Ejercicio 15 del tema 1.
1. Halle los v´ertices de un pent´agono regular inscrito en una circunferencia de
radio 1, sabiendo que uno de los v´ertices es el punto (0,1).
Sol. Para resolver este problema, primero calcularemos los v´ertices de un pent´a-
gono inscrito en una circunferencia de radio 1, y luego aplicaremos un giro a estos
v´ertices, de forma que uno de ellos sea el punto (0,1).
Para calcular los v´ertices de un pent´agono, resolvemos la ecuaci´on z5= 1 =
1·(cos 0 + i·sen 0). Si z=s·(cos β+isen β), entonces la ecuaci´on se escribe
s5·(cos 5β+isen 5β) = 1 ·(cos 0 + i·sen 0).
De donde s5= 1 ⇒s= 1, y βverifica que
cos 5β= cos 0
sen 5β= sen 0 )⇒5β= 0 + 2kπ,
es decir
β=2π
5·k, k = 0,1,2,3,4.
Dando valores a kobtenemos cinco numeros complejos que se corresponden
con los v´ertices de un pent´agono de radio 1.
Si k= 0 ⇒β= 0 ⇒z0= 1 ·(cos 0 + isen 0) = 1.
Si k= 1 ⇒β=2π
5⇒z1= 1 ·(cos 2π
5+isen 2π
5).
Si k= 2 ⇒β=4π
5⇒z2= 1 ·(cos 4π
5+isen 4π
5).
Si k= 3 ⇒β=6π
5⇒z3= 1 ·(cos 6π
5+isen 6π
5).
Si k= 4 ⇒β=8π
5⇒z4= 1 ·(cos 8π
5+isen 8π
5).
Como el enunciado pide que uno de los v´ertices debe ser el punto (0,1), apli-
camos un giro a los puntos del anterior pent´agono, de forma que el punto (1,0)
se transforme en el punto (0,1). Esto se consigue girando 90ogrados= π/2 radia-
nes, o lo que es lo mismo, multiplicando por un n´umero complejo de m´odulo 1 y
argumento π/2, esto es, multiplicando por w= cos π/2 + isen π/2 = i.
Los vertices pedidos por el enunciado se corresponden con estos n´umeros com-
plejos:
z0·w= (cos 0 + isen 0) ·(cos π
2+isen π
2) = cos π
2+isen π
2=i.
z1·w= (cos 2π
5+isen 2π
5)·(cos π
2+isen π
2) = (cos 4π+5π
10 +isen 4π+5π
10 ) =
(cos 9π
10 +isen 9π
10 ).
Ejercicios del Tema 1. A. Palomares
