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CAPITULO 1:
Vectores:
Nivel Básico:
- Calcular la suma de los vectores A(8i,3j) y B(10i,6j).
Solución:
A+ B= 8 i+ 10 i , 3 j+ 6 j
AB=( 18 i , 9 j)
- Calcular la suma de los vectores A(2i,5j,z), B(4i,-2j,3z) y C(-5i,j,-2z).
Solución:
A+B+C= 2 i+ 4 i− 5 i , 5 j− 2 j+ j , z+ 3 z− 2 z
ABC=(i , 4 j , 2 z )
- Halle la suma de estos vectores
Solución:
A+ B+C= 2 i+ 8 i− 6 i, 3 j+ 10 j− 5 j
ABC=( 4 i , 8 j)
Nivel intermedio:
- Halle los módulos de los siguientes vectores:
A(2i;3j)
B(5i,2j,3z)
C(8i,15j)
Solución:
|AB|=
√
2
2
|AB|=
√
|AB|=3.6055 u
|AB|=√ 5
2
2
2
AB
√
|AB|=6.1644 u
C(6i,5j)
A(2i,3j)
B(8i,10j)
|AB|=√ 7
2
2
AB
√
|AB|=8.6023u
- Hallar el módulo de la suma de los vectores A(2i,4j) y B(5i,j)
Solución:
A+ B= 2 i+ 5 i, 4 j+ j
AB=( 7 i, 5 j)
Ahora hallar el módulo
|AB|=√ 7
2
2
AB
√
|AB|=8.6023u
Nivel avanzado:
- En el sistema de vectores. Hallar el vector resultante y su módulo:
|A| = 30
|B| =
|C| =
Solución:
R
x
= 15 cos 37 °− 30 cos 53 °= 15
R
x
R
y
= 30 Sen 53 °− 15 cos 37 °− 10 = 30
R
y
R= 6 i +23 j
Ahora, el modulo del vector resultante:
¿ R∨¿
2
2
- Dados los dos desplazamientos
H=(
a
2
b
x
2 c
y
)sin θ
L=¿
L=L
x+ 2 − y
T
2 y− 2
a.
x− y + 2 = 1
.x− y =− 1
b. 2 y− 2 = 0
.x= 0
c. y= 1
d.
x + y= 1
Nivel Avanzado:
- La potencia de una hélice impulsadora de un barco es:
P=K w
x
r
y
D
z
Siendo:
W=velocidad angular
r= radio de la hélice
D=densidad del agua de mar
Hallar x,y,z.
Resolución: Se calcula las ecuaciones dimensionales de cada uno de los
elementos de la ecuación:
|P|=
trabajo
tiempo
F. d
T
m. a. d
T
M( L/T
2
)L
T
M L
2
T
− 3
|K|=
|w|=
ángulo
tiempo
T
T
− 1
|r|=L
|D|=
M
L
3
M L
− 3
Sustituyendo en la ecuación propuesta:
M L
2
T
− 3
O sea : M L
2
T
− 3
=M
z
. L
y− 3 z
. T
−x
Identificando exponentes de las dimensiones siguientes:
a) M=M
z
,luego z= 1
b) T
− 3
=T
− x
, luego x= 3
c) L
2
=L
y− 3 z
, luego y− 3 z= 2
d) Pero z=1; luego y-3=2 entonces y=
Derivadas básicas e integrales:
Rpta: La distancia recorrida es de 2700m.
- Un estudiante que se encuentra en Vallecito necesita llegar a la UTP a dar
su examen de admisión, y encuentra 2 carros que van hacia allá con
velocidades de 40m/s y 30m/s respectivamente. Si la distancia entre Cayma y
la UTP es de 2.4km. ¿Cuánto tiempo demorara cada carro en llegar al destino?
¿Qué carro debe tomar si quiere llegar más rápido?
Solución:
d=2.4 km a m=2.4 km∗ 1000
m
km
d= 2400 m
T 1 =
2400 m
40 m/ s
T 2 =
2400 m
30 m/s
T 1 = 60 s T 2 = 80 s
Rpta1: El primer carro demorara 60s(1min) y el segundo 80s.
Rpta2: Debe tomar el primer carro si quiere llegar más rápido.
Intermedio:
- Una persona se va de viaje de Arequipa a Ilo en una miniban. Si la distancia
que separa estas dos ciudades es de 246km y la miniban tiene una velocidad
de 60km por hora. ¿Qué tiempo requiere para llegar a su destino?
Solución:
T =
246 km
60 km/h
T =4,1horas
Rpta: El tiempo que requiere es de 4,1 horas
- Se realiza un experimento para saber quién es más rápido, un perro o gato;
por lo que se les dispone a correr una distancia de 100 metros. Si la velocidad
del perro es de 20m/s y la del gato es de 10m/s. Determine quién es el que
llega primero.
Solución:
T
p
100 m
20 m/s
T
g
100 m
10 m/s
T
p
= 5 s T
g
= 10 s
Rpta: El perro llega primero, por lo que es el más rápido.
- Sabiendo que la velocidad del sonido es de 343,2 m/s, ¿a cuántos
kilómetros de distancia se produce un trueno que tarda 6 segundos en oírse?
Solución:
Primero encontrar la distancia en metros
D=343.2 m/ s∗ 6 s
D=2059.2m
Ahora convertir los metros a kilómetros
D=2059.
m∗ 1 km
1000 m
D=2,0592km
Rpta: La distancia es de 2,0592km.
- Un camión se mueve a velocidad constante de 90km/h por una autopista
recta.
a. ¿qué distancia recorre en 2 horas?
b. ¿qué distancia recorre en metros por segundo?
Solución:
a) Recorre 90 km en 1 h ; entonces d = 90 km/h∗ 2
d= 180 km
b) Realizar conversión de km/h a m/s
km
h
∗ 1000 m
km
∗h
3600 s
v= 25 m/s
Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado:
Básico:
- Un automóvil parte del reposo con una aceleración de 20 m/s
2
constante.
Calcular: ¿Qué velocidad tendrá después de 15s?, ¿Qué espacio recorrió en
esos 15s?
E=62.5 m
C) Vf =Vi+ a∗t ;en este caso t= 11
Vf = 5 m/s
2
∗ 11 s
Vf = 55 m/s
- Un auto parte con una aceleración de 6 m/s
2
. Calcular la velocidad que
tendrá en 10s y el espacio que recorre en 32s.(Vi=0)
Solución:
a)Vf =Vi+ a∗t
Vf = 0 + 6 m/s
2
∗ 10 s
Vf = 60 m/ s
La velocidad que tendrá en 10 segundos es de 60m/s
b) E=Vi∗t +
a∗t
2
E=
6 m/ s
2
2
E= 3 ∗ 1024
E= 3072 m
El espacio que recorrió en 32 segundos es de 3072 metros.
- Un bus parte con una aceleración de 4 m/s
2
. Calcular el espacio que recorrió
si condujo 10 segundos.
E=Vi∗t +
a∗t
2
E=
4 m/s
2
∗( 10 s)
2
E= 200 m
El espacio que recorrió es de 200 metros.
- Un ciclista pedalea con una aceleración de 5 m/s
2
. Calcular la velocidad que
tendrá al pasar 18 segundos.
Solución:
Vf =Vi+ a∗t
Vf = 0 + 5 m/ s
2
∗ 18 s
Vf = 90 m/ s
La velocidad que tendrá al pasar 18 segundos es de 90m/s.
Caída libre:
- Si una pulga puede saltar 0.440m hacia arriba, ¿Qué rapidez tiene al
separarse del suelo? ¿Cuánto tiempo está en el aire?
Solución:
Datos: h=0.44m,
V
F
= 0 ; A=−9.8 m/ s
a)
Vf
2
=Vi
2
0 =Vi
2
Vi=2.94 m/s
b)
Vf =Vi+ a∗tsub
0 =2.94+(−9.8) tsub
tsub=0.3 s
Pero el tiempo total es el de subida y caída; el de caída es el mismo que de
subida así que:
T
total
T
total
=0.6 s
- Se deja caer un objeto desde la azotea de un edificio que tiene altura de
12m. ¿En qué tiempo toca el piso?
Solución:
Datos: h=12m; t=?; g=9.8 m/s
2
; Vi=
h=Vi∗t+
g∗(t)
2
9.8∗(t)
2
24 =9.8∗t
2
a) h=Vi∗t+
g∗(t)
2
9.8∗(t)
2
t= √
t=3.19 s
b) Vf =Vi+g∗t
Vf =9.8∗3.
Vf =31.26 m/s
Capítulo 2:
Cinemática:
Nivel básico:
- Desde el balcón situado a 14.1m sobre el suelo de una calle, lanzamos un
cuerpo verticalmente hacia arriba. Calcular el tiempo que tarda en llegar al
suelo.
Solución:
h=Vi∗t+
∗g∗t
2
∗9.8∗t
2
→ t=0.76 s
Rpta: El tiempo es de 0.76s.
- Dos pueblos que distan 12 km están unidos por una carretera recta. Un
ciclista viaja de un pueblo al otro con una velocidad constante de 10 m/s.
Calcula el tiempo que emplea, medido en segundos y en minutos.
Solución:
Convertir los kilómetros a metros primero.
12 km a m= 12 ∗ 1000
12000 m
Ahora trabajar en segundos y minutos la velocidad.
t=
d
v
t= 12000 m/( 10 m/s)
t= 1200 s
t= 12000 m/( 600 m/min)
t= 20 min
Rpta: El tiempo en segundos es de 1200 y el tiempo en minutos es de 20.
- Una persona sale de su casa y recorre en línea recta los 200m que la
separan de la panadería a una velocidad constante de 1,4m/s. Permanece en
la tienda 2 min y regresa a su casa con una velocidad de 1,8m/s. ¿Calcule su
velocidad media?
Solución:
Se necesita el total del tiempo para aplicar formula de la velocidad media.
t 1 =
200 m
1,4 m/ s
=142,8 s
t 2 =
200 m
1,8 m/s
=111,1 s
t 3 = 2 ∗ 60 = 120 s
T
total
= 120 s +111,1 s+142,8 s ≅ 374 s
V
m
400 m
374 s
=1,07 m/ s
Rpta: La velocidad media es de 1,07m/s.
Intermedio:
- El pedal del acelerador comunica a un coche con una aceleración de 4m/s
2
Si inicialmente el coche va con una velocidad de 90km/h. ¿Qué tiempo
necesitara para llegar a una velocidad de 120km/h?
Solución:
Primero convertir las velocidades a m/s para luego hallar el tiempo con formula.
90 km
h
a
m
s
= 25 m/s
120 km
h
a
m
s
=33.3m/ s
Aplicando la siguiente formula.
b) Vi=20m/s; Si=0; t=10s; a=-2m/s
2
S=Si+Vi∗t+
∗a∗t
2
S= 0 + 20 ∗ 10 +
2
→ S= 100 m
Rpta: La aceleración es de -2m/s
2
y el espacio recorrido es de 100m.
Proyectiles:
Basico:
- Un proyectil en movimiento parabólico pasa por los puntos A y B. La figura
muestra la magnitud y la dirección del vector velocidad en proyectil de dichos
puntos. Diga cuales de las afirmaciones siguientes son verdaderas (V) o
falsas(F) en el mismo orden en que son enunciados:
I. El tiempo que tarda el proyectil en ir del punto A al punto B es
3,5 s.
II. La velocidad del proyectil en el punto B es de 75 m/s.
III. La distancia horizontal entre las proyecciones verticales de los
puntos A y B sobre el piso es de 210m .(Considerando g= m/s
2
Solución:
Podemos considerar que el proyectil es disparado en A, con una
velocidad de 100 m/s
Y un ángulo de 53°
V
X
= 100 ×
60 m
s
V
0 y
= 100 ×
80 m
s
37°
A
B
100 m/s
53°
Horizontal
Como
V
X
=constante Vcos37°=
V
X
V ×
= 60 V =
75 m
s
V
y
=V
0 y
−¿ 45 = 80 − 10 t
t=3,5 s
X =V
X
t= 60 ×( 3,5 )
X = 210 m
- Desde el pie de una loma se dispara una pelota con una rapidez de
V
0
= 100 m/ s , según se indica .¿A qué distancia del pie de la loma impacta la
pelota sobre ella ,en m? g= 10 m/ s
2
Solución:
En este grafico se tiene un triángulo notable el cual se indique en el área y
sombreada, también se descompone la velocidad en los ejes horizontal y
vertical, entonces se tiene que:
Intermedio:
- Un proyectil es lanzado del punto A como se muestra en la figura .El módulo
de su velocidad inicial es
V
0
= 10 m/ s .Hallar el tiempo, en segundos que tarda el
proyectil en llegar al punto B.( g= 10 m/ s
2
(III)…………(V)
(I)…………(V)
(II)…………(V)
d=?
V
0
16°
37°
En el eje horizontal:
4 K= 60 t K = 15 t
En el eje vertical:
3 K= 80 t− 5 t
2
45 t= 80 t− 5 t
2
t= 7 s
Entonces K=15×7=105 m
Finalmente:
d=5K=525m
Entonces: d= 525m
d=?
5K
3K
80 m/s
4K
16°
37°
60 m/s
V
x
=constante=
V
o
=0,6 V
o
V
oy
V
o
De la figura :
tan α=
V
1 y
V
x
V
x
V
2 y
Pero :
V
1 y
V
o
−V
2 y
V
o
V
1 y
V
o
V
2 y
=−0,8V
o
Sustituyendo (2) y (3) en (1):
0,36 V
2
V
o
= 40 m/s
Avanzado:
- Se lanza un proyectil desde la superficie de la tierra con una rapidez inicial
de 50 m/s bajo un ángulo de 37° respecto de la horizontal ¿Al cabo de que
tiempo (en s) su velocidad será
V = 40
i− 20
J m/s? ( g= 10 m/ s
2
Solución:
V = 40
i− 20
J
V
V
0
37°
V
oy
=V
o
sin 37 °= 50 ×
= 30 m/s
V
oy
J
V
y
J
V
y
=V
oy
−¿− 20 = 30 − 10 t
10 t= 50 t= 5 s
Gráficos de movimiento:
- En el MRUV la gráfica x-t es una parábola, como se puede ver en el
diagrama, encuentre su respectiva aceleración.
Solución:
Cuando tengamos una parábola en la gráfica x-t conviene usar la
ecuación (3) del MRUV:
d=V
o
t +
a t
2
De x=0 hasta x=8m tendremos que d=8m
Luego en (1):
8 =V
o
a( 2 )
2
4 =V
o
+a
t(s)
X(m)
0 2 3
18
8
