Órdenes Asintóticas: Herramienta para Medir la Eficiencia de Algoritmos, Apuntes de Representación de Datos y Diseño de Algoritmos

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Dpto. de Lenguajes y Sistemas InformáticosUNIVERSIDAD DE CÁDIZ

Tema 2

Órdenes Asintóticos

Francisco Palomo LozanoInmaculada Medina Bulo Análisis y Diseño de Algoritmos I. 2006-07.

Pág. 2.1 Órdenes asintóticos ∫

π

∑

∏

Órdenes asintóticos Los algoritmos y programas consumen recursos computacionales al ejecutarse. Éstos son, en un máquina secuencial, el tiempo y el espacio. Es normal medir su consumo frente al tamaño de la entrada y modelarlo mediante funciones N → R+ 0 , con R+ 0 = R+^ ∪ { 0 }, que asocian a cada tamaño la cantidad de recurso consumida. El principio de invarianza establece que el con- sumo de recursos de todas las implementacio- nes de un algoritmo es esencialmente el mismo (salvo un factor constante). Los órdenes son una herramienta matemática que nos permite expresar la eficiencia de los al- goritmos sin tener en cuenta los detalles de sus implementaciones.

Pág. 2.3 Orden asintótico O ∫

π

∑

∏

Propiedades: I O induce un preorden ≤O (una relación bi- naria reflexiva y transitiva) sobre N → R+ 0 , definido por: f ≤O g ⇐⇒ O(f) ⊆ O(g) Nota. Este preorden no es total (existen ele- mentos incomparables). I Pertenencia y contención f ∈ O(g) ⇔ O(f) ⊆ O(g) f ∈ O(g) ∧ g ∈ O(f) ⇔ O(f) = O(g) f ∈ O(g) ∧ g /∈ O(f) ⇔ O(f) ⊂ O(g)

Pág. 2.4 Orden asintótico O ∫

π

∑

∏

I Simplificación O(cf) = O(f) (c ∈ R+) O(f + g) = O(m ´ax{f, g}) O

( (^) ∑k i= 0

cini

= O(nk) (ck ∈ R+) I Cálculo mediante límites l´ım (^) gf((nn)) = 0 =⇒ O(f) ⊂ O(g) l´ım (^) gf((nn)) ∈ R+^ =⇒ O(f) = O(g) l´ım (^) gf((nn)) = ∞ =⇒ O(g) ⊂ O(f) Nota. Si no existe el límite, no se puede concluir nada.

Pág. 2.6 Orden asintótico Θ ∫

π

∑

∏

Orden asintótico Θ

Definición 3. Dada una función f : N → R+ 0 , su orden Θ es el conjunto de funciones acota- das (sup. e inferiormente), a partir de un cierto umbral, por múltiplos reales y positivos de f. Θ(f) = {t : N → R+ 0 | ∃c 1 , c 2 ∈ R+^ ∃n 0 ∈ N ∀n ≥ n 0 c 1 f(n) ≤ t(n) ≤ c 2 f(n)} Propiedades: I Θ induce una equivalencia ≡Θ (una rela- ción binaria reflexiva, simétrica y transitiva) sobre N → R+ 0 , definida por: f ≡Θ g ⇐⇒ Θ(f) = Θ(g)

Pág. 2.7 Orden asintótico Θ ∫

π

∑

∏

I Relación entre O, Ω y Θ Θ(f) = O(f) ∩ Ω(f) O(f) = O(g) ⇐⇒ Θ(f) = Θ(g) Ω(f) = Ω(g) ⇐⇒ Θ(f) = Θ(g) Nota. Las propiedades de O y Ω se traducen de manera sencilla al dominio de Θ. Ejemplos. Θ(cf) = Θ(f) Θ(f + g) = Θ(m ´ax{f, g}) l´ım (^) gf((nn)) ∈ R+^ =⇒ Θ(f) = Θ(g) simplemente por aplicación directa de la rela- ción entre O y Θ.

Pág. 2.9 Órdenes de conjuntos de funciones ∫

π

∑

∏

Órdenes de conjuntos de funciones Sean Φ un conjunto (posiblemente infinito) de funciones de N → R+ 0. Ξ(Φ) = ⋃ f∈Φ

Ξ(f) = {t : N → R+ 0 | ∃f ∈ Φ t ∈ Ξ(f)} Propiedades: I Distributividad sobre la unión Ξ(Φ 1 ∪ Φ 2 ) = Ξ(Φ 1 ) ∪ Ξ(Φ 2 ) I Idempotencia Ξ(Ξ(f)) = Ξ(f) Ξ(Ξ(Φ)) = Ξ(Φ)

Pág. 2.

Referencias

∫ π

∑ ∏

Referencias

[Bras90]

Brassard, Gilles & Bratley, Paul. Algorítmica. Concepción y Análisis. Masson. 1990.

[Bras97]

Brassard, Gilles & Bratley, Paul. Fundamentos de Algoritmia. Prentice-Hall. 1997.

[Grah94]

Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E. & Patashnik, Oren. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science. Addison-Wesley. 1994. 2

a^ ed.

Análisis y Diseño de Algoritmos I

Tema 2. 2006-07.