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EJERCICIOS DE ANÁLISIS DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO.
EJERCICIO Nº 1.
Determinar si la siguiente sección es subreforzada o sobrerreforzada. Calcular la resistencia a flexión de la sección. Determinar la deformación unitaria en el acero en el momento de alcanzar la resistencia.
Datos: ds (Nº 3) = 0,953 cm, db (Nº 7) = 2,222 cm, Ab (Nº 7) = 3,88 cm^2
As = 3·(3,88 cm^2 ) = 11,64 cm^2 , rd = 4 + 0,953 + 2,222/2 =6,604 cm, Es = 2,1x10^6 kg/cm^2
- Dado que f’c = 250 kg/cm^2 < 280 kg/cm^2 , 𝛽 1 = 0,
- Se calcula la profundidad del bloque rectangular equivalente “a”.
- Se verifica si el acero de refuerzo longitudinal está en cedencia, es decir si fs = fy
𝒅𝒕^ = 𝜷𝟏^ · (^
𝟎, 𝟎𝟎𝟑 · 𝑬𝒔 + 𝒇𝒚^ )
𝒅𝒕^ = 𝟎, 𝟖𝟓 · (^
𝒅𝒕^ = 𝟎, 𝟓𝟏
se compara a/dt con ab / dt:
dt = d = h – rd = 50 – 6,604 = 43,396 cm
𝒂 𝒅𝒕^ =^
Como 0,18 < 0,51, el acero a tracción está cedencia. Se cumple lo supuesto inicialmente y se continúa con el análisis.
- Se verifica si la sección está controlada por tracción.
EJERCICIO Nº
Determinar si la siguiente sección es subreforzada o sobrerreforzada. Calcular la resistencia a flexión de la sección. Determinar la deformación unitaria en el acero en el momento de alcanzar la resistencia.
Datos: ds (Nº 3) = 0,953 cm, db (Nº 7) = 2,222 cm, Ab (Nº 7) = 3,88 cm^2
As = 5·(3,88 cm^2 ) = 19,4 cm^2 , Es = 2,1x10^6 kg/cm^2
𝑟𝑑 =
A1 = 3·3,88 = 11,64 cm^2 , A2 = 2·3,88 = 7,76 cm^2.
𝑟𝑑 =
- Dado que f’c = 210 kg/cm^2 < 280 kg/cm^2 , 𝛽 1 = 0,
- Se calcula la profundidad del bloque rectangular equivalente “a”.
- Se verifica si el acero de refuerzo longitudinal está en cedencia, es decir si fs = fy
𝒅𝒕^ = 𝜷𝟏^ · (^
𝟎, 𝟎𝟎𝟑 · 𝑬𝒔 + 𝒇𝒚^ )
𝒅𝒕^ = 𝟎, 𝟖𝟓 · (^
𝒅𝒕^ = 𝟎, 𝟓𝟏
se compara a/dt con ab / dt :
d = h – rd = 40 – 8,28 = 31,72 cm, dt =h – y1 = 40 – 6,604 = 33,396 cm
𝑴𝒏 = 𝑨𝒔 · 𝒇𝒔 · (𝒅 − 𝒂𝟐) = 𝟏𝟗, 𝟒 · 𝟑𝟖𝟒𝟗, 𝟒 · (𝟑𝟏, 𝟕𝟐 − 𝟏𝟔,𝟕𝟑𝟔𝟐 ) = 𝟏𝟕𝟒𝟑𝟖𝟖𝟗 kg-cm
𝑴𝒏 = 𝟏𝟕, 𝟒𝟒 𝒕𝒐𝒏 − 𝒎
Como el acero no cede, la sección es sobrerreforzada. La sección está controlada por compresión, ϕ = 0,65 por tener refuerzo transversal de estribo.
- Se determina la resistencia de diseño ϕ·Mn
𝝓 ∙ 𝑴𝒏 = 𝟎, 𝟔𝟓 ∙ 𝟏𝟕, 𝟒𝟒 = 𝟏𝟏, 𝟑𝟒 𝒕𝒐𝒏 − 𝒎
Se puede concluir que la sección está mal diseñada, porque para un diseño correcto la sección debe estar controlada por tracción.
La deformación del acero es: 𝛆𝒕 = 𝟎,𝟎𝟎𝟑∙(𝒅𝒄 𝒕−𝒄)= 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ (𝜷𝟏 𝒂∙𝒅 𝒕− 𝟏)
La deformación es prácticamente igual que la deformación del acero en la cedencia: 𝜀𝑦 = 𝑓 𝐸𝑦𝑠 = 4200 2100000 = 0,002, la sección se encuentra en el límite de sección controlada por compresión. Prácticamente está en la falla balanceada.
EJERCICIO Nº 3
Las dimensiones de la sección transversal de una viga rectangular son de 30 cm de ancho y 50 cm de altura. La viga se refuerza con 6 barras #6 ( ¾”) como se indica en la figura. Considerando f’c = 280 kg/cm^2 y fy = 4200 kg/cm^2. El recubrimiento mínimo es 4 cm, estribos Nº 3 y separación libre vertical entre capas de 2,5 cm.
a) Determinar el momento de agotamiento resistente que puede soportar la sección. b) Determinar el momento de agotamiento resistente que puede soportar la sección, si se refuerza a compresión con 2 barra # 5.
Parte a)
- Se establece el valor de β1: β1 = 0,
- Se determina a: 0 , 85 f ' c a b As fy
As = 6·2,85 = 17,1 cm^2 , a 10 , 06 cm 0 , 85 280 30
se compara a/dt con ab / dt :
d = h – rd = 50 – 7,37 = 42,63 cm, dt = h – y1 = 50 – 5,906 = 44,094 cm
𝒂 𝒅𝒕^ =
Como 0,228 < 0,51, el acero a tracción cede. Se cumple lo supuesto inicialmente y se continúa con el análisis.
- Se verifica si la sección está controlada por tracción.
Se calcula la relación: 𝒂 𝒅𝑪𝑻𝑳𝒕 = 𝟎, 𝟑𝟕𝟓 · 𝜷𝟏 = 𝟎, 𝟑𝟕𝟓 · 𝟎, 𝟖𝟓 = 𝟎, 𝟑𝟏𝟗
a / dt = 0,228 < 0,319, la sección está controlada por tracción, entonces = 0,
- Se determina la resistencia nominal a flexión Mn y la resistencia de diseño 𝟇·Mn. (Esto es cuando As cede).
- Se determina la resistencia de diseño ϕ·Mn
𝝓 ∙ 𝑴𝒏 = 𝟎, 𝟗𝟎 ∙ 𝟐𝟕 = 𝟐𝟒, 𝟑 𝒕𝒐𝒏 − 𝒎
Como el acero cede, la sección es subreforzada.
La deformación del acero es: 𝛆𝒕 = 𝟎,𝟎𝟎𝟑∙(𝒅𝒄 𝒕−𝒄)= 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ (𝜷𝟏 𝒂∙𝒅 𝒕− 𝟏)
Se comprueba que la sección está controlada por tracción dado que 0,00818 > 0,005.
Parte b)
Determinar el momento de agotamiento resistente de la sección que se muestra. Considere f’c = 280 kg/cm^2 , fy = 4200 kg/cm^2 , recubrimiento mínimo de 4 cm, estribos Nº 3, y separación libre vertical entre capas de 2,5 cm.
Datos: ds (Nº 3) = 0,953 cm, db (Nº 6) = 1,905 cm, Ab (Nº 6) = 2,85 cm^2
db (Nº 5) = 1,588 cm, Ab (Nº 5) = 1,98 cm^2
d’ = 4 + 0,953 + 1,588 / 2 = 5,747 cm
As = 6·(2,85 cm^2 ) = 17,1 cm^2 , A’s = 2·1,98 = 3,96 cm^2 , Es = 2,1x10^6 kg/cm^2
𝑟𝑑 =
A1 = 4·2,85 = 11,4 cm^2 , A2 = 2·2,85 = 5,7 cm^2.
𝑟𝑑 =
𝒅𝒕^ =^
Como a / dt = 0,175 < 0,51, el acero a tracción está en cedencia. Pero entramos al caso 2 porque el acero a compresión no cede.
La “a” calculada antes es incorrecta y hay que calcularla de nuevo:
Por equilibrio en la figura (c):
Considerada en conjunto con las ecuaciones
𝒇𝒔 = 𝒇𝒚 = 𝟒𝟐𝟎𝟎 (^) 𝒄𝒎𝒌𝒈𝟐 , porque el acero a tracción está en cedencia.
𝟕𝟏𝟒𝟎 ∙ 𝒂𝟐^ = 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟎 ∙ 𝒂 − 𝟐𝟒𝟗𝟒𝟖 ∙ 𝒂 + 𝟏𝟐𝟏𝟖𝟕𝟏
𝟕𝟏𝟒𝟎 ∙ 𝒂𝟐^ − 𝟒𝟔𝟖𝟕𝟐 ∙ 𝒂 − 𝟏𝟐𝟏𝟖𝟕𝟏 = 𝟎
La solución es a = 8,56 cm
Se calcula f’s:
𝒇′𝒔 = 𝟔𝟑𝟎𝟎∙(𝟖,𝟓𝟔−𝟒,𝟖𝟖𝟓)𝟖,𝟓𝟔 = 𝟐𝟕𝟎𝟒, 𝟕𝟑 kg/cm^2
Se calculan Cc y Cs:
𝑪𝒔 = 𝑨′𝒔 ∙ 𝒇′𝒔 = 𝟑, 𝟗𝟔 ∙ 𝟐𝟕𝟎𝟒, 𝟕𝟑 = 𝟏𝟎𝟕𝟏𝟎, 𝟕𝟒 𝒌𝒈
𝑪𝒄 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝒇′𝒄 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝟎. 𝟖𝟓 ∙ 𝟐𝟖𝟎 ∙ 𝟖, 𝟓𝟔 ∙ 𝟑𝟎 = 𝟔𝟏𝟏𝟏𝟖, 𝟒 𝒌𝒈
El momento nominal se obtiene tomando momentos a Cc y a Cs con respecto a T.
𝑴𝒏 = 𝑪𝒄 ∙ (𝒅 −
𝑴𝒏 = 𝟔𝟏𝟏𝟏𝟖, 𝟒 ∙ (𝟒𝟐, 𝟔𝟑 − 𝟖,𝟓𝟔𝟐 ) + 𝟏𝟎𝟕𝟏𝟎, 𝟕𝟒 ∙ (𝟒𝟐, 𝟔𝟑 − 𝟓, 𝟕𝟒𝟕) = 𝟐𝟕𝟑𝟖𝟗𝟑𝟒, 𝟗 kg-cm
Mn = 27,39 ton-m
Si el acero a tracción está en cedencia hay que chequear si la sección está controlada por tracción:
Se determina la relación: 𝒂 𝒅𝑪𝑻𝑳𝒕 = 𝟎, 𝟑𝟕𝟓 ∙ 𝜷𝟏
Si (^) 𝒅𝒂𝒕 ≤ 𝒂 𝒅𝑪𝑻𝑳𝒕 , la sección está controlada por tracción y 𝜙 = 0,
𝒂 𝒅𝒕^ =^
Como a / dt = 0,194 < 0,319 la sección está controlada por tracción y 𝜙 = 0,
Se determina la resistencia de diseño ϕ·Mn
𝝓 ∙ 𝑴𝒏 = 𝟎, 𝟗𝟎 ∙ 𝟐𝟕, 𝟑𝟗 = 𝟐𝟒, 𝟔𝟓 𝒕𝒐𝒏 − 𝒎
Al comparar con la sección sin acero a compresión, la resistencia de diseño aumento de 24,3 ton-m a 24,65 ton-m, al colocar el acero a compresión. En porcentaje es un incremento de 1,44 %.
La deformación del acero es: 𝛆𝒕 = 𝟎,𝟎𝟎𝟑∙(𝒅𝒄 𝒕−𝒄)= 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ (𝜷𝟏 𝒂∙𝒅 𝒕− 𝟏)
Se incrementa la deformación a tracción neta 𝜀t se incrementa de 0,00818 a 0,0101. En porcentaje es un incremento de 23,5 %.
Ejemplo Nº 4
Verificar si una viga rectangular simplemente apoyada con una luz de 4,6 m, reforzada con 4ϕ de 7/8” resiste el momento último que produce una carga permanente de 1800 kgf/m y una carga variable de 3600 kgf/m actuando sobre la viga. Considere f’c = 280 kgf/cm2 , fy = 4200 kgf/cm2, módulo de elasticidad del acero 2.1x10^6 kgf/cm^2 , b = 30cm y h = 50 cm. Considere un recubrimiento mínimo normativo de 4 cm y estribos Nº 3.
Datos: As = 4·3.88 = 15,52 cm^2 , db = 2,222 cm, ds = 0,953 cm.
rd = 4 + 0,953 + 2,222 / 2 = 6,064 cm,
u = 1,2·p + 1,6·v = 1,2·1800 + 1,6·3600 = 7920 kgf /m
El momento máximo para una viga simplemente apoyada está en el centro de la luz y su valor es:
𝜔𝑢 ∙ 𝑙^2
7920 ∙ 4,6^3
- Se verifica si el acero de refuerzo longitudinal está en cedencia, es decir si fs = fy
𝒅𝒕^ = 𝜷𝟏^ · (^
𝟎, 𝟎𝟎𝟑 · 𝑬𝒔 + 𝒇𝒚^ )
𝒅𝒕^ = 𝟎, 𝟖𝟓 · (^
se compara a/dt con ab / dt:
dt = d = h – rd = 50 – 6,604 = 43,396 cm
𝒂 𝒅𝒕^ =^
Como 0,21 < 0,51, el acero a tracción está cedencia. Se cumple lo supuesto inicialmente y se continúa con el análisis.
- Se verifica si la sección está controlada por tracción.
Se calcula la relación: 𝒂 𝒅𝑪𝑻𝑳𝒕 = 𝟎, 𝟑𝟕𝟓 · 𝜷𝟏 = 𝟎, 𝟑𝟕𝟓 · 𝟎, 𝟖𝟓 = 𝟎, 𝟑𝟏𝟗
a / dt = 0,21 < 0,319, la sección está controlada por tracción, entonces = 0,
- Se determina la resistencia nominal a flexión Mn y la resistencia de diseño 𝟇·Mn. (Esto es cuando As cede).
- Se determina la resistencia de diseño ϕ·Mn
𝝓 ∙ 𝑴𝒏 = 𝟎, 𝟗𝟎 ∙ 𝟐𝟓, 𝟑𝟏 = 𝟐𝟐, 𝟕𝟖 𝒕𝒐𝒏 − 𝒎
Dado que ϕ·Mn = 22,78 ton-m > Mu = 20,95 ton-m, la sección puede resistir las cargas dadas con un grado aceptable de seguridad. Faltaría chequear las deflexiones para verificar que tiene la rigidez adecuada para que la deflexión sea menor que los valores de deflexión permisibles, chequear agrietamiento bajo cargas de servicio y las vibraciones.
Ejercicio Nº 5.
Determine el momento de agotamiento resistente de la viga Te siguiente:
Ejercicio Nº 6
Determine el momento de agotamiento resistente de la viga Te siguiente:
Datos: As = 7·5,07 = 35,49 cm^2 , db = 2,54 cm, b = 75 cm, bw = 25 cm, t = 8 cm.
𝑟𝑑 =
A 1 = 3·5,07 = 15,21 cm^2 , A 2 = A 3 = 2·5,07 = 10,14 cm^2.
- Dado que f’c = 280 kg/cm^2 , 𝛽 1 = 0,
- Se asume que el eje neutro está dentro del patín, es decir c t.
c = a / 1 = 8,35 / 0,85 = 9,82 cm > 8 cm, no se cumple lo supuesto, entonces la viga trabaja como Te.
Se considera la viga patín:
De las figura (c) y (d)
𝐶𝑝 = 0,85 ∙ 𝑓′𝑐 ∙ 𝑡 ∙ (𝑏 − 𝑏𝑤) = 0,85 ∙ 280 ∙ 8 ∙ (75 − 25) = 95200 𝑘𝑔
𝑇𝑝 = 𝐴𝑠𝑝 ∙ 𝑓𝑦 = 4200 ∙ 𝐴𝑠𝑝
2
Se considera la viga alma:
Ca = Ta 0,85 ∙ 𝑓′𝑐 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏𝑤 = 𝐴𝑠𝑎 ∙ 𝑓𝑦
Donde 𝐴𝑠𝑎 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠𝑝 = 35,49 − 22,67 = 12,82 𝑐𝑚^2
d = h – rd = 60 – 9,29 = 50,71 cm, dt = h – y1= 60 – 5 = 60 cm, c = a / 1 = 9,05 / 0,85 = 10,65 cm
Calculamos c / dt = 10,65 / 60 = 0,1775 < 0,375, el acero está en cedencia y la sección está controlada por tracción.
Se determina la resistencia nominal a flexión Mn y la resistencia de diseño 𝟇·Mn. Con 𝟇 = 0,
