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Ejercicios de Probabilidad
Función de frecuenciag(x) para X
K VA Continua(integrales)
K VA Discreta (sumatorios)
Modelos Paramétricos
VAD
B(n,p), nº de éxitos enn ensayos conocida p éxito
nº éxitos es finito
ocurre (x) y lo que^ Conozco lo que no ocurre (n x)
Poisson: Ocurrencias(x) en un número d periodos (t) sabiendoque en media se da en "m" por periodo
n de éxitos puede ser infinito
Sólo conozco lo queocurre (no lo que no ocurre)
VAC
U(a,b)^ Equiprobabilidad enun intervalo cerradode forma continua
N(m,s)
Simétrica
Mas probable en lazona central, etc
Propia de la naturaleza
TCL VAIID, n>30, VA suma, m,s conocidas Convergencia aN(m,s)
EJERCICIOS DE REPASO DE PROBABILIDAD
- Una fábrica de productos electrónicos produce una gran cantidad de dispositivos. Se ha observa do que el 10% de los dispositivos producidos presentan defectos. La empresa está interesada en comprender y gestionar mejor la calidad de sus productos. Se pide: a) Probabilidad de que el número de dispositivos defectuosos sea menor o igual a 2 en una muestra de 10 dispositivos. 𝜉: “nº de dispositivos defectuosos (x) sabiendo que la probabilidad de que sea defectuoso es p=0’1 en un lote de 10 dispositivos (n)” 𝜉:𝐵 10,0′ 𝑃 𝜉 ≤ 2 = 𝑃 𝜉 = 0 + 𝑃 𝜉 = 1 + 𝑃 𝜉 = 2 = = 10! 0! 10 − 0!
0′1^0 0′910−0^ + 10!
0′1^1 0′910−1^ + 10!
0′1^2 0′910−
= 0′9^10 + 0′9^9 +
0′1^2 0′9^8 = 𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟
b) Cálculo del valor esperado y coeficiente de variación de la cantidad de dispositivos defec tuosos en una muestra de 10 dispositivos. 𝜇 = 𝑛𝑝 = 10 ∗ 0′1 = 1; 𝜎^2 = 𝑛𝑝 1 − 𝑝 = 10 ∗ 0′1 ∗ 0′9 = 0′ c)Supongamos que la empresa realiza una inspección de calidad en 100 lotes de dispositi vos, cada uno con 10 dispositivos. La probabilidad de que un dispositivo sea defectuoso si gue siendo del 10%. Aplicar el Teorema del Límite Central para estimar la probabilidad de que el número total de dispositivos defectuosos en los 100 lotes sea inferior a 118.
- Condiciones del TCL : 𝜉𝑖 𝑉𝐴𝐼𝐼𝐷, 𝜉𝑖:𝐵(10,0′1) “x defectuosos en un lote”, 𝜇𝑖 = 1; 𝜎^2 𝑖 = 0′9, 𝜉𝑆 = 100𝜉𝑖
- Aplicamos el TCL
𝜉𝑆 → 𝑁 100𝜇𝑖, 100𝜎^2 𝑖 = 𝑁 100, 90 = 𝑁 100, 9′
- Una empresa de alimentos produce galletas en una línea de producción, y se ha observado que, en promedio, se empaquetan 5 galletas defectuosas por día en una máquina en particular. Responde a las siguientes preguntas:
- Probabilidad de que el número de galletas defectuosas empaquetadas en una máquina en un día dado sea igual o menor que 2. 𝜉: “nº de galletas defectuosas (x) sabiendo que en media 5def/día (𝜇) durante t=1”
𝜉:𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 𝜆 = 𝜇𝑡 = 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 𝜆 = 5𝑑𝑒𝑓 𝑑í𝑎
∗ 1 𝑑í𝑎 = 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 5
𝑃 𝜉 ≤ 2 = 𝑃 𝜉 = 0 + 𝑃 𝜉 = 1 + 𝑃 𝜉 = 2 = 𝑒−5^5
0 0!
1 1!
2 2! = 𝑒−5^ 1 + 5 +
- Calcula el valor esperado y la desviación estándar del número de galletas defectuosas empa quetadas en una máquina en un día.
𝜆 = 𝐸 𝜉 = 𝑉 𝜉 = 5 → 𝜇 = 5 𝑦 𝜎 = 5
- Aplicación del Teorema del Límite Central: Supongamos que en un mes (30 días), se utili zan 20 máquinas idénticas para empaquetar galletas. ¿Cuál es la probabilidad de que el nú mero total de galletas defectuosas empaquetadas en todas las máquinas durante ese mes sea inferior a 120? Condiciones del TCL o 𝜉𝑖𝑉𝐴𝐼𝐼𝐷,𝜉𝑖:" 𝑛º 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑙𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑎𝑠 𝑒𝑛 20 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑑í𝑎"
o 𝜉𝑖: 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 5𝑑𝑒𝑓ℎ ∗ 20 𝑀á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑠 = 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 100
o 𝜆 = 𝐸 𝜉𝑖 = 𝑉 𝜉𝑖 = 100
o 𝜉𝑆 = 30𝜉𝑖 Aplicamos el TCL
𝜉𝑆 → 𝑁 30𝐸 𝜉𝑖 , 30𝑉 𝜉𝑖 = 𝑁 30𝜆𝑖, 30𝜆_𝑖 = 𝑁 3000, 3000 = 𝑁 3000, 55′
𝑃 𝜉𝑆 < 120 = 𝑃 𝜉𝑆−𝜇𝑆 𝜎𝑆^ <^
120− 54,77 = 𝑃^ 𝑧 < − 52,58^ = 0
𝑉 𝐵 = 𝑉 𝐼 − 𝐶𝑉 − 𝐶𝑜 = 𝑉 𝐼 + 𝑉 𝐶𝑉 + 𝑉 𝐶𝑜 = 12^2 + 10^2 = 244
2. Encuentra la probabilidad de que el beneficio sea superior a 20,000 dólares.
𝜉:𝑁 0, 244 = 𝑁 0,15′
- Si la empresa planea obtener un beneficio de al menos 10,000 dólares, ¿cuál es la probabili dad de que lo logre?
𝑃 𝜉 > 10 = 𝑃 𝜉 − 𝜇 𝜎
- Calcula el valor del beneficio máximo en el percentil 70 (P70) de la distribución. 𝑃 𝜉 < 𝑥 0 = 0′7; 𝑃 𝑍 < 𝑧 0 = 0′7 → 𝑧 0 = 0′
𝑧 = 𝑥 − 𝜇 𝜎
- ¿Cuál es la probabilidad de que el beneficio sea negativo? 𝑃 𝜉 < 0 = 0′
- Supongamos que la frecuencia de encendido de electrodomésticos en un hogar es una función de la variable X, que representa el número de electrodomésticos encendidos. La función que explica la frecuencia es g(X) = X^2 + 1, donde X está en el intervalo [0, 6], lo que significa que puede haber un máximo de 6 electrodomésticos encendidos en un hogar.
X g(x) (^) P( 𝝃 =x) XP(* 𝝃 =x) X^2 *P( 𝝃 =x) 0 1 0,0102 0 0 1 2 0,0204 0,020408 0, 2 5 0,0510 0,102041 0, 3 10 0,1020 0,306122 0, 4 17 0,1735 0,693878 2, 5 26 0,2653 1,326531 6, 6 37 0,3776 2,265306 13, 98 𝜶𝟏 = 4,714286 𝜶𝟐 = 24,
- Calcular la función de cuantía. (en columna 3: P( 𝝃 =x) )
𝑃 𝜉 = 𝑥 = 𝑘𝑔 𝑥 =
𝑥^2 + 1 ;𝑘 =
- Calcular el Valor Esperado y el Coeficiente de Variación de Pearson. 𝝁 = 𝛼 1 = 𝟒,𝟕𝟏 ;𝜇 2 = 𝝈𝟐^ = 𝛼 2 − 𝛼 12 = 24′14 − 4,71^2 = 𝟏′𝟗𝟔
𝐶𝑉 = 𝜎 𝜇 = (^) 4,71^1 ′^96 = 0.30 < 1/3 Esperanza muy representativa y poco nivel de disper sión
- Calcular la Probabilidad de que en 40 Hogares haya encendidos más de 40 electrodomés ticos (aplicando el teorema central del límite).
- Condiciones para aplicar el TCL: 𝜉𝑖𝑉𝐴𝐼𝐼𝐷.𝜉𝑖:”𝑥 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑑𝑜𝑚é𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 ℎ𝑜𝑔𝑎𝑟” 𝑛 ≥ 30, 𝑛 = 40 𝜇𝑖 = 4,71 ;𝜎^2 𝑖 = 1′
𝜉𝑆 = 40𝜉𝑖
𝜉𝑆 → 𝑁 40𝜇𝑖, 40𝜎^2 𝑖 = 𝑁 40 ∗ 4′71, 40 ∗ 1′96 = 𝑁 188′4,8′
- Supongamos que la frecuencia de cambios en las tarifas eléctricas de una compañía es una fun ción de la variable X, que representa el nivel de consumo de electricidad en un hogar. La función que describe la frecuencia es g(X) = 2X, donde X está en el intervalo [1, 10].
- Calcular la Función de Densidad.
𝑓 𝑥 = 𝑘 ∗ 𝑔 𝑥 ;
∞
−∞
∞
−∞
∫∞−∞ 𝑔^ 𝑥^ 𝑑𝑥
∞
−∞
10
1
2 2
10
1
= 𝑥^2
10 1
= 10^2 − 1^2 = 99 → 𝒌 = 𝟏
- Calcular la Función de Distribución.
𝑥
−∞
𝑥
1
2𝑥^2
𝑥
1
𝑥^2 −
𝑥^2 − 1
- Calcular el Valor Esperado y el Coeficiente de Variación de Pearson.
∞
−∞
10
1
10
1
2𝑥^2 𝑑𝑥 = 1
2𝑥^3
10
1
