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Análisis y Diseño de Algoritmos I
Tema 2: Órdenes asintóticos
13 de octubre de 2006
1. Demuestre, a partir de la definición de O, que son ciertas las siguientes relaciones:
a ) 1000 ∈ O(1) b ) n
n ∈ O(n^2 ) c ) 2 n^ ∈ O(3n) d ) n! ∈ O((n + 1)!)
e ) n /∈ O(
n) f ) n log n /∈ O(n) g ) 3 n^ ∈/ O(2n) h ) (n + 1)! ∈/ O(n!)
2. Sea k ≥ 0 una constante y f , g y h, funciones. Demuestre las siguientes propiedades a partir de la definición de O y de sus propiedades que relacionan pertenencia y contención.
a ) O(f ) = O(g) =⇒ O(f k) = O(gk) b ) O(g) ⊆ O(f ) =⇒ O(f + g) = O(f ) c ) O(g) = O(h) =⇒ O(f + g) = O(f + h) d ) O(g) = O(h) =⇒ O(f · g) = O(f · h)
3. Generalice, por inducción, la regla del máximo a un número arbitrario de funciones. Es decir, sean k funciones f 1 ,... , fk, demuestre que: O(f 1 + · · · + fk) = O(m´ax{f 1 ,... , fk}) 4. La siguiente tabla condensa las propiedades más importantes que relacionan el concepto de límite con los órdenes asintóticos: l´ım f g^ ((nn)) O Ω Θ 0 f ∈ O(g) ∧ g /∈ O(f ) g ∈ Ω(f ) ∧ f /∈ Ω(g) f /∈ Θ(g) ∧ g /∈ Θ(f ) ∞ f /∈ O(g) ∧ g ∈ O(f ) g /∈ Ω(f ) ∧ f ∈ Ω(g) f /∈ Θ(g) ∧ g /∈ Θ(f ) R+^ f ∈ O(g) ∧ g ∈ O(f ) g ∈ Ω(f ) ∧ f ∈ Ω(g) f ∈ Θ(g) ∧ g ∈ Θ(f )
a ) Demuestre dichas propiedades. b ) Demuestre que las propiedades pueden resumirse de la siguiente forma:
l´ım f g^ ((nn)) O Ω Θ 0 O(f ) ⊂ O(g) Ω(g) ⊂ Ω(f ) Θ(f ) 6 = Θ(g) ∞ O(g) ⊂ O(f ) Ω(f ) ⊂ Ω(g) Θ(f ) 6 = Θ(g) R+^ O(f ) = O(g) Ω(f ) = Ω(g) Θ(f ) = Θ(g)
5. Demuestre, empleando límites, que:
a ) O(2n) ⊂ O(3n) b ) O(2n) ⊂ O(n!) c ) Ω(
n) ⊂ Ω( 3
n) d ) Ω(
n) ⊂ Ω(log n)
e ) Θ(
∑k i=0 cin
i) = Θ(nk), con ck ∈ R+
f ) Θ(
∑n i=1 i k) = Θ(nk+1)
g ) Θ(
∑n i=
1 i ) = Θ(log^ n) h ) Θ(log n!) = Θ(n log n)
Pista. En ocasiones, el criterio de Stoltz , la regla de L’Hôpital o el infinitésimo de Stirling pueden resultarle de gran utilidad.
6. Demuestre los tres últimos apartados del ejercicio anterior mediante acotación integral. 7. Las siguientes funciones modelan, bajo condiciones iniciales nulas, los tiempos de distintos algoritmos. Calcule su forma explícita y orden Θ. Ordénelas según su complejidad.
a ) t(n) = 2t(n − 1) + 1 b ) t(n) = 2t(n − 1) + n
c ) t(n) = 2t(n − 1) + 2n d ) t(n) = 2t(n − 1) + 2n^ + n + 1
8. Considere la función definida por la siguiente ecuación de recurrencia, que modela el espacio consumido por un cierto algoritmo:
e(n) =
2 e(n − 1) − n, n ≥ 1 2 , n = 0
Calcule su orden de crecimiento y compárelo con el que se obtendría si la condición inicial fuera e(0) = 3. Nota. Calcule primero la solución general de la ecuación.
9. Del análisis de un algoritmo se desprende que su función de espacio viene definida por la siguiente ecuación de recurrencia:
e(n) = 2e(n − 1) + n
Desgraciadamente para usted, no se conocen las condiciones iniciales, sólo que e(n) es siempre mayor o igual que 0. ¿Podría calcular su orden Θ?
10. Sea Fn el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci y ‖Fn‖ su tamaño medido en número de dígitos. Es conocido que la forma explícita de Fn es la siguiente:
Fn = φn^ − (−φ)−n 2 φ − 1
, φ =
Donde φ se denomina número áureo. Calcule Θ(Fn) y Θ(‖Fn‖). ¿Depende este último resultado de la base de numeración escogida? ¿Por qué?
