndricas )

Solución

0

(^000)

0

0 0 0

r vr^ v^ vz^0

t r r r z

 

𝜇

1 𝑟

𝑑 𝑑𝑟

𝑟

𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟

−

𝜕𝑃 𝜕𝑧

− 𝜌𝑔𝑧 = 0

Cambia de

signo porque

se opone al movimiento

𝑑 𝑑𝑟

𝑟

𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟

=

1 𝜇

𝜕𝑃 𝜕𝑧

𝜌𝑔𝑧 𝜇

𝑟 න

𝑑 𝑑𝑟

𝑟

𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟

𝑑𝑟 = න

𝜌𝑔𝑧 𝜇

𝑃𝐿 − 𝑃𝑜 𝜇𝐿

𝑟 𝑑𝑟 𝑟^

𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟

=

𝜌𝑔𝑧 𝜇

𝑃𝐿 − 𝑃𝑜 𝜇𝐿

𝑟^2 2

• 𝐶 1

𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟

=

𝜌𝑔𝑧 𝜇

𝑃𝐿 − 𝑃𝑜 𝜇𝐿

𝑟 2

𝐶 1 𝑟 න^

𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑟

𝑑𝑟 = න

𝜌𝑔𝑧 𝜇

𝑃𝐿 − 𝑃𝑜 𝜇𝐿

𝑟 2

𝐶 1 𝑟

𝑑𝑟

B A

𝑣𝑧 =

𝜌𝑔𝑧 4 𝜇

𝑃𝐿 − 𝑃𝑜 4 𝜇𝐿

𝑟^2 + 𝐶 1 ln 𝑟 + 𝐶 2

Dra. Miriam Noemí Moreno Montiel (IPN-ESIQIE 2020)

Solución

Perfil de velocidad

APLICANDO CONDICIONES DE FRONTERA

Sustitución de 2 en B

Sustitución de 1 en A

Por lo tanto el perfil de velocidad seria:

0 =

𝜌𝑔𝑧 𝜇

𝑃𝐿 − 𝑃𝑜 𝜇𝐿

𝑅 + ℎ 2

𝐶 1 𝑅 + ℎ

𝐶 1 = −

𝜌𝑔𝑧 𝜇

𝑃𝐿 − 𝑃𝑜 𝜇𝐿

𝑅 + ℎ 2 2

𝑣𝑧 =

𝜌𝑔𝑧 4 𝜇

𝑃𝐿 − 𝑃𝑜 4 𝜇𝐿

𝑟^2 −

𝜌𝑔𝑧 𝜇

𝑃𝐿 − 𝑃𝑜 𝜇𝐿

𝑅 + ℎ 2 2

ln 𝑟 −

𝜌𝑔𝑧 4𝜇

𝑃𝐿 − 𝑃𝑜 4 𝜇𝐿

𝑅^2 +

𝜌𝑔𝑧 𝜇

𝑃𝐿 − 𝑃𝑜 𝜇𝐿

𝑅 + ℎ 2 2

ln 𝑅

0 =

𝜌𝑔𝑧 4 𝜇

𝑃𝐿 − 𝑃𝑜 4 𝜇𝐿

𝑅^2 + 𝐶 1 ln 𝑅 + 𝐶 2

0 =

𝜌𝑔𝑧 4 𝜇

𝑃𝐿 − 𝑃𝑜 4 𝜇𝐿

𝑅^2 −

𝜌𝑔𝑧 𝜇

𝑃𝐿 − 𝑃𝑜 𝐿𝜇

𝑅 + ℎ 2 2

ln 𝑅 + 𝐶 2

−

𝜌𝑔𝑧 4 𝜇

𝑃𝐿 − 𝑃𝑜 4 𝜇𝐿

𝑅^2 +

𝜌𝑔𝑧 𝜇

𝑃𝐿 − 𝑃𝑜 𝜇𝐿

𝑅 + ℎ 2 2

ln 𝑅 = 𝐶 2

𝑣𝑧 =

𝜌𝑔𝑧 4 𝜇

𝑃𝐿 − 𝑃𝑜 4 𝜇𝐿

𝑟^2 −𝑅^2 −

𝜌𝑔𝑧 𝜇

𝑃𝐿 − 𝑃𝑜 𝜇𝐿

𝑅 + ℎ 2 2

ln

𝑟 𝑅

Dra. Miriam Noemí Moreno Montiel (IPN-ESIQIE 2020)

Solución

Perfil de velocidad

( )

2 2 2 ln 4 2

z z z

g g R^ h r v r R R

 (^) +    = − −   (^)     (^)    

2

z zr

g R^ h

r

r

 

Esfuerzo de corte

0

10

20

30

40

50

60

70

0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.

ESFUERZO DE CORTE

RADIO

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.

VZ

RADIO

Perfil parabólico de velocidad

EJEMPLOS

5. Un fluido viscoso desciende por el espacio comprendido entre 2 tubos de radio R y kR Se observa que en una capa de espesor h se alcanza un flujo totalmente desarrollado (es decir se alcanza una velocidad máxima.

a) Determine el perfil de velocidad del fluido en la película.

b) Defina y determine el máximo esfuerzo de corte

c) Grafique el perfil de velocidad y el esfuerzo de corte, en el esquema que represente el problema plantado

Suposiciones:

1) Flujo laminar vr=v  =0 vz(r)

2) Fluido Newtoniano

3) Fluido incompresible

4) Estado estacionario

1 )r = R vZ= 0 2 )r = R+ h vZ = velocidad máxima ó

Condiciones de

frontera:^0

vz

r

vz

t t

  

z zr

v

r

 

 = cte

r z

z=

z= L



Po kR

R