Ejemplos y Resumenes 321, Apuntes de Física

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CAPÍTULO ELECTROSTÁTICA En este capítulo se presentan los conceptos empíricos de carga eléctrica y de fuerzas entre cargas eléctricas en reposo, empleándose los elementos matemáticos del Capítulo 1 para introducir y desarrollar los conceptos de campo y potencial eléctricos, para el caso en que los fenómenos no dependen del tiempo. Aunque es la más simple de las situaciones del electromagnetismo, su comprensión resulta imprescindible tanto para explicar muchos de los fenómenos naturales e industriales, como para abordar los modelos electromagnéticos más complicados, que se verán en capítulos posteriores. 1. CARGA ELÉCTRICA Al igual que la masa caracteriza los fenómenos de interacción gravitatoria, la carga eléctrica q caracteriza las interacciones electrostáticas, existiendo dos y sólo dos tipos de cargas eléctricas, conocidas como positiva y negativa. La carga eléctrica neta de un cuerpo es la suma de las cargas positivas y negativas del mismo, de modo que cuando un cuerpo presenta electrización positiva la suma de cargas positivas en él excede la suma de negativas, presentando electrización negativa en caso contrario. Si la suma de cargas positivas y negativas es nula se dice que el cuerpo es eléctricamente neutro. También es un hecho experimental observado en todos los procesos de la naturaleza que la carga no puede crearse ni destruirse, lo que se conoce como principio de conservación de la carga: en cualquier proceso que se realiza en un sistema aislado, la carga neta o total no cambia. En el Sistema Internacional de unidades (SI), la unidad de carga eléctrica es el culombio (C).! Considérese ahora una distribución continua de carga de volumen V. Se define en el mismo un diferencial macroscópico, de volumen dV, como un volumen infinitesimal desde un punto de vista macroscópico, pero suficientemente grande desde el punto de vista microscópico como para contener un número elevado de constituyentes elementales (átomos, moléculas). Calculando la carga contenida en el mismo, se puede entonces definir una función de densidad de carga, que caracterice una distribución continua y que permita determinar por integración su carga total. Se 1El culombio puede definirse en función de la unidad fundamental e (carga del electrón) por 1C =6,25x10'8e.. Normalmente se define a partir de experimentos magnéticos como se detallará en el Capítulo 5, los cuáles permiten definir la unidad de corriente eléctrica llamada amperlo (A) y a partir de ella el culombio: si por ua alambre circula una corriente de 1A, la cantidad de carga que fluye por un punto del alambre en 1s es 10. 25 Scanned with ¡(2 CamScanner'; 26 Capítulo 2. Electrostática define así la densidad volumétrica de carga (p) por = tim 21. Y RI E Qu) que representa la carga por unidad de volumen en cada punto. Su unidad en el Sl es Cim”?. La carga total qy en el volumen V se obtiene como w= [vv (22) v Si la carga sólo se distribuye sobre una superficie S, se define la densidad superficial de carga O como in 24 - de o= asas" es que representa la carga por unidad de superficie en cada punto. Su unidad en el SI es Cm”?. La carga total gs en la superficie S se obtiene como pr E vdS. (24) Si la distribución de carga está distribuida en un hilo L, puede definirse asimismo la densidad lineal de carga A como Ag _ da (25) iaa que representa la carga por unidad de longitud en cada punto. Su unidad en el SI es Cm”*. La carga total q, en el hilo L se obtiene como: q= Í yA (25) Un caso de distribución de cargas eléctricas de particular interés se tiene con dos cargas iguales y de signo contrario, separadas una pequeña distancia, lo que se conoce como un dipolo eléctrico. Este tipo de distribución puede tenerse no sólo en el caso de dos cargas puntuales, sino también y como se verá en el Capítulo 3 debido a distribuciones de carga más complejas, en las cuales los centros de la carga negativa y de la carga positiva cumplan las características indicadas para el dipolo eléctrico. El dipolo eléctrico se caracteriza por su momento dipolar eléctrico, expresado por P=0d, en siendo d el vector de módulo igual a la distancia de separación entre la cargas y dirigido de la carga negativa a la positiva. La unidad en el SI es el Cm. Es de especial interés el caso en que la distancia d tiende a cero (es muy pequeña comparada con el resto de dimensiones del problema) formándose un dipolo puntual, sin carga neta ni extensión en el espacio, pero caracterizado completamente por su momento dipolar”?. Un caso de dipolo puntual es el de las moléculas polarizadas, de carga neta nula y tamaño despreciable, pero con momento dipolar no nulo. Las diversas observaciones realizadas en el siglo XVII por Coulomb y otros científicos permiten establecer que la fuerza entre dos cargas eléctricas en reposo tiene las siguientes características: 2El cálculo del campo y el potencial eléctricos creados por un dipolo se propone en el Problema 2.23. Scanned with ¡(2 CamScanner'; 28 Capítulo 2. Electrostática carga estuviera distribuida en una superficie o una línea. El vector r * representa la posición de cada uno de los diferenciales de volumen dV” para los que está definida la función de densidad. La ley de Coulomb y el principio de superposición son considerados como los dos principios básicos de la electrostática. En todas las expresiones obtenidas en el apartado anterior para la fuerza sobre una carga de referencia q en reposo debido a la presencia de otras cargas, se observa que dicha fuerza es proporcional a la carga testigo q. Puede así definirse, en cada punto del espacio, una magnitud independiente de la carga testigo perl. (2.14) q denominada campo eléctrico o electrostático*. El campo eléctrico en cada punto del espacio es, por tanto, la fuerza por unidad de carga que actúa sobre una carga testigo! en reposo colocada en dicho punto. Al igual que dicha fuerza, tiene carácter de campo vectorial. La unidad de campo eléctrico es newton/culombio (NC”!). La Expresión (2.14) puede aplicarse a las ecuaciones de la sección anterior y obtener así las diferentes expresiones del campo eléctrico. Los puntos del espacio en donde existen cargas y creadoras de campo se les denomina puntos fuente y se les asigna un vector de posición r”. Asimismo los puntos en los cuáles se desea determinar el campo eléctrico se les denomina puntos campo y se les asigna un vector de posición r. Así, aplicando la ley de Coulomb [Expresiones (2.8) o (2.9)], el campo debido a una carga puntual q, de vector de posición r”, resulta ser Y rra A" (2.15) siendo r el vector de posición de un punto campo P, d = |r — r'| la distancia de la carga q' al punto P y u el vector unitario dirigido del punto fuente al punto campo. El campo debido a un conjunto de N cargas puntuales q, en posiciones r; es, de la Ecuación (2.12), N Y y, (2.16) E(r) = > ER =P lr Anel? siendo d, = |r — ry| la distancia de la carga j-sima a P, y u, = (r—r;)/|r — r] el vector unitario en la dirección y sentido de q; a P. Y para una distribución continua de cargas, de la Ecuación (2.13), se obtiene A FEE E yo ler P rr! En las expresiones anteriores r representa el vector posición del punto donde se calcula el campo (punto campo) y ry o r* el vector posición de una cualquiera de las cargas o de los diferenciales de carga (punto fuente). El vector r — r” o r — r; que aparece en las expresiones no es sino el vector que va desde cada uno de los puntos fuente al punto campo, y su módulo representa la distancia entre ellos. La suma o la integración se realiza sobre la carga total: la variable, por tanto, no es r, sino r; o r”, siendo p también variable. E(r) = (2.17) Existen muchos fenómenos en los cuales el campo oléctrico depende del tiempo, como se verá en capítulos posteriores, y conviene entonces hacer referencia al término campo electrostático cuando se quiera resaltar la independencia respecto al tiempo de los fenómenos que se estudian, En electrostática, ambos conceptos coinciden. 4La carga testigo debe ser suficientemente pequeña (matemáticamente q — 0) para que no altere el campo eléctrico debido al resto de cargas. Scanned with ¡(2 CamScanner'; 2.4, Potencial electrostático 29 De las Expresiones (2.16) y (2.17) se extrae el principio de superposición del campo electrostático: el campo creado por un conjunto de cargas es igual a la suma de los campos producidos independientemente por cada una de ellas. Esta idea de superposición es la que de- be tenerse presente en el momento de calcular el campo creado por una distribución de carga cualquiera, debiéndose escoger las coordenadas que resulten más adecuadas para cada ocasión. El cálculo de la fuerza que actúa sobre una partícula cargada q cuando se introduce en una región en que existe un campo eléctrico E es inmediata a partir de la Ecuación (2.14) de definición del campo eléctrico: F=qE. (2.18) 2.4. POTENCIAL ELECTROSTÁ ICO En el Capítulo 1 se vio que que si el rotacional de un campo vectorial se anula, entonces dicho campo es conservativo. De acuerdo con las Expresiones (2.15)-(2.17) el rotacional del campo electrostático creado por cualquier distribución de carga en reposo es nulo? VxE=0, (2.19) y por tanto, deriva de un potencial, es decir, E=-v. (2.20) De la expresión anterior y teniendo en cuenta la relación entre E y F, se deduce que el potencial V representa la energía potencial por unidad de carga, V(r) = Eyír)/g - (2.21) La unidad de potencial en el SI es julio/culombio, a la que se da el nombre de voltio (V). A partir de esta unidad, resulta en ocasiones útil expresar la unidad de campo eléctrico como voltio/metro (Vm"3). Si se tiene en cuenta la Expresión (2.15) del campo E creado por una carga puntual, puede calcularsc cl potencial electrostático cn un punto P cualquicra del espacio, de vector posición r, debido a una carga puntual situada en r' a partir de la Expresión (2.20), resultando V(r) = +e, (2.22) q 4reod siendo d = |r— r'| la distancia de la carga q' al punto P. Para que en la expresión no aparezca la constante de integración c, se toma como referencia de potenciales el infinito (Va = 0) y así se tiene que para r = 00, V =0, y por tanto c = 0. Debe observarse que V es un campo escalar que depende de la distancia entre la carga que crea el campo y el punto objeto de estudio. En el caso de una superposición de campos, también se verifica que el potencial del campo total es la suma de los potenciales de cada campo individual, hecho que se conoce como principio de superposición de potenciales. Así, para N cargas puntuales el potencial es 14 1 La OE 2.23 vin) ÁnEo da Ir=rj] 4me0 Hd; (220) j=1 jul con d, = |r — r;[. Y para una distribución finita continua de carga, el potencial es V(r) = ¿E nr) dv' (2.24) Amo Jyr [r=" | 5En este caso es muy importante resaltar que la palabra electrostático no es casual, puesto que si los fenómenos dependicsen del tiempo, el rotacional del campo eléctrico no so anularía. Scanned with ¡(2 CamScanner'; Problemas resueltos 31 que enciorre la misma cantidad de carga. Debe insistirse en que el hecho de que el flujo a través de ambas superficies sca idéntico no implica que lo sea el valor del campo eléctrico en cada una de ellas. Asimismo, la redistribución de las cargas dentro de una superficie altera el flujo local producido por dichas cargas, pero no el flujo total a través de la superficie. En algunos casos, el teorema de Gauss permite calcular expresiones del campo electrostático creado por distribuciones de carga con determinadas simetrías geomótricas y eléctricas. Nor- malmente es posible este cálculo si se puede escoger una superficie para calcular el flujo (suele denominarse superficie gaussiana) de modo que el campo eléctrico en cualquiera de sus puntos tenga el mismo módulo y forme un ángulo constante con el vector normal a la superficie, como se verá en los problemas resueltos. 2.5.2. Forma diferencial de la ley de Gauss y ecuaciones de la elec- trostática La ley de Gauss permite obtener la expresión del flujo de un campo eléctrico a través de una superficie y obtener, en ocasiones, conclusiones sobre cómo es el campo en ella. Sin embargo el hecho de tener una expresión integral hace que los resultados dependan de la región sobre la cual se está integrando. Se puede deducir, sin embargo, una ley equivalente, pero en este caso en forma diferencial, de manera que el resultado pueda aplicarse a cada punto del espacio y no necesite de un dominio de integración: v.E()= 20), (2.29) €0 siendo p = p(r) la densidad de carga en el punto considerado. Esta expresión, que constituye una de las ecuaciones de Maxwell (Capítulo 10), representa la forma diferencial de la ley de Gauss”, que junto con la Ecuación (2.19), VxE(r)=0, (2.30) constituyen las ecuaciones fundamentales de la electrostática. Si se recuerda del Capítulo 1 que la divergencia es positiva en los puntos fuente o surgentes y negativa en los sumideros de campo, se observa que el campo eléctrico nace en los puntos con carga positiva y muere en los puntos con carga negativa. En el caso de que en un punto del espacio no exista carga eléctrica, la divergencia es nula. Combinando el carácter conservativo del campo electrostático (E = —VV') con la ley de Gauss se obtiene el laplaciano del campo electrostático como AV(r)=- a . (231) Esta ecuación se conoce como ecuación de Poisson. En las regiones en que la densidad de carga sea nula, la Ecuación (2.31) queda AV(r)=0, (2.32) conocida como ecuación de Laplace. Las Ecuaciones (2.31) y (2.32) son ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden de un campo escalar (el potencial electrostático) y sus soluciones, a diferencia de las de la ley dife- rencial de Gauss, son relativamente fáciles de obtener. Es posible mediante integración de estas ecuaciones, y conocidas determinadas condiciones de contorno impuestas por las distribuciones de carga, obtener el valor del potencial en problemas particulares. Obsérvese la necesidad de estas condiciones de contorno y de condiciones materiales (Capítulo 3) cuando se resuelve un problema mediante ecuaciones puntuales, condiciones que están ya incluidas, sin embargo, en los problemas integrales. TEsta ecuación es igualmente válida aunque no se estuviera en condiciones estáticas. Scanned with ¡(2 CamScanner'; 32 Capítulo 2. Electrostática PROBLEMAS RESUELTOS 2,1 Sobre un disco de plástico de radio R = 10 cm se ha distribuido una carga eléctrica por unidad de superficie proporcional a la distancia al centro, siendo la constante de proporcionalidad c = 2 1 /m*. Determinar la carga total del disco. Resolución La carga total está dada por la integral a= fois, (2.33) extendida al disco. La integral puede resolverse directamente en coordenadas polares, tomando como elemento de área ds = rdrdó, como la integral doble R 2e R 25 f ordr | do / criar | do 'o ( '0 '0 27cR*/3 =4,2x 10%C=>|q=4,2nC, SS Ú en la que a = cr expresa la proporcionalidad de la densidad de carga con respecto a la distancia al centro del disco. Si no se desea emplear integrales múltiples, puede resolverse tam- bién mediante una integral simple, eligiendo adecuadamente el ele- mento de superficie (Figura 2.3). Este debe escogerse con una única dy dimensión diferencial, de modo que la densidad sea la misma para to- dos sus puntos y que al desplazar dicho elemento según la dimensión diferencial, recorra la totalidad del disco. Como la densidad superfi- cial de carga o = cr sólo depende de la distancia r al centro del disco, es conveniente en este caso tomar como elementos de superficie ani- llos de radio r y espesor dr, siendo su área dS = 2rrdr. Sustituyendo en la Ecuación (2.33) se obtiene Figura 2.3, Disco cargado R q -f er2ardr = 21cR*/3 = 4,2 x 107%C.. o 2.2 Determinar el flujo del campo electrostático creado por un cubo de lado L, cuya densidad de carga es proporcional a la distancia a una cualquiera de sus caras, a través de una esfera también de radio L, siendo el centro de la esfera coincidente con el centro del cubo. Resolución Para calcular dicho flujo, aplicamos la ley de Gauss, Qint ¿=P E-ds== di 4 €0 > para lo que resulta necesario determinar la carga interior a la esfera de radio L. En la Figura 2.4(a), se representa una sección del cubo por un plano paralelo a una cualquier de sus caras, pasando por su centro. Puede observarse que, independientemente de cuál hubiera Scanned with ¡(2 CamScanner'; 34 Capítulo 2, Electrostática Al amularse el rotacional en cualquier punto, el campo es conservativo y, por lo tanto, puede ser un campo electrostático. Para calcular la densidad de carga en un punto cualquiera de dicha región, se aplica la ley de Gauss en forma diferencial [Ecuación (2.29) a. Lama dra ió ines VE pad gls) + g10 = 2hez + 2h m peo y de donde resulta p= (2kz + 2ky)eo - Por ejemplo, en un punto P de coordenadas (2,3, 1), la densidad, sustituyendo los valores de 1,y,z, sería —2k£p. 2.4 Determinar el campo eléctrico y el potencial creados por un hilo rectilíneo de longitud L en un punto cualquiera a la derecha del hilo y en su eje. El hilo está cargado con densidad lineal de carga no homogénea A = az, siendo a una constante y z la distancia de un punto cualquiera del hilo al extremo izquierdo del mismo. Resolución Para simplificar las expresiones, se escoge como eje z la dirección del hilo y se toma como origen de referencia el extremo izquierdo del mismo (Figura 2.5), con lo que un elemento de dicho hilo situado a una distancia z' del origen tiene una carga dq = Adx' = az'dx' . Obsérvese que se , x o de P_ dE A A x Figura 2.5. Hilo finito con densidad de carga variable. denotan con primas (*) los puntos fuente, en coherencia con las fórmulas teóricas explicadas. El campo en un punto P(z,0) cualquiera del eje creado por un elemento dq' es dq rr! _ ardr miii e El campo total se obtiene de aplicar el principio de superposición para todos los elementos de carga del hilo, esto es, integrando para toda su longitud: L sd! L az'dz' a Ed d B -/ 4rep(z - 2)? is =lf (2 =p Ue. La integral se resuelve fácilmente con el cambio de variable aa =y, -di' = dy resultando a fray pa ns pu 2 Trad, al pal e) Scanned with ¡(2 CamScanner'; Problemas resueltos _ 35 Y tomando los límites, el campo eléctrico es Para determinar el potencial se aplica el principio de superposición, sumando los potenciales [Expresión (2.22)] creados por cada dg' en P, tomando como referencia de potenciales el infinito: [ do a ' ¿ dr za ly 4ArEplr=r'] 4reoJ) (2-2) 4re0), y y ls aL, ,¡2=L a clylo + ula ). y ' con lo que a z v- E m 5-1). 2.5 Determinar el campo y el potencial creado por un hilo de longitud L, que se ha cargado uniforme- mente con una carga total Q, en un punto cualquiera del espacio. Resolución Se define un sistema de coordenadas que permita simplificar los cálculos. Se considera, para ello, como punto campo un punto P cualquiera del espacio y se define el plano formado por el hilo y dicho punto P, plano al que designaremos por comodidad como plano XY (Figura 2.6). Se toma como origen de coordenadas uno de los extremos del hilo, haciendo coincidir éste con el eje X, con lo que las coordenadas del punto P serán (z, y). El campo eléctrico E estará contenido en el plano XY. Y dE U) P(xy), r d 6L»N Y Le o|rexi da pS Figura 2.6. Campo creado por un hilo finito en un punto cualquiera. En primer lugar, se expresa el campo creado por un elemento cualquiera dq' del hilo. La carga de dicho elemento viene dada por el vector r — r” viene dado por r=r'=(2-2')uz + yu, Scanned with ¡(2 CamScanner'; Problemas resueltos _ 37 Para el cálculo del potencial en el punto P, se aplica la Expresión (2.24) del potencial de una distribución continua de carga, considerando como referencia de potenciales el infinito: 1 / dq! A e. f 4reo lo Tr= 1 Areo Jy "reo AT La integral anterior es inmediata, obteniéndose Q sgte Q 0 V==- e <=g EROS dmeoL Y drepL ln (e +y-2)"+y ) L Y tomando los límites Q 24 ya? +y? Ain a+ y +y? = ln AreoL 2-L+y(r= DAR 4reo 2-L+y(a-Di+y? En el caso de nuestro problema inicial, esto es, del hilo finito, se podría haber procedido de manera inversa, calculando en primer lugar el potencial, y, a posteriori, el campo eléctrico? a partir de E = —VV = -(0V/0x)u, — (0V/0y)u,, esto es, derivando parcialmente respecto de z e y. Si quisiéramos aplicar este procedimiento para hallar el campo E de un hilo muy largo existe una dificultad. En efecto, si calculamos el potencial para esta distribución de carga obtenemos que, 2 2 A L—=w4rEo 2—L+y(c—-LD+y? De este modo, no es posible hallar el campo a partir de este potencial. La razón de que se haya obtenido un potencial infinito radica en que no puede asegurarse la convergencia de dicho potencial para distribuciones de carga que se extienden por una región infinita del espacio. Por ello, para encontrar el campo, debería calcularse primero el potencial del hilo de dimensiones finitas, su gradiente y, posteriormente, hacer tender la longitud a infinito (véase el Problema 5.10). 2.6 Determinar el campo y el potencial en un punto cualquiera del espacio para (a) una bola de goma de radio R cargada con una densidad uniforme p y (b) una bola de metal de radio R cargada con una densidad superficial uniforme o. Resolución (a) Para resolver el problema se considera una superficie gaussiana esférica 9V (Figura 2.7), concéntrica con la esfera cargada y de radio tal que la superficie pase por el punto P en que desea calcularse el campo. Dado que en numerosas ocasiones, o bien el dato del problema es la carga total Q de la esfera o bien se pide expresar los resultados en función de ella, se va a comenzar determinando dicha carga total, 4 0= [101 =p1 = 5x8». Si el dato del problema hubiera sido Q, la densidad se obtiene despejando en la expresión anterior: 2.9 PY a: £Debe tenerse precaución con este método de calcular el campo, que sólo puedo aplicarso sin riesgo si es conocido el potencial en todo punto del espacio. Scanned with ¡(2 CamScanner'; 38 Capítulo 2. Electrostática Ed Figura 2.7. Superficies gaussianas para una esfera cargada. De la simetría de la distribución de carga, el campo eléctrico en cualquier punto de la superficie gaussiana será radial, con sentido hacia el exterior (suponiendo que la esfera está cargada positi- vamente) y con el mismo módulo en todos los puntos de la superficie?. Supóngase en primer lugar que r > R, como en el punto P de la Figura 2.7. El flujo a través de la superficie gaussiana es e5- $ E-4s= $ Eds =ES dS=E4ar, ov av oy siendo 4rr? el área de la superficie esférica de radio r. Y aplicando la ley de Gauss, se obtiene que dicho flujo es ap E HRS, 9 a €0 3e0 €0 Igualando las dos expresiones para el fujo y despejando se obtiene el campo para un punto exterior como el P, Q A ER) Bera — Arg? * expresión que cuincide con el cumpo que crearía una carga puntual Q situada en el centro de la esfera. De hecho el campo creado por una carga puntual, conocido a partir de la ley de Coulomb, puede calcularse aplicando la ley de Gauss a una superficie esférica cualquiera de centro en la carga. Para conocer el campo en un punto P” (Figura 2.7) interior a la superficie de la esfera cargada, el procedimiento es el mismo, construyendo una superficie esférica concéntrica de radio r que pase por dicho punto. La expresión del fujo a través de la superficie de radio r es la misma, pero como ahora es r < R, la carga interior a la superficie gaussiana varía. Se tiene así que bj= Yin 4arip £0 3ep * y entonces, de Y = E4ar?, se obtiene el campo para un punto interior como el P”, E o A SE eg — Amen RO 9Para comprobar esto, puedo considerarso el campo en un punto creado por un elemento dq cualquiera y su simétrico respecto al diámetro que pasa por el punto considerado. Las componentes tangenciales de uno y otro son opuestas, quedando como resultado un campo radial. Scanned with ¡[BCamScamner: 40 Capítulo 2. Electrostática considerar para resolver el problema son las que se indicaron entonces, reflejadas en la Figura 2.7. En este caso la carga total de la esfera es Q= [04s=08=04810. s El flujo a través de la superficie esférica de radio r es, análogamente al caso anterior ds = Edrr?. Aplicando la ley de Gauss a un punto exterior P (r > R) se obtiene que bp = In 41R?0 -2 . Despejando se obtiene que, para un punto P exterior el campo es or Q E9r? — Amegr? * idéntica expresión en función de la carga total Q que en el caso de una esfera uniformemente cargada en su volumen. Sin embargo, para un punto interior P” (r < R) la ley de Gauss para el flujo indica que Elr>r) = €o al no existir ninguna carga interior a una superficie esférica de radio r < R, por estar toda ella concentrada en la superficie de la esfera metálica, lo cual implica que EfrR, siendo u, el vector unitario en coordenadas esféricas. Dado que el campo en el exterior de la esfera es el mismo que en el caso de la esfera unifor- memente cargada en volumen y que se toma como referencia el infinito, el potencial es también el mismo para puntos exteriores. En el caso de puntos interiores, puesto que el campo es nulo en dichos puntos, el potencial no varía y tiene el mismo valor que en la superficie de la esfera. Por tanto, Q _ oro. Fr” a si r0, E=lI=83 (Lu = sl er a a za Ze si z > siendo (x, y, 2) las coordenadas del punto campo. 2.9 Sobre una plancha de goma de de espesor h = 1cm se ha repartido uniformemente carga eléctrica con densidad volumétrica p = 1,53 nC/mí. Determinar el campo eléctrico y el potencial en puntos interiores y exteriores a la plancha. (Tómese como origen de potenciales el plano central de la misma). Resolución Como superficie gaussiana 9V, por la simetría análoga a la del Problema 2.8 de un plano infinito, se puede escoger un cilindro recto con su eje normal a la plancha y de modo que una de sus bases, de sección S cualquiera, pase por el punto P en donde desea calcularse el campo, y la otra base sea simétrica a la anterior con respecto a dicha plancha (Figura 2.12). Se toman dos cilindros diferentes, uno con las bases exteriores a la plancha y otro totalmente contenido en la plancha, para distinguir entre puntos exteriores como el P e interiores como el P”, pues como se verá la expresión del campo no es la misma en los dos casos. Por razonamiento análogo al caso del plano Figura 2,12. Superficies gaussianas para una plancha cargada. infinito, el campo eléctrico en cualquier punto de la superficie gaussiana será normal a la plancha, alejándose de ella ya que está cargada positivamente, y con el mismo módulo en todos los puntos de las dos bases del cilindro, El flujo a través de 9V para la superficie que pasa por el punto exterior P es, observando que a través de la superficie lateral del cilindro será nulo, por ser dS y E perpendiculares: 05 =$ E-dS= EdS + EdS = E2S, 14 Basp Bint Scanned with ¡(2 CamScanner'; 44 Capítulo 2. Electrostática por ser S el área tanto de la base superior B,yp como de la base inferior Bing del cilindro. Aplicando la ley de Gauss se tiene dm - 208 Eo €0 Remarcar que la carga interior es el resultado de la intersección del cilindro con la plancha y no la totalidad del cilindro, de ahí que aunque el cilindro tenga de altura 2r, el volumen cargado sea sólo AS. Igualando y despejando: d¿= Best LE a OO o o Expresándolo vectorialmente, tomando los ejes coordenados de la figura, resulta 0,864 u, V/m si z>0, r Eoxi = 0,864 = V/m = 0,864 sgn(z)u, V/m = [ 0864 u, V/m si 2<0, siendo (x, y, z) las coordenadas del punto campo P. El flujo a través de OV del cilindro que pasa por el punto interior P*, observando análogamente que a través de la superficie lateral del cilindro será nulo, por ser dS y E perpendiculares, tiene la misma expresión que para el punto exterior P: 0-4 E-dS= EdS + EdS = E2S, ov Bsup Bint siendo S el área tanto de la base superior Bsup como de la base inferior Binf del cilindro. Sin embargo, al aplicar la ley de Gauss a este cilindro se tiene op = Int — 2218 E0 Eo ” dado que la carga interior es el resultado de la intersección del cilindro con la plancha y en este caso es la totalidad del cilindro de altura 2r. Igualando y despejando: Em = SUD 172,9r V/m, con r en metros . Expresándolo vectorialmente, tomando los ejes coordenados de la figura, resulta Eint = 172,9r V/m =172,92u, V/m, siendo (x, y, z) las coordenadas del punto campo P”. Para determinar el potencial de un punto interior como el P* a una distancia r del plano medio de la plancha, se circula el campo eléctrico desde P' hasta un punto cualquiera O en dicho plano, referencia de potenciales. Dado que la circulación es independiente del camino y que cualquier punto del plano medio está a potencial cero, se toma como línea de circulación la perpendicular desde P” al plano, para la cual E y dl son paralelos, resultando 10) 0 Vp: — Vo -/ Esn dl -/ 172,8rdr = 86,4r?|? =-86,417 . Pp r Al mismo resultado se puede llegar empleando coordenadas cartesianas para P'(z, y, 2), teniendo en cuenta que dl = dzuz + dyuy + dzu,: 0 0 Vp: - Vo = / Ein dl = / 172,8 2dz =86,42"|? =-86,42?, pr 2 Scanned with ¡(2 CamScanner';