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Ejercicio 2: Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. b) Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que lo representa y soluciónelo por medio de la eliminación Gaussiana. Valide su resultado por medio de Geómetra*. Un hacendado compró para su finca 15 animales, entre los que se encuentran vacas, caballos y Asnos. La cantidad de kilos de hierba que consumen diario es la siguiente: cada vaca come doce kilos, cada Caballo come seis kilos y cada Asno cuatro kilos. El total de kilos de hierba por día es de 144 kilos y se sabe que el número de vacas es el quíntuple respecto al número de Caballos. ¿Cuántas Vacas, Caballos y Asnos compró el hacendado? Formulas X= Vacas Y= Caballos Z= Asno X + Y + Z = 15 12 X + 6 Y + 4 Z = 144 X − 5 Y = 0 X Y Z
[
1 − 5 0 0 ]
Vamos a convertir el 12 de la segunda primera columna en 0; multiplicamos fila 1 por -12 y sumamos el resultado a la fila dos y obtenemos la nueva fila 2
F 2 = F 2 +(− 12 F 1 )
Pivote F1 1 1 1 15 (-12) -12 -12 -
180 F2 12 6 4 144 Nueva fila 2 0 -6 -8 -
[
1 − 5 0 0 ]
Vamos a convertir el 1 de fila 3 columna 1 en 0; multiplicamos la fila 1 por -1 y la sumamos con la fila 3 F 3 = F 3 +(− 1 F 1 ) Pivote F1 1 1 1 15 -1 -1 -1 -1 - F3 1 -5 0 0 Nueva fila 3 0 -6 -1 -
[
0 − 6 − 1 − 15 ]
Vamos a convertir el -6 de fila 2 columna 2 en 1, multiplicamos la fila 2 por -1/
F2 0 1 4/3 6 Nueva fila 2 0 1 0 2
[
0 0 1 3 ]
Vamos a convertir el 1 de la fila 1 columna 3 en 0, multiplicamos la fila 3 por -1 y la sumanos a la fila 1 Pivote F3 0 0 1 3 *(-1) 0 0 -1 - F1 1 1 1 15 Nueva fila 1 1 1 0 12
[
0 0 1 3 ]
Vamos a convertir el 1 de fila 1 columna 2 en 0, multiplicamos la fila 2 por -1 y la sumamos a la fila
Pivote F2 0 1 0 2 *(-1) 0 -1 0 - F1 1 1 1 12 Nueva fila 1 1 0 1 10
[
0 0 13 ]
De esta manera ya hallamos el valor de las incognitas X,Y,Z X = 10
Y = 2
Z = 3
¿Cuántas Vacas, Caballos y Asnos compró el hacendado? X= Vacas= Y= Caballos = 2 Z= Asno = El hacendado compro 10 vacas, 2 caballos y 3 asnos. Ejercicio 3: Aplicación de conceptos de rectas en R3 en la solución de problemas básicos. b) Demostrar si las rectas x − 3 12
y − 3 16
7 − z 16 y x + 2 12
5 − y − 16
z + 6 − 16 Son paralelas o no. L x − 3 12
y − 3 16
7 − z 16 L x + 2 12
5 − y − 16
z + 6 − 16 Igualamos al parámetro t las ecuaciones simétricas L x − 3 12 = t y − 3 16 = t 7 − z 16 = t Despejamos las incógnitas x,y,z y hallamos las ecuaciones paramétricas x = 3 + 12 t y = 3 + 16 t − z =− 7 + 16 t z = 7 − 16 t
Ejercicio 4: Aplicación de la teoría de planos en la solución de problemas básicos b) Hallar la ecuación del conjunto de todos los puntos de intersección de los siguientes planos:
