TEMA 3
La temperatura T en una bola metálica es inversamente proporcional a la
distancia desde el centro de la bola, el cual se considera como origen. La
temperatura en el punto (1, 2, 2) es 120 grados.
Planteando la ecuación del problema:
𝑇 𝑥,𝑦,𝑧 =𝑘
𝑟=𝑘
𝑥2+𝑦2+𝑧2
Sustituyendo el punto 𝑇 1,2,2 =120 en la ecuación para encontrar la constante
de proporcionalidad k:
120 =𝑘
12+ 22+ 22→120 =𝑘
9→𝑘=120 ∗3→𝑘=360
Sustituyendo el valor de k obtenemos la ecuación del problema:
𝑇 𝑥,𝑦,𝑧 =360
𝑥2+𝑦2+𝑧2
Vector gradiente:
∇𝑇= −1
2∗360 ∗2∗𝑥
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)32
,−1
2∗360 ∗2∗𝑦
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)32
,−1
2∗360 ∗2∗𝑧
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)32
∇𝑇= −360𝑥
𝑥2+𝑦2+𝑧2 32
,−360𝑦
𝑥2+𝑦2+𝑧2 32
,−360𝑧
𝑥2+𝑦2+𝑧2 32
Vector gradiente en el punto (1, 2, 2):
∇𝑇 1,2,2 = −360 ∗1
12+ 22+ 22 32
,−360 ∗2
12+ 22+ 22 32
,−360 ∗2
12+ 22+ 22 32
∇𝑇(1,2,2) = −40
3,−80
3,−80
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Encontrando el vector unitario correspondiente al cambio de T en (1,
2, 2) en la dirección hacia el punto (2, 1, 3):
𝑣
→= 2−1,1 −2,3 −2
(2 −1)2+ (1 −2)2+ (3 −2)2= 1, −1,1
3
