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CAPITULO II
TRIÁNGULOS: ANGULOS
Y CONGRUENCIA
I. DEFINICION
Se denomina triángulo a una región del plano
limitada por tres rectas que se cortan dos a dos.
B
A C
B 1
B 2
B 3
1
2
3
En general el triángulo se denota como: ABC.
II. ELEMENTOS
Los elementos de un triángulo son:
Vértices: Son los extremos comunes A, B, C de los
segmentos rectilíneos que forman el triángulo
ABC.
Lados: Son los segmentos AB,BCyAC
limitados por los vértices A, B y C.
Angulos interiores: ( 1 , 2 , 3 ) son los ángulos
formados por dos lados y el vértice común.
Angulos exteriores: Son los ángulos que se forman
mediante un lado, un vértice y la prolongación del
lado adyacente ( 1 , 2 , 3 ).
Perímetro: Se denomina perímetro de un triángulo
a la suma de las longitudes de sus tres lados. El
perímetro se denota por el símbolo “2P”. Así:
2 P ABBCCA
III. CLASIFICACION
Los triángulos se clasifican atendiendo a sus lados
y a sus ángulos.
A. Según sus lados:
Equiláteros: Son los triángulos que tienen sus
tres lados congruentes.
Isósceles: Son los triángulos que tienen dos
lados congruentes. El lado desigual se llama base.
Escalenos: Son los triángulos que tienen sus
tres lados desiguales.
equilátero isósceles escaleno
IV. COMPONENTES DE UN TRIANGULO
Los componentes fundamentales de un triángulo
son: sus tres lados y sus tres ángulos. Además de
estos componentes fundamentales
mencionaremos los siguientes:
ALTURAS: De un triángulo son los segmentos de
perpendicular trazados de cada vértice a la recta
que contiene el lado opuesto.
A
P
R Q
B C
O
Triángulo acutángulo
Q
A
P
R
B C
O
Triángulo obtusoángulo
En la figura: las alturas son (^) AP,BQyCR; a la
altura AP se le llama altura donde A o altura
correspondiente al lado BC; en forma similar se
denominan a las alturas trazadas desde los otros
vértices. Las tres alturas de un triángulo o sus
prolongaciones se cortan en un punto, llamado
ortocentro.
MEDIANAS: De un triángulo son los segmentos que
tienen por extremos un vértice y el punto medio
del lado opuesto.
A
P
Q R
B C
O
Triángulo obtusángulo Triángulo acutángulo
A
P
R Q
B C
O
En la figura: AP,BQyRCson las medianas del
triángulo ABC R, P y Q son los respectivos puntos
medios de los lados AB,BCyAC. Las tres
medianas de un triángulo se cortan en un punto
llamado baricentro.
BISECTRIZ: De un triángulo es la bisectriz de cada
uno de sus ángulos. Las tres bisectrices de un
triángulo se cortan en un punto llamado incentro.
Punto I: Incentro
P
Q S
MEDIATRIZ: De un triángulo es la perpendicular
trazada en el punto medio de cada lado. Las
mediatrices de un triángulo se cortan en un punto
llamado: circuncentro.
B
P
S Q
A C
Punto E: circunscentro
Q
A
P
S
C
B
E
E
PROPIEDADES FUNDAMENTALES EN EL TRIANGULO,
ANGULOS FORMADOS POR LINEAS NOTABLES.
- Suma de los ángulos interiores:
A
B
C
- Medida de un ángulo exterior:
z
y
x
COROLARIO: Propiedad del cuadrilátero cóncavo.
x°
x
- Desigualdad de longitudes de sus lados.
A
B
C
b
c
a
b a c b a
a c b a c
b a a b c
- Relación de Lado - Angulo
A
B
C b
c
a
si: b a c
- “P” un punto interior cualquiera:
A
B
C
b
c
a
x
y (^) z
si :pxyz( 2 p)
donde: (2p) : perímetro
p : semiperímetro
A
B
C
x°
z°
y°
Propiedad de la suma de los ángulos
internos de un triángulo: En todo
triángulo la suma de las medidas de sus
ángulos internos es igual a 180º
ANGULOS FORMADOS POR LINEAS NOTABLES
- Por dos bisectrices Interiores.
A
B
C
x°
x 90 / 2
- Por bisectrices exteriores.
A
B
C
E
x°
x 90 / 2
- Por Bisectriz. y exterior.
x°
C
E
B
A
x / 2
- Por una altura y bisectriz.
x°
A
H D
B
x
- Por dos alturas.
B
x°
A C
x 180
- Por dos mediatrices
x 180
- Angulo formado por una bisectriz y lado
opuesto.
mn
- Por una altura y mediana (Triángulo rectángulo).
A C
B
H (^) M
x
- Por una bisectriz y mediana. (Triángulo rectángulo.
D M
A C
B
x°
x
- Propiedad de la mediatriz.
A (^) C
x°
B
x 2
- Angulo formado por 2 Bisectriz.
B
A (^) E
D
C
x°
x ()/ 2
- Angulo formado por Bisectrices.
x ()/ 2
PROPIEDADES ADICIONALES
a
b
n
m (^) l
c
2p = a + b + c
p mnl 2 p
n
n m
m
x
x
m (^) n
m n
n (^) n m
m
x
x
A
B
C
x°
n° m° A (^) C
B
D
x°
A (^) C
B
a dicho lado en uno de ellos, son de igual medida a los
ángulos correspondientes en el otro.
b
B
A C
b
E
D F
ABC DEF
Lado - Ángulo - Lado
Un triángulo es congruente a otro, si ambos tienen un
ángulo de igual medida, y además los lados que
determinan dicho ángulo, en uno de ellos, son de igual
longitud a los lados correspondientes al otro.
c a
B
A C
c a
B
D F
ABC DEF
Lado - Lado - Lado
Un triángulo es congruente a otro, si las longitudes de
los lados de uno de ellos, son de iguales longitudes de
los lados correspondientes en el otro.
b
c (^) a
B
A C
b
c (^) a
E
D F
ABC DEF
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
Teorema de la Bisectriz de un Ángulo
Todo punto ubicado en la bisectriz de un ángulo
equidista de sus lados.
B
P
A
O
Si: OLbisectriz del AOBy P OL, entonces:
PA PB
Teorema de la Mediatriz de un Segmento
Todo punto ubicado en la mediatriz de un segmento,
equidista de los extremos de dicho segmento.
A a a B
P
L
Si: Lmediatriz de ABy P L, entonces:
PA PB
Teorema de la Base Media
El segmento que une los puntos medios de dos lados de
un triángulo, es paralelo al tercer lado y además su
longitud es la mitad de la longitud de dicho tercer lado.
M N
A
B
C
Si: AM = MB y BN = NC, entonces: M Nbase media.
AC
M N
MN//AC
Teorema de los Puntos Medios
Si por le punto medio de uno de los lados de un
triángulo, trazamos una recta paralela a uno de los
otros dos lados, entonces, dicha recta interseca al tercer
lado en su punto medio.
M
A
B
C
R L
c
c x
y
Si: AM = MB y L//AC, entonces:BR^ RC
es decir: x = y
Teorema de la Mediana Relativa a la Hipotenusa
En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana
relativa a la hipotenusa es la mitad de la longitud de
dicha hipotenusa.
Además, es la mediana de menos longitud.
A
B
D C
m
m m
En El gráfico: BDmediana relativa a la hipotenusa
AC , entonces:
AC
BD
Nota: La altura relativa a una base isósceles, es también
mediana, bisectriz y parte de la mediatriz de dicha base.
B
A
b b
H C
a a
Si: AB = BC y BHes la altura relativa a AC, entonces;
BH es mediana y bisectriz, además: BHmediatriz de
AC.
DETERMINACIÓN DE UN TRIÁNGULO
Dado un triángulo de lados a, b y c determinamos si es
un triángulo:
Acutángulo
Obtusángulo, o
Rectángulo
Sea: a > b > c
A
B C
b
a
c
1°. Si:
a b c
Entonces el ABC es ACUTÁNGULO
2°. Si:
a b c
Entonces el ABC es OBTUSÁNGULO
3°. Si:
a b c
Entonces el ABC es RECTÁNGULO
PROPIEDADES GENERALES:
01. B/^2
ˆ x 90
A
B C
x
02. B/ 2
ˆ x 90
A C
B
x
03. B/ 2
x
A
B
C
x
B
A
x
A (^) C
B
x
OBSERVACIÓN:
Cuando en un triángulo un ángulo es el doble del otro,
se procede de dos maneras:
1°. Se traza un ceviana interior de tal forma que forme
un ángulo igual al ángulo doble. Así:
A C
B
(^)
M
Luego: Se forman dos triángulos, ABM y BMC,
que son isósceles.
Esto ayudará en algo para al solución
2°. Se traza una ceviana exterior de tal manera que
forme un ángulo igual al ángulo mitad. Así:
A C
B
(^) M
Luego: Se forman dos triángulos, ABM y BCM,
que son isósceles
Esto ayudará en algo para la solución
Notas:
- En todo triángulo isósceles las alturas relativas a
los lados iguales son iguales, si:
AB BC
CM AN
A
B
C
M N
- En todo triángulo equilátero las 3 alturas son
iguales, si:
AB BCAC
AM BMCP
A
P
N
C
B
M
NOTA 1:
Si tienes el siguiente gráfico :
A B
C
P
a a + b
Recomendación:
Debes prolongar BA hasta un punto D de tal
manera que DB = BC= a + b.
Entonces PBserá mediatriz del segmento DC.
A B^ C
P
a a + b
D
mediatriz
NOTA 2:
Si tienes el siguiente gráfico :
TRIÁNGULOS
NOTABLES
- Calcular: m n
x y z
x
y
n
z
m
a) 3 b) 2 c) 1,
d) 2,5 e) 1
Solución:
x
y
n
z
m
18-x-y
180-x-y-m
180-z
Del gráfico:
n + 180 - x - y + m + 180 - z = 360
m + n = x + y+ z
m n
x y z 1
- En la figura calcular: x + y + z; en función de
m
m
m
p p
p
n (^) n
n
z y
x
a) 60 + b) 60 - /3 c) 180 + 2
d) 60 + /3 e) 60 + 2/
Solución:
m
m
m
p p
p
n n
n
z y
x
A
Q
N
T C
B
m = P + x .... ATQ
n = p + y ........ TNC
m + n = 2p + x + y
m^ n^ + z = 180 ........^ ABC
2p + x + y - z = 180
x + y + z = 180 - 2p
x + y + z = 180 - 2
x + y + z = 3
x + y + z = 60 + 2/
- En un triángulo ABC, se traza la altura
BH (HAC) siAB BC 8
Calcular el máximo valor entero deBH
a) 3 b) 5 c) 2
d) 4 e) 6
Solución:
x
A
B
C
a
b
H
Se sabe que: a + b = 8
Luego: a > x y b > x
a + b > 2x
8 > 2x
4 > x
xmax = 3
- En el gráfico AM MC y QM 12 y
mMQC=30. Calcular:AB
A
B
C
Q
M
a) 2 b) 4 c) 12
d) 3 e) 6
Solución:
A
B
C
Q
M
30
60
12
x (^) N
6
Se trazaMNBC
el MNQ (30°y 60°)
(^) MN 6 y
En el ABC:AB 12
- Hallar el lado mayor en el triángulo ABC
A
B C
a) AB b) BC c)AC
d) Faltan datos e) N.a.
- En un triángulo se cumple que AB=6cm y BC=5cm.
Hallar el perímetro del triángulo. Si la longitud de
AC^ es el doble de la longitud de uno de los otros
dos lados.
a) 23 cm b) 22 cm c) F.D.
d) 24 cm e) 21 cm
- Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados miden
5cm y 12 cm. ¿Cuál es el perímetro del triángulo?
a) 22 cm b) 22 ó 29 cm c) 29 cm
d) F.D. e) N.A.
- Un triángulo tiene por lados 3 y 7 cm. Si el tercer
lado del triángulo mide el triple de uno de ellos.
Hallar el perímetro del triángulo?
a) 31 cm b) 20 cm c) F.D.
d) 19 cm e) 31 ó 19 cm
05. En un triángulo se sabe queA 3 x 20
,B 2 x
;C 4 x 20
. Hallar “x”.
a) 30° b) 20° c) 28°
d) 18° e) 19°
- Las medidas de los ángulos internos de un
triángulo están en la proporción de 4, 6 y 8.
Calcular el menor de los ángulos internos de dicho
triángulo.
a) 60° b) 40° c) 80°
d) 90° e) 50°
- Calcular xˆ^ .Si PQPR.
P
Q
R
x°
a) 40° b) 30° c) 35°
d) 45° e) N.A.
PROBLEMAS
EXPLICATIVOS
PROBLEMAS
APLICATIVOS
- En la figura que se muestra. Calcular ++
a) 180° b) 120° c) 360°
d) 540° e) 720°
- Hallar “”
a) 11° b) 15° c) 16°
d) 10° e) 9°
- En la figura. Hallar “x”.
3x
70°
40+2x
a) 4° b) 5° c) 6°
d) 7° e) 8°
- Hallar “” en la figura.
70
120°
a) 20° b) 30° c) 40°
d) 50° e) 60°
- La suma y diferencia de dos ángulos de un triángulo
son 100° y 40° respectivamente. Hallar el tercer
ángulo de dicho triángulo.
a) 30° b) 90° c) 80°
d) 70° e) N.A.
- En la figura PQ QR. Hallar +.
P
Q R
a) 120° b) 90° c) 30°
d) 60° e) 180°
- En la figura mostrada. Calcular “x”
x
40°
50°
a) 40° b) 45° c) 50°
d) 60° e) 70°
15.En la figura mostrada. Calcular “x”
a) 5° b) 10° c) 20°
d) 30° e) 40°
- Calcular “”
a
a
80°
b
b
a) 10° b) 20° c) 30°
d) 40° e) 50°
- En la figura. Calcular +
a) 160° b) 180° c) 190°
d) 200° e) 150°
- En la figura mostrada. Hallar x°
a
a
b b
x°
a) 100° b) 110° c) 120°
d) 130° e) 140°
- Hallar “x”
50°
a
b b
a (^) x°
a) 50° b) 60° c) 70°
d) 80° e) 90°
- Si el triángulo ABC es equilátero. Hallar “x”
B
x°
A C
a) 50° b) 60° c) 70°
d) 80° e) 90°
- En la figura PQ QR y 1 2
L //L
. Hallar “x”.
21
32°
x°
L 1
L 2
a) 11° b) 127° c) 53°
d) 42° e) 99°
- En la figura mostrada ¿Cuánto mide el ángulo “x” si
AB=BC y
L 1 //L 2
45°
20°
x°
a) 45° b) 90° c) 65°
d) 115° e) 135°
- En un triángulo ABC (AB=AC), se toma un punto D
en BC y otro E en AC, tales que AD
B = 30° y AD
= AE. Hallar la medida del ángulo DC
E.
a) 10° b) 30° c) 18°
d) 20° e) 15°
24. Dado un triángulo isósceles ABC de base BC, se
traza la bisectriz BD. Si se cumple queAD BD
, hallar el ángulo CB
D.
a) 60° b) 36° c) 72°
d) 18° e) N.A.
- Calcular “x” :
x°
n°
m°
a) 40° b) 50° c) 60°
d) 70° e) 80°
- Calcular “x”. Si ABCD cuadrado y
AED equilátero.
110°
80°
x°
a) 10° b) 20° c) 30°
d) 40° e) 50°
- Calcular “x” :
20°
x°
a) 10 b) 18 c) 30
d) 20 e) 45
- En la figura ABCD es un cuadrado y AMD es un
triángulo equilátero. Hallar xˆ.
x°
a) 15° b) 22° 30’ c) 24°
d) 30° e) 36°
45. Calcular “x” si BC 100
A
x°
a) 30 b) 40 c) 45
d) 50 e) 60
- Calcular: “x”, si BC = CE, AB = CD y el triángulo es
equilátero
A
B C
D
x
E
a) 30° b) 35° c) 40°
d) 20° e) 25°
- Según el gráfico, calcular “x”, si el triángulo ABC es
equilátero
A
x
B
20°
C
a) 20° b) 5° c) 15°
d) 20° e) 1 0 °
- Del gráfico; calcular “x”
50°
A
B
C
D
x
20°
a) 90° b) 110° c) 120°
d) 100° e) 80°
- En el gráfico, calcular el valor de “x”, si AC = BC y
BD = DC
A
57°
B
D
C E
x
a) 43° b) 40° c) 42°
d) 33° e) 37°
- Del gráfico, calcular el valor de “x”, si AC = BC y AM
= MB
A
x
B
50°
N C
M
a) 40° b) 50° c) 60°
d) 35° e) 24°
- Del gráfico, calcular el valor de “x”, si AB = AC.
40°
x A
B
C
a) 60° b) 80° c) 40°
d) 70° e) 90°
- En el gráfico; AB = BD; calcular “x”
20°
x
A
B
C
50°
D
a) 40° b) 45° c) 50°
d) 35° e) 65°
- Según la figura, calcular “x”
x
x
110°
50°
a) 75° b) 65° c) 70°
d) 80° e) 85°
PROBLEMAS DIVERSOS
- En un triángulo ABC; las medidas de sus ángulos
interiores son proporcionales a 2, 4 y 6; calcular la
medida del ángulo intermedio
a) 30° b) 45° c 60°
d) 90° e) 50°
- Las medidas de los ángulos interiores de un
triángulo son proporcionales a 2, 3 y 5; calcular la
medida del mayor ángulo exterior del triángulo
a) 120° b) 144° c) 160°
d) 140° e) 100°
- En un triángulo ABC, AB = BD. Calcular “x”
20°
x A
B
C
50°
D
a) 15° b) 20° c) 30°
d) 40° e) 37°
- Según el gráfico, calcular mADC, si AE = ED,
mACD = 40° y el triángulo ABC es equilátero
A C
D B
E
x
40°
a) 20° b) 10° c) 30°
d) 40° e) 25°
- Según el gráfico: AB = BD y CD = CE. Calcular “x”
40°
x
A
B
C
20°
D
E
a) 10° b) 30° c) 15°
d) 20° e) 60°
- Calcular mABC, si: AF=FC=DE=DF= EF
F
x
A
B
C
D
E
a) 30° b) 45° c) 37°
d) 53° e) 60°
- Calcular mACF, si BC = CD y ° - ° = 50°
A
B
C
D
F
E
x
a) 40° b) 50° c) 60°
d) 53° e) 45°
- Calcular el valor de “x”, si:
AE = EB = EF = FD = DC y mBAC = mFDA
x A
B
C
F
E D
a) 45°- 7 b) 45°/11 c) 45°/
d) 22°/30’ e) 22°/15’
- En la figura - = 12°, calcular: -
(^)
a) 6° b) 9° c) 12°
d) 15° e) 18°
- En la figura, AB = BC; calcular “x°”
A D
C
B
E
F
40°
100°
x
a) 60° b) 50° c) 40°
d) 70° e) 30°
- En un triángulo ABC, se cumple que las medidas de
sus ángulos interiores son tres números
consecutivos. Calcular la medida del ángulo menor.
a) 60° b) 59° c) 58°
d) 57° e) 51°
- Según el gráfico, calcular: “x”
F
20°
A
B
E
D
G
x
10° 70°
a) 100° b) 110° c) 120°
d) 130° e) 140°
- En el triángulo ABC, hallar x:
x
60
x
a) 30° b) 40° c) 70°
d) 60° e) N.A.
- En la figura calcular “x”, sabiendo que L1 //L
L
L
3x
x
2x
a) 15° b) 45° c) 30°
d) 50° e) 53°
- Calcular: “x”
50° (^) 70°
x
^
a) 60° b) 50° c) 70°
d) 25° e) 35°
- Calcular: “°”
36°
x
40°
^
a) 36° b) 40° c) 38°
d) 18° e) 20°
- Si L1 // L2; hallar: “x”
x
L
L
a) 90° b) 72° c) 60°
d) 100° e) 120°
- En un triángulo ABC; mA - m B = 20 y mB -
mC = 26. ¿Cuánto mide el ángulo B?
