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CALCULO NUMERICO
TEMAS 2y3. PROGRAMACION
EJERCICIOS
DPTO. INGENIERIA QUIMICA
Debe entregar resuelto el ejercicio 3 antes de la fecha indicada
1 Algoritmo para regresión lineal simple
En estadística, la regresión lineal (o ajuste lineal) es un modelo matemático utilizado para aproximar la relación entre los sucesivos valores de la variable dependiente en cada punto, yi, y de la variable independiente en ese punto, xi, con un término aleatorio (residuo o error, εi), de acuerdo con: 𝑦𝑦i = 𝑚𝑚 · 𝑥𝑥i + 𝑏𝑏 + 𝜀𝜀i (1) donde m representa la pendiente de la recta modelo y b la ordenada en el origen.
a) El objetivo de este ejercicio es crear un algoritmo para casos de regresión lineal simple, es decir, con una sola variable dependiente y una sola variable independiente. En este caso, la pendiente y ordenada respecto al origen se pueden calcular fácilmente mediante las fórmulas (2) y (3):
N xy x y m N x x
2 (^2) ( ) 2
x y xy x b N x x
Por otra parte, el coeficiente de determinación (r^2 ), que cuantifica la calidad de la regresión, se calcula de la siguiente manera: r^2 SST^ SSR SST
donde SST es la suma de cuadrados de los residuos respecto
a la media ( y ) y SSR es la suma de cuadrados de los
residuos respecto al modelo matemático:
N u i
SST y y
=
2 1
La figura muestra un posible diagrama de flujo del algoritmo
Las variables para la entrada del algoritmo deben ser: − Vector Y: Lista de los valores de la variable medida (vector). − Vector X: Valores de la variable independiente establecida en la medida de Y (vector) Las variables de salida del algoritmo deben ser: − Pendiente de la ecuación de ajuste (m) y origen respecto a la ordenada (b). − Suma de cuadrados de los errores. SSR − Coeficiente de determinación r^2 − Gráfico de paridad (valores de y calculados con el modelo respecto de los experimenales) b) Una vez desarrolado el agoritmo, determine por regresión si la siguiente relación entre la fracción molar (Y) y el tiempo (t) medidas en el laboratorio es lineal. t (h) 4 5 7 8 10 y (fraccion molar) 0.402 0.452 0.565 0.617 0.
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 = � 𝑒𝑒𝑢𝑢^2
𝑁𝑁
𝑖𝑖= 1
= �(𝑦𝑦𝑖𝑖 − 𝑏𝑏 − 𝑚𝑚 · 𝑥𝑥𝑖𝑖 )^2
𝑁𝑁
𝑖𝑖= 1
i= i=i+
i > N ?
SST=SST+(y(i)-ymedia) 2 ycal(i)= mx(i)+b SSR=SSR+(y(i)-mx(i)-b) 2
Plot ycal vs y Print m, b, r 2 , SSR
fin
introduce x, y
DEFINIR N CALCULAR Σx, Σy, Σ(x·y), Σx 2 CALCULAR m y b
SI
NO
SSR=0, SST=
Calcular r 2
inicio
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DPTO. INGENIERIA QUIMICA
2. Cálculo de la presión en un tanque de almacenamiento de gases
Se dispone de un tanque de acero para almacenamiento de gases, cuyo volumen es de 2,5 m^3
a) Calcule la presión en el tanque en función de la temperatura (entre 50 y 500 ºC) cuando se almacenan 2000 moles de gas Cl 2 , utilizando para ello el modelo termodinámico de Van der Waals. b) Represente gráficamente (con el comando surf ) la variación de la presión ejercida por el gas Cl 2 cuando está contenido en dicho tanque al variar la temperatura (entre 50 y 500 ºC) y el número de moles almacenados (entre 500 y 10000), utilizando el modelo termodinámico de Van der Waals. Realice este apartado utilizando 2 ciclos for anidados: el ciclo externo para recorrer los valores de temperatura, y el ciclo interno para recorrer los valores del número de moles c) Cree una función llamada fpresion para calcular la presión en el tanque en función de la temperatura y del numero de moles almacenados, y utilícela para calcular cuál de los 3 gases (He, Ar, o Cl) ejerce la mayor presión si se almacenan en el tanque 1000 moles de gas a 100 ºC. d) Adapte la función creada en el apartado c para poder realizar el mismo cálculo del apartado b, pero utilizando el comando feval, y representa el resultado mediante el comando contour
Datos: El modelo termodinámico de Van der Waals relaciona las variables de estado según la siguiente expresión:
( V nb) nRT V
an P (^2)
2 −^ =
c c
2 c 2 8 P
RT b P
R T 64
27 a (^) =
y los valores de temperatura y presión crítica de los gases se muestran en la Tabla: Gas He Ar Cl 2 Tc (ºC) - 267.96 - 122.44 144 Pc (atm) 2.261 48 78.
Puede ayudarse de los pseudocódigos y diagramas de flujo mostrados a continuacion
INICIO tanque_gas INPUT Tc, Pc, V, R DEFINIR vT (entre 50- 500 ºC) INICIALIZAR vPa CALCULAR longitud de vT, vTc (o de vPc) CALCULAR a y b FOR i=1longitud de vT CALCULAR vPa(i) END FOR GRAFICAR vPa vs vT PRINT vT, vPa
inicio
Calcular vPa(i) (V. der Waals)
Graficar vPa vs vT Print vT, vPa
introduce Tc, Pc, V, R
Definir vT(de 50 a 500 ºC) Inicializar vPa Definir nT
j= j=j+
j > nT ?
SI
NO
Calcular a y b
Apartado a
fin
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3. Conversión de equilibrio para una reacción química en fase gas
Considere la reacción catalítica de hidrólisis de dimetil éter (DME), cuya estequiometría es:
CH 3 OCH 3 + H 2 O ↔ 2 CH 3 OH
En el equilibrio se verifica que: [^ ] [ ] [ ] 2
(M x ) 2
( 1 x )
x DME H O
MeOH K e e
2 e e^2 e
2 e DME = = − −
donde KDME es la constante de equilibrio para la reacción de hidrólisis de DME (que varía con la temperatura) y M es la relación de concentraciones de agua/DME en la alimentación al reactor.
Despejando la conversión de equilibrio de la ecuación anterior se obtiene que:
2 2 DME DME DME DME e DME
(M 1)K (M 1) K 4K M(4 K )
x 2(4 K )
La reacción de hidrólisis de DME es la reacción inversa de la deshidratación de metanol, por lo que las constantes de equilibrio de ambas reacciones están relacionadas según: KDME =1/KMeOH. KMeOH varía con T según la siguiente ecuación (donde T está en K) :
K (^) MeOH=exp[4019./T + 3.707·ln(T) - 2.783·10 -3·T + 3.8·10-7·T 2 - 6.56·10 4 /T 3 - 26.64]
Desarrolle un programa de Scilab que calcule la conversión de equilibrio para diferentes valores de temperatura (entre 250-550 ºC), y para diferentes valores de la relación de concentración agua/DME (M=1, 2, 3 y 5), de 3 formas diferentes:
a) Utilizando 2 ciclos for anidados, el externo para recorrer los valores del vector de temperaturas que haya definido ( vT ) y el interno para recorrer los valores del vector de relaciones de concentración agua/DME ( vM ) (puede ayudarse del diagrama de flujo y pseudocódigos mostrados en la página siguiente). Guarde los resultados obtenidos en una matriz llamada ma_xe Represente los resultados mediante una superficie en 3D, utilizando el comando surf. Además, escriba en pantalla los valores de la matriz ma_xe para el último valor de temperatura del vector vT, y los 4 valores del vector vM, y escriba también los valores de ma_xe para el valor más alto de M a todas las temperaturas.
b) Utilizando 1 solo ciclo for para recorrer los valores del vector de temperaturas (vT), y calculando x (^) e para los diferentes valores del vector vM mediante 1 operación vectorial (del tipo elemento a elemento). Almacene los resultados obtenidos en una matriz llamada mb_xe Cree una nueva ventana gráfica para representar los resultados en un gráfico en 2D mediante el comando plot , que muestre la evolución de la conversión de equilibrio con la temperatura, para cada uno de los 4 valores de M.
c) Mediante el comando feval , definiendo previamente una función ( fxe ) cuyo parámetro de salida sea xe y que tenga 2 parámetros de entrada (T y M). Almacene los resultados obtenidos en una matriz llamada mc_xe. Represente en una nueva ventana gráfica los resultados de mc_xe en forma de isocuantas de nivel, utilizando el comando contour
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Puede ayudarse de los pseudocódigos y diagramas de flujo mostrados en la siguiente página
INICIO conv_equil INPUT vM, vT CALCULAR longitud de vT, vM INICIALIZAR ma_xe FOR i=1longitud de vT CALCULAR KMeOH, KDME FOR i=1longitud de vM CALCULAR ma_xe END FOR END FOR GRAFICAR ma_xe vs (vT y vM) IMPRIMIR vM y ma_xe($,:) IMPRIMIR vT y ma_xe(:,$) FIN
i= i=i+
i > nT ?
Calcular ma_xe(i,j)
surf ma_xe vs (vT y vM) printf ma_xe($,:) vs vM printf ma_xe(:,$) vs vT
fin
SI
NO
j= j=j+
j > nM ?
SI
NO
Calcular KMeOH, KDME
inicio
introduce vM y vT
nT=long. vT, nM=long. VM Inicializar ma_xe
Apartado a
